【正文】 將已知數(shù)據(jù)代人上式得 1 /4dr cm sdt ?? . 案例 2： 若水以 32 /minm 的速度灌入高為 10m ，底面半徑為 5m 的圓錐型水槽中，問(wèn)當(dāng)水深為 6m 時(shí) 水位的上升速度為多少？ 課本習(xí)題 3： 4（ 11） （ 20） 的求導(dǎo) 定理 3 如果單調(diào)連續(xù)函數(shù) )(yx ?? 在點(diǎn) y 處可導(dǎo)，而且 39。 xxxxyy ????? 于是 ?????? ????????? ??? x xxxxx xxxyy x s i nlnc o ss i nlnc o s s i n39。s i n39。)() , . . . ,(,...,33)()( 等或或nnnndx yddx ydxfxfyy ?????? 例１ 函數(shù) .,32 )(3 2 nyxxy 求??? 解： ).4(0,12,212,26 )(2 ????????????? nyyxyxxy n 例２ 函數(shù) .,sin )(nyxy 求? 解： ),2s in (c o s ????? xxy ),22s in ()2c o s ( ?? ??????? xxy ),23s in ()22c o s ( ?? ?。 ?????? ?????? xxxyy 所以 .11211)1( )2(2111211239。lns i n39。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 1. 隱含數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一隱含數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定義 由 的隱含數(shù)是確定或 xyyxFyxFyxF ),(),(0),( 21 ?? 例 1 求由方程 12 ??? xye yx 確定的隱含數(shù)的導(dǎo)數(shù)).0,0(y? 解 方程兩邊分別對(duì) x 求導(dǎo)，得 yxyye yx ??????? )21(2 解得，xe eyy yx yx ???? ? ?2 22， 所以 2121)0,0( ?????y. 例２ 求曲線 .1164 22 ）處的切線方程，在點(diǎn)（ ???? yxyx 解 因?yàn)?64 22 ??? yxyx , 所以 ,兩邊分別對(duì) x 求導(dǎo)得 02)(8 ?????? yyyxyx ,則 yx yxy 28????. 因此在 (1,1)處切線的斜率為 3)1,1( ??? ?yk, 從而 ,所求切線方程為 )1(31 ??? xy ,即 .043 ??? yx 例３ 設(shè) .,21)13( 35 yxxxy ????? 求 解 等式兩邊分別取絕對(duì)值后再取對(duì)數(shù) ,有 2211ln2113ln35ln ?????? xxxy , 兩邊分別對(duì) x求導(dǎo) ,得 ,2121112113 335 ?????????? xxxyy 所以 , ].)2(2 1)1(2 113 5[21)13( 35 ?????????? xxxxxxy 注 :上述解法求導(dǎo)時(shí)可省略取絕對(duì)值 . 例４ 設(shè) .),0(2c o s yxxy x ??? 求 解 等式兩邊分別取對(duì)數(shù) ,得 ,ln)2(cosln xxy ? 兩邊分別對(duì) x求導(dǎo) ,得x xxxyy 2c o sln)2( s in2 ???? 所以 , )ln2s in22c o s(2c o s xxx xxy x ??? . 2. 參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二 、 參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 求導(dǎo)法則 設(shè)由參數(shù)方程 ),()),(().( ),( xfytty tx ????? ?? 確定的函數(shù)為????其中函數(shù) )(),( tt ?? 可導(dǎo)且0)( ??t? , 可導(dǎo)且則函數(shù) )( xfy ? )).,(()( )( ???? ???? tttdxdy 例 5 求擺線 .2().c os1( ),s i n( 時(shí)的切線方程為常數(shù)）在 ????? ?? ?? tatay ttax 解 擺線上 ））（的點(diǎn)為（ aat ,222 ?? ?? ,又 2cotcos1 sin tttdxdy ??? 所以 ,所求切線斜率 14cot ?? ?k ,從而所求切線方程為 2 )2( axay ???? ? , 即 02 )4( ???? ayx ? . 導(dǎo)法 二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 由幾個(gè)初等函數(shù)能過(guò)乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)，冪指函數(shù)()[ ( )]vxy u x? 的求導(dǎo)，在 ()[ ( )]vxy u x? )(xfy? 的兩邊先取對(duì)數(shù)，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，可簡(jiǎn)化求導(dǎo)運(yùn)算． 例 已知 39。1s i n( l n39。39。( ln39。y . 解 令 uy ln? ， 2vu? ， wv sin? ， xw 1? ，由復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)法則有 xwvuxwvu xwvuwvuyy )39。 (3)掌握一定的計(jì)算技巧 . 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 11 課 題 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 — 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué)時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：掌握復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)求導(dǎo)的運(yùn)算法則 能力目標(biāo) ：能用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決生活和建筑工程中與變化率相關(guān)的問(wèn)題。1 1)(arc tan239。1 1)( a r c s in 239。s ectan)(s ec 39。sec)(tan 239。cos)(sin 39。ln1)(log 39。ln)( 39。0)( 39。39。39。 ????????? vv uvvuvu 推論 39。)39。39。 情感目標(biāo) ：通過(guò)實(shí)際案例培養(yǎng)學(xué)生勤奮鉆研，求是嚴(yán)謹(jǐn)，積極學(xué)習(xí)的精神。 情感目標(biāo) ：通過(guò)實(shí)際案例培養(yǎng)學(xué)生勤奮鉆研，求是嚴(yán)謹(jǐn)，積極學(xué)習(xí)的精神。 解 所給函數(shù)是初等函數(shù)，但它在 0?x 處無(wú)定義，故不能直接應(yīng)用定理 3．易判斷這是一個(gè)“ 00 ” 型的極限問(wèn)題．經(jīng)過(guò)分子有理化，可得到一個(gè)在 0?x 處的連 續(xù)函數(shù)，再計(jì)算極限，即 ???? xxx 11lim0 ? ? ???? 11lim0 xx xx 21101 111 1lim 0 ??????? xx 4 初等函數(shù) 的 連續(xù) 性 定理 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的． 最大值和最小值存在定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值． 根的存在定理 設(shè) )(xf 為閉區(qū)間 ? ?ba, 上的連續(xù)函數(shù)，且 )()( bfaf 與 異號(hào)，則至少存在一點(diǎn) ),( ba?? ，使得 0)( ??f ． 介值定理 設(shè) )(xf 是閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)函數(shù)，且 )()( bfaf ? ，則對(duì)介于)()( bfaf 與 之間的任意一個(gè)數(shù) ? ，則至少存在一點(diǎn) ),( ba?? ???)(f ． 判斷函數(shù)連續(xù)性的方法 由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)，所以函數(shù)的連續(xù)性討論多指分段函數(shù)在分段處的連續(xù)性． 小結(jié) 、區(qū)間連續(xù)性定義及判定條件； ； ； 判定方法； 。本節(jié)將運(yùn)用極限概念對(duì)它加以描述和研究， 案例 1某日氣溫變化 案例 2小孩個(gè)子的長(zhǎng)高 2 函數(shù)在 一 點(diǎn)連 續(xù) 的概念 定義１ 設(shè)函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量0xxx ??? 趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的 函數(shù)增量也趨于零，即 ? ? 0)()(limlim0000 ?????? ???? xfxxfy xx， 則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，或稱 0x 是 )(xf 的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)． 定義２ 若 )()(lim00 xfxfxx ??，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)． ② 左右連續(xù)的 概念 若 )()(lim00 xfxfxx ???，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處左連續(xù)；若 )()(lim00 xfxfxx ???，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處右連續(xù)． ⑵ 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)的充分必要條件是 )(xf 在點(diǎn) 0x 處既左連續(xù)又右連續(xù)． 由此可知，函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： ① 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某鄰域內(nèi)有定義， ② )(lim0 xfxx?存在， ③ 這個(gè)極限等于函數(shù)值 )(0xf ． ⑶ 函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù)的概念 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連 續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間．如果連續(xù)區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)． 說(shuō)明： （ 1） 點(diǎn)連續(xù)性的兩個(gè)定義本質(zhì)相同，只是敘述的角度不同。 2. 求下列極限：（強(qiáng)調(diào)與其它方法的綜合運(yùn)用） （ 1） 211limxxx ?????? ???； （ 2） ? ?20lim 1xx x? ?； （ 3） x xx )1ln(0lim ?? ； （ 4） xxex10lim??； （ 5） ? ? 10lim 1 2xx x? ? 。 要極限 2 第二個(gè)重要極限： ex xx ???? )11(lim 即 ??5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 )11(lim ????? en nx 注意： 1：我們可證明： enx nnxx ???? ???? )11(lim)1(lim 1 ， 2：指數(shù)函數(shù) xey? 及自然對(duì)數(shù) xy ln? 中的底就是這個(gè)常數(shù) e 。 （ 2）應(yīng)用時(shí)要保證極限中的 0?x 、 xsin 和分母 x 三者中的 x 形式一致 （ 3）對(duì)于此極限要求掌握它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和應(yīng)用，它的證明只是了解 任務(wù) 2：求下列極限 【例 1】 1s in1lims inlims inlim 00a r c s i n0 ??? ????ttttx xc ttxtx令 。如果銀行允許儲(chǔ)戶在一年內(nèi)可任意次結(jié)算，在不計(jì)利息稅的情況下，若儲(chǔ)戶等間隔的地結(jié)算 n次，每次結(jié)算后將本息 全部存入銀行，問(wèn) 1) 隨著結(jié)算次數(shù)的增多，一年后該儲(chǔ)戶的本息和是否也在增多？ 2) 隨著結(jié)算次數(shù)的無(wú)限增加，一年后該儲(chǔ)戶在銀行的存錢是否會(huì)無(wú)限變大？ 案例 分析 若該儲(chǔ)戶每月結(jié)算一次，則每月利率為： 故第一個(gè)月后儲(chǔ)戶本息共計(jì)： )(1000 ? 。 解：當(dāng) ??n 時(shí)，這是無(wú)窮多項(xiàng)相加，故不能用定理 1，先變形： 原式 212 1l i m2 )1(1l i m)21(1l i m22 ?????????? ?????? nnnnnnn nnn ?? 堂練習(xí) 課本習(xí)題 2： 1（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）， 2. 時(shí)小結(jié) 1. 函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其應(yīng)用； 2. 綜合應(yīng)用極限的運(yùn)算法則計(jì)算函數(shù)極限的方法 業(yè)題 課本習(xí)題 3： 1（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6） 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 5 課 題 極限（三） 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué)時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限，會(huì)無(wú)窮小的比較 能力目標(biāo) ：能用極限的概念分析實(shí)際問(wèn)題 情感目標(biāo) ：通過(guò)實(shí)際案例培養(yǎng)學(xué)生勤奮鉆研，嚴(yán)謹(jǐn)求是的作風(fēng) 任務(wù)描述 任務(wù)一： 會(huì)計(jì)算連續(xù)利率問(wèn)題 任務(wù)二：會(huì)利用兩個(gè)重要極限求極限 教學(xué)方 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問(wèn)，啟發(fā)，探討。 【例 8】若 3)1s in(lim 221 ????? xbaxxx，求 a,b的值。 【例 6】求 )1311(lim31 ????? xxx。 【例 4】 3300 9070397lim53530 ?????????? ??? xxxxx（因?yàn)?03005 ??? ）。 【例 2】 nnxxnxx xxx 0]lim[lim 00 ?? ??。 推論 2： nn xfxf )]([lim)](lim [ ? （ n 為正整數(shù)）。 定理 1：若 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，則 )]()(lim[ xgxf ? 存在，且)(lim)(lim)]()(l i m[ xgxfBAxgxf ????? 。 鞏固知識(shí)，明確要求，整理知識(shí)結(jié)構(gòu)與思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的組織能力，形成完整的知識(shí)體系 . 課本習(xí)題、教學(xué)案例 結(jié)合本專業(yè)特點(diǎn)，達(dá)到理