二階常微分方程的解法及其應(yīng)用本科畢業(yè)論文-wenkub.com
2024-08-21 17:40 本頁面
【正文】 另外，對(duì)于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，目前還尚有通用的求解方法，只有一些特殊類型是可以求解的。 拉普拉斯變換法 依然使用之前的例子，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可以得到以下的公式 22d x dxm c kx Fdt dt? ? ?, 將這一公式代入數(shù)據(jù)之后可以得到 22 2 0 4 0 0 c o s ( 2 )d x d x xtd t d t? ? ?, (12) 由于質(zhì)點(diǎn)通過開設(shè)的靜止?fàn)顟B(tài)逐步運(yùn)動(dòng)，那么就可以得到以下的公式 0 0, 0t dxx dt? ??, 對(duì)方程 (12)進(jìn)行拉普拉斯變換 ,得到 2 2( ) 2 0 ( ) 4 0 0 ( ) 4ss X s s X s X s s? ? ? ?, 即 22 1() 4 2 0 4 0 0sXs s s s? ? ? ?, 把上式右端分解為部分分式 221 0 2 9 9() 3 9 6 0 4 4 3 9 6 0 4 4sXs ss???? 2 2 2 21 0 1 3 1 0 3 9 9 1 01 1 8 8 1 2 3 9 6 0 4( 1 0 ) ( 1 0 3 ) ( 1 0 ) ( 1 0 3 )sss ???? ? ? ?, 由拉普拉斯變換表可得 1 0 9 9( ) s i n ( 2 ) c o s ( 2 )3 9 6 0 4 3 9 6 0 4x t t t?? 10 1010 1 3 99sin( 10 3 ) c os( 10 3 )11 88 12 39 60 4tte t e t????。()ct的一階線性微分方程 ,并且在方程當(dāng)中一個(gè)特解為 39。從以上的 公式可以得到，如果質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)受到外力作用之后，整個(gè)系統(tǒng)有著比較復(fù)雜的振動(dòng)狀態(tài)，這屬于穩(wěn)態(tài)振動(dòng)和自由衰減振動(dòng)兩者的有機(jī)合成體，在這樣的振動(dòng)狀態(tài)之下對(duì)于強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)中逐步建立穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的過程進(jìn)行有效描述。（ 7）與（ 8）這兩個(gè)方程式都屬于質(zhì)點(diǎn)強(qiáng)迫 振動(dòng)方程。而我們的關(guān)注點(diǎn)是在基于 0??? 此種情況下 ,質(zhì)點(diǎn)呈現(xiàn)出逐漸衰減的振動(dòng)。通常來說，對(duì)于物理問題進(jìn)行求解主要應(yīng)該分為以下三個(gè)步驟內(nèi)容：第一步是對(duì)問題進(jìn)行分析從而做到對(duì)方程的建立并且對(duì)定解條件進(jìn)行 明確；第二步是對(duì)解的性質(zhì)進(jìn)行討論或者求出方程以便滿足初始條件的特解；第三步是定性分析對(duì)解，對(duì)原來問題反著進(jìn)行解釋，其中最為關(guān)鍵的因素就是要將方程列出，而列出方程的方法主要有：微元分析法和瞬時(shí)變化法。 求解方程 2 39。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用 傳遞函數(shù) 代替常系數(shù)微分方程來描述系統(tǒng)的特性。拉氏變換 法 是一個(gè) 線性變換 法 ，可將一個(gè)有 因 數(shù)實(shí)數(shù) )0( ?tt 的函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè) 因 數(shù)為復(fù)數(shù) s 的函數(shù)。 它是連接非齊次線性微分方程與相應(yīng)的齊次線性微分方程的橋梁。 求微分方程 22 0d x dxp qxdt dt? ? ?的通解 . 解 特征方程 02 ??? qp?? 的根 21,?? , (1)若這是兩個(gè)不等實(shí)根 ,則該方程有兩個(gè)實(shí)值解 12, ttee??,故通解為 1212ttx c e c e????（ 21,cc 為任意常數(shù)） . (2)若這兩個(gè)根相等 ,則該方程有二重根 ,因此方程的通解具有形狀 1112ttx c e c te????（ 21,cc 為任意常數(shù)） . (3)若這兩個(gè)根為共軛復(fù)根 z a bi?? ,則該方程的通解具有形狀 12( si n c o s )atx e c b t c b t??（ 21,cc 為任意常數(shù)） . 數(shù)學(xué)的許多公式與定理都需要證明 ,下面本文給出上面前兩個(gè)解答的理論依據(jù) . 特征根 是兩個(gè)實(shí)根的情形 設(shè) 12,??是上面特征方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根 ,從而相應(yīng)的方程有如下兩個(gè)解12, ttee??, 我們指出這兩個(gè)解在 a t b?? 上線性無關(guān) ,從而它們能夠組成方程的基本解組 .事實(shí)上 ,這時(shí) 12 12()121211() tt teew t e?? ?? ???? ???, 而最后一個(gè)行列式是著名的范德蒙德（ Vandermonde）行列式 ,它等于 21()??? .由于假設(shè) 21??? ,故 此行列式不等于零 ,從而 () 0wt? ,于是 12, ttee??線性無關(guān) ,這就是所要證明的 .而此方程 的通解可表示為 1212ttx c e c e????（其中 12,cc為任意數(shù)） . 如果特征方程有復(fù)根 ,則因方程的系數(shù)是實(shí)常數(shù) ,復(fù)根將成對(duì)共軛出現(xiàn) .設(shè)1 i? ? ??? 是一特征根 ,則 2 i? ? ??? 也是特征根 ,因而與這對(duì)共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)的 ,方程 有兩個(gè)復(fù)值解 () ( c os si n )i t te e t i t? ? ? ??? ??, () ( c o s sin )i t te e t i t? ? ? ??? ??. 根據(jù)定理可知 ,復(fù)值解的實(shí)部和虛部也是方程的解 .這樣一來 ,對(duì)應(yīng)于特征方程的一對(duì)共軛復(fù) 根 i? ? ??? ,我們可求的方程 22 0d x dxp qxdt dt? ? ?的兩個(gè)實(shí)值解 cos , sintte t e t????. 特征根有重根的情形 設(shè)特征方程有 k 重根 1,??? 則眾所周知 39。關(guān)于它的解結(jié)構(gòu)己有十分完美的結(jié)論，但其求解方法卻各有不同，因此 .二階常系數(shù)線性微分方程的求解方法成為常微分方程研究的熱點(diǎn)問題之一。人所共知，常微分方程從它產(chǎn)生的那天起，就是研究自然界變化規(guī)律、研究人類社會(huì)結(jié)構(gòu)、生態(tài)結(jié)構(gòu)和工程技術(shù)問題的強(qiáng)有力工具。特征根法；常數(shù)變異法；拉普拉斯變換 METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper mainly introduces three kinds of soluti
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