【正文】 解決案例 6 提問（口述）：如何求多元函數(shù)的導(dǎo)與微分？ 板書：案例 的解題示范 1. 學(xué)生在教師講解啟發(fā)下理解法則及法則的使用方法 15 分鐘 操練 設(shè) )1,0( ??? yyyz x 且 ，求yzxz ????, 啟發(fā)誘導(dǎo)、重點(diǎn)講 學(xué)生練習(xí) 90 分鐘 設(shè)yxz arcsin?，求yx zyzxz ???????22222 , 設(shè) xyvyxuvufz 2,),( 22 ???? 求yzxz ????, 設(shè) duzyxu 求),s in ( 222 ??? 解、教師示范 深化 項(xiàng)5，6，7 5．設(shè) （ 1） xyzxeu? ， （ 2） )ln ( 222 zyxu ??? 求zuyuxu ?????? , 重點(diǎn)分析、講解，加深對求偏導(dǎo)數(shù)方法的認(rèn)識，及使用 板書，輔導(dǎo) 學(xué)生聽課練習(xí) 15 分鐘 6. 設(shè)yxzu arctan?， 求證 0222222 ????????? zuyuxu 7．求下列函數(shù)的全微分 yzxy xuez ?? )2(。我們將以二元函數(shù)為主，多元函數(shù)與二元函數(shù)類似。 、高階偏導(dǎo) 數(shù)、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則，并能熟練計(jì)算。111 啟發(fā)誘導(dǎo)、重點(diǎn)提示，掌握微分的應(yīng)用 板書，輔導(dǎo) 1. 分組討論 2. 找出解答方法 5 分鐘 歸納 ，掌握 函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系 法則并能熟練求解初等函數(shù)的微分 4 掌握微分在科學(xué)及工程中的近似計(jì)算的應(yīng)用 教師引導(dǎo)、 學(xué)生總結(jié)、 教師歸納 板書 學(xué)生發(fā)言 20 分鐘 訓(xùn)練 項(xiàng)目1 2 訓(xùn)練項(xiàng)目 1： 設(shè) )(xf 可微，求下列函數(shù)的微分 （ 1） )( 2xefy ?? （ 2） )(co s)(s in xfxfy nn ?? 個(gè)別指導(dǎo) 板書 學(xué)生個(gè)人操作 10 分鐘 訓(xùn)練項(xiàng)目 2： （ 1） dxxxd )s in( c os)( ?? （ 2）用對數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù) xxxy )1( ?? 的微分 個(gè)別指導(dǎo)，并給與相應(yīng)提示 小組討論 5 分鐘 總結(jié) 知識要點(diǎn)： ，掌握函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系 法則并能熟練求解初等函數(shù)的微分 4 掌握微分在科學(xué)及工程中的近似計(jì)算的應(yīng)用 教師講授 板書 學(xué)生聽課 3 分鐘 作業(yè) 2 分鐘 后記 設(shè)計(jì)十： 4 課時(shí) 二元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 教 學(xué) 目 標(biāo) 能力 (技能 )目標(biāo) 知識目標(biāo) 能力 1. 在掌握一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分。 口述 15 分 鐘 引入 項(xiàng) 目1 1． 通過案例 1：設(shè)函數(shù)xxxxf sin1 lnc os)( ?? ，求 )(),( ?fxf ??引入函數(shù)四則運(yùn)算法則： 2． 通過案例 2：已知函數(shù) ,3xey? 求 dxdy ，入復(fù)合函數(shù)的求到法則 3．通過案例 3：求由方程 0??? xyee yx所確定的隱含數(shù)的導(dǎo)數(shù) y? ，入隱函數(shù)求導(dǎo)法則 4．通過案例 4：設(shè) ),0(cos ?? xxy x 求 y? ，入對數(shù)求導(dǎo)法則 5．通過案例 5：求 余弦函數(shù) xy cos? 的 n階導(dǎo)數(shù)，引入高階導(dǎo)數(shù) 提問（口述）：如何不直接用定義求一些復(fù)雜函數(shù)及實(shí)際問題遇到的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？ 板書：案例 的解題示范 1. 學(xué)生在教師講解啟發(fā)下理解法則及法則的使用方法 15 分鐘 操練 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （ 1）函數(shù) xxxf lnsin)( ? 的導(dǎo)數(shù) 啟發(fā)誘導(dǎo)、重點(diǎn)講解、教 學(xué)生聽課練習(xí) 90 分鐘 （ 2）函數(shù) xxxf sin1 cos)( ?? 的導(dǎo)數(shù) （ 3）函數(shù) xxxxf sin21 ln)( ?? 的導(dǎo)數(shù) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （ 1）函數(shù) xy sinln? 的導(dǎo)數(shù) （ 2）函數(shù) ?xy? 的導(dǎo)數(shù) （ 2）函數(shù) xynxy ns in,c o s ?? 的導(dǎo)數(shù) 設(shè) yxxy ???? 求,sin 師示范 深化 項(xiàng)6，7，8 6．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （ 1） 3 221 xy ?? ，求 dxdy （ 2） xey cosln? ，求 dxdy （ 3） xey 1sin? ，求 dxdy 重點(diǎn)分析、講解，加深對求到法則的認(rèn)識，及使用 板書，輔導(dǎo) 學(xué)生聽課練習(xí) 15 分鐘 7. 求由方程 yxexy ?? 確定的隱含數(shù)的導(dǎo)數(shù) dxdy 8．求函數(shù) 5 )2)(1( )4)(3( ?? ??? xx xxy 的導(dǎo)數(shù) y? 啟發(fā)誘導(dǎo)、重點(diǎn)提示，掌握法則 板書，輔導(dǎo) 1. 分組討論 2. 找出解答方法 5 分鐘 歸納 、差、積、商的求導(dǎo)法則，并用導(dǎo)數(shù)公式直接求簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù) 、隱含數(shù)、高級導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)數(shù)法則 4 掌握較復(fù)雜的初等函數(shù)的求導(dǎo)法 教師 引導(dǎo)、 學(xué)生總結(jié)、 教師歸納 板書 學(xué)生發(fā)言 20 分鐘 訓(xùn)練 項(xiàng)目1 2 訓(xùn)練項(xiàng)目 1： 設(shè) )(xf 可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （ 1） )( nxfy? （ 2） )(co s)(s in 22 xfxfy ?? 個(gè)別指導(dǎo) 板書 學(xué)生個(gè)人操作 10 分鐘 訓(xùn)練項(xiàng)目 2： （ 1）求函數(shù) xcoxy 2? 的 n 階導(dǎo)數(shù) （ 2）用對數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù) xxxy )1( ?? 的導(dǎo)數(shù) 個(gè)別指導(dǎo)，并給與相應(yīng)提示 小組討論 7 分鐘 總結(jié) 知識要點(diǎn)： 、差、積、商的求導(dǎo)法則，并用導(dǎo)數(shù)公式直接求簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù) 、隱含數(shù)、高級導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)數(shù)法則 4 掌握較復(fù)雜的初等函數(shù)的求導(dǎo)法 教師講授 板書 學(xué)生聽課 3 分鐘 作業(yè) 后記 設(shè)計(jì)九： 4 課時(shí) 函數(shù)的微分及微分的應(yīng)用 教 學(xué) 目 標(biāo) 能力 (技能 )目 標(biāo) 知識目標(biāo) 能力 1 認(rèn)識微分與導(dǎo)數(shù)的密切關(guān)系及在微積分理論中的重要作用 能力 2 在掌握基本初等函數(shù)的微分公式與運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上熟練求解初等函數(shù)的微分 能力 3 在掌握微分的幾何意義的基礎(chǔ)上，具有微分應(yīng)用的能力 ，掌握函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系 并能熟練求解初等函數(shù)的微分 4 掌握微分在科學(xué)及工程中的近似計(jì)算的應(yīng)用 能 力 訓(xùn) 練 任 務(wù) 及 案 例 項(xiàng)目 1：函數(shù)微分定義的理解 項(xiàng)目 2：基本初等函數(shù)的微分公式與運(yùn)算法則 項(xiàng)目 3： 微分的幾何意義及微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 案例 1： 設(shè)邊長為 0x 的正方形金屬薄片，加熱后邊長增長了 x? ，問該金屬薄片的面積增加了多少？ 案例 2：有一批直徑為 1cm的鋼珠，為了提高使用壽命，需要在鋼珠表面鍍一層厚度為 ，試估計(jì)每只鋼珠需要銅金屬多少克？ 案例 3：利用微分計(jì)算 029sin 的近似值 參 考 資 料 1.《高等數(shù)學(xué)》第二版 侯風(fēng)波主編 高等教育出版 社 2.《高等數(shù)學(xué)》第三版 侯風(fēng)波主編 高等教育出版社 3.《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》 薛桂蘭 牛 莉主編 高等教育出版社 4.《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義》 朱鵬華等主編 山東大學(xué)出版社 教案（函數(shù)的微分及微分的應(yīng)用） 步驟 教學(xué)內(nèi)容 教學(xué)方法 教學(xué)手段 學(xué)生活動(dòng) 時(shí)間分配 告知 教學(xué)內(nèi)容：微分與導(dǎo)數(shù)有著密切的關(guān)系，在整個(gè)微積分的 理論中意義重大，恰是微分聯(lián)系起導(dǎo)數(shù)與積分 教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生理解微分的有關(guān)概念，掌握微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、基本初等函數(shù)的微分公式與運(yùn)算法則，理解微分的幾何意義，進(jìn)而掌握微分在科學(xué)、工程上近似計(jì)算中的應(yīng)用 口述 15 分 鐘 引入 項(xiàng) 目1 1：已知函數(shù)設(shè)邊長為 0x 的正方形金屬薄片，加熱后邊長增長了 x? ，問該金屬薄片的面積增加了多少？ 引入函數(shù)微分的有關(guān)概念、可微與可導(dǎo)的關(guān)系 2． 求 3xy? 當(dāng) ,3 ??? xx 時(shí)的增量與微分 3．求函數(shù) )1ln( xy ?? 的微分 dy 4． 基本初等函數(shù)的微分公式與運(yùn)算法則 5．設(shè)函數(shù)（ 1） )32sin( ?? xy （ 2） )1s in (12 xay x ?? ? 求 dy 提問（口述）：什么是微分？它與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系如何？ 板書：案例 的解題示范 1. 學(xué)生在教師講解啟發(fā)下理解法則及法則的使用方法 15 分鐘 操練 在下列括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)使等式成立 （ 1） dxxd ?? 1 1)( （ 2） dxed x2)( ?? （ 3） dxxd 1)( ? 求下列函數(shù)的微分： 啟發(fā)誘導(dǎo)、重點(diǎn)講解、教師示范 學(xué)生聽課練習(xí) 90 分鐘 （ 1） xxy 21 ?? （ 2） xxy 5sin? （ 3） ? ?2)1ln( xy ?? （ 4） )3co s( xey x ?? ? 深化 項(xiàng)6，7，8 6．微分的幾何意義：用切線段來近似代替曲線段，即 ydy ?? 如圖所示 （ 1）解答案例 2 （ 2）解答案例 3 重點(diǎn)分析、講解，加深對 微分定義、及微分與導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解 板書，輔導(dǎo) 學(xué)生聽課練習(xí) 15 分鐘 7. 微分的近似計(jì)算公式的推導(dǎo)與應(yīng)用： （ 1）公式： xxfxfxf ???? )()()( 00 當(dāng) 00?x 時(shí)， xffxf )0()0()( ??? （ 2）工程技術(shù)上常用的一些計(jì)算公式及推導(dǎo) xxxexxxxxnxxn?????????)1ln(。如圖所示。 教師講授 板書 學(xué)生聽課 3 分鐘 作業(yè) 后記 設(shè)計(jì)七： 4 課時(shí) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（函數(shù)的變化率） 教學(xué) 目標(biāo) 能力 (技能 )目標(biāo) 知識目標(biāo) 能力 1 在理解函數(shù)中的變量關(guān)系及經(jīng)濟(jì)函數(shù)模型基礎(chǔ)上，提高對函數(shù)自變量變化快慢的程度，即變化率的認(rèn)識 能力 2 建立由邊際成本即總成本對產(chǎn)量的變化率、平均速度與瞬時(shí)速度的關(guān)系，抽象出數(shù)學(xué)上的一般形式，即函數(shù)的改變量與自變量改變量比值的極限，就是