【正文】 AC=4，BC=3，利用面積可求出CD=,然后可求出AD=， 由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=ADAP=，所以AP=．所以=．問題2：（1）設(shè)對角線與相交于點(diǎn)．Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由題可知：當(dāng)QP⊥AB時，PQ最小，此時=CH=4，根據(jù)條件可證四邊形BPQH為矩形，從而QH=BP=AP．所以．（2）根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng) AB時，的長最小，PQ的最小值為．．試題解析：問題1：（1）3，；（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．由題意可知當(dāng)PQ⊥AB時，PQ最短．所以此時四邊形CDPQ為矩形．PQ=CD，DP=CQ=PE．因?yàn)椤螧CA=90176。又∵∠DAE+∠BAE=90176。∴∠AKB+∠APB=180176?！唷螦EF=∠BEG，∵EA=EB，∠EFA=∠G=90176?！唷螦PB=90176。．點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動．連接AM和BN，交于點(diǎn)P．求△APB周長的最大值．【答案】（1）AM⊥BN，證明見解析；（2）△APB周長的最大值4+4；（3）△PAB的周長最大值=2+4．【解析】試題分析：根據(jù)全等三角形的判定SAS證明△ABM≌△BCN，即可證得AM⊥BN；（2）如圖②，以AB為斜邊向外作等腰直角△AEB，∠AEB=90176。∴∠AEF+∠DEC=90176。根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積．試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB與△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四邊形CDOF=S矩形ABCD2S△ABF=46243=12．探究：解：分為兩種情況：①如圖1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四邊形A′DCB是平行四邊形，∴BC=A′D=2，過B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30176。時，∵∠A′OC′＝90176?！郃′B＝，∴BD＝（），∴CD＝6﹣（）=，∴BC與A′B′的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，6）；（2）如圖②，過點(diǎn)C′作x軸垂線MN，交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B′作MN的垂線，垂足為N，∵∠OC′B′＝90176。時，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（3）若P為線段BC′的中點(diǎn)，求AP長的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）當(dāng)α＝45176。,∴∠1+∠4=45176。)= 135176?！螪AP＝90176。,∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45176。（2） 延長AP交直線CD于點(diǎn)F.①如圖2，若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求△APE的面積；②若ΔAPE的面積是，則DF的長為 （3） 如圖3，點(diǎn)E在邊AB上，連接EC交BD于點(diǎn)M,作點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，連接PQ，MQ，過點(diǎn)P作PN∥CD交EC于點(diǎn)N，連接QN，若PQ=5，MN=，則△MNQ的面積是 【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）【解析】【分析】（1）利用正方形每個角都是90176。176。Ⅲ、當(dāng)AN=AO時，旋轉(zhuǎn)角a=∠ANO+90176。∴∠ANO=90176?！摺螦DO=45176。45176?！唳?∠ANO∠ADO=176?！邔⒄叫蜲EFG繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，∴∠G′OD=∠E′OC，∴∠AOG′=∠COE′，在△AG′O與△ODE′中，∴△AG′O≌△ODE′∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，∵∠1=∠2，∴∠G′HD=∠G′OE′=90176。．【解析】【分析】（1）由四邊形OEFG是正方形，得到ME=GE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CD∥GE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到結(jié)論；（2）如圖2，延長E′D交AG′于H，由四邊形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90176?；?5176?！咚倪呅蜛BCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD為等邊三角形∴∠4=60176。AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根據(jù)S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解題；（3）當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又根據(jù)S△CEF=S四邊形AECFS△AEF，則△CEF的面積就會最大.試題解析：（1）證明：連接AC，∵∠1+∠2=60176。又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90176?！唷鱉EC是等腰直角三角形．∵G為CM中點(diǎn)，∴EG=CG，EG⊥CG【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題．（1）關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答；（2）關(guān)鍵是利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)解答．5．如圖，ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上的任意一點(diǎn)，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求證：AF=BF+EF．【答案】詳見解析.【解析】【分析】由四邊形ABCD為正方形，可得出∠BAD為90176。EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90176。∴EF⊥BD，∴四邊形BFDE為菱形．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．4．已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．（1）請問EG與CG存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)45176?！唷螮FM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90176?！郆E2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4++1=．點(diǎn)睛：此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理．2．如圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），將