20xx年成人高考(專升本筆記)高等數(shù)學(xué)一-資料下載頁(yè)
2025-07-28 11:12本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】稱為數(shù)列，記作，其中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)。為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如。在幾何上，數(shù)列可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)。否則稱數(shù)列沒(méi)有極限，如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。定理（惟一性）若數(shù)列收斂，則其極限值必定惟一。定理若數(shù)列，，滿足不等式且。定理單調(diào)有界，則它必有極限。在微積分中常用希臘字母來(lái)表示無(wú)窮小量。定理函數(shù)以A為極限的必要充分條件是：可表示為A與一個(gè)無(wú)窮小量之和。無(wú)窮小量是變量它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)是變量無(wú)限趨于零的。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見(jiàn)以下的定理。性質(zhì)1有限多個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量；性質(zhì)4無(wú)窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無(wú)窮小量。如果則稱是與同階的無(wú)窮小量；如果則稱與是等價(jià)無(wú)窮小量，記為～；因?yàn)?，所以稱與x是等價(jià)無(wú)窮小量（當(dāng)時(shí)）。
【正文】 ）的極限不存在； （ 3）雖然在點(diǎn) 處 f（ x）有定義，且 存在，但 。 （二）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì) 由于函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 定理（四則運(yùn)算） 設(shè)函數(shù) f（ x）， g（ x）在 處皆連續(xù)，則 在 處連續(xù) 在 處連續(xù) 若 ，則 在 處連續(xù)。 定理（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 ）設(shè)函數(shù) u=g（ x）在 處連續(xù)， y=f（ u）在 處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) y=f[g（ x） ]在 處連續(xù)。 在求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，如果 u=g（ x），在 處極限存在，又 y=f（ u）在對(duì)應(yīng)的 處連續(xù)。則極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換。即 定理（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù) y=f（ x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán) 格單調(diào)減少），則它的反函數(shù) 也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）。 （三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)的函數(shù) f（ x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。 定理（有界性定理）如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，則 f（ x）必在 [a， b]上有界。 定理（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m。 定理（介值定理）如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m，則對(duì)于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c，在 [a， b]上至少存在一個(gè) ，使得 推論如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，且 f（ a）與 f（ b）異號(hào)，則在 [a， b]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得， （四）初等函數(shù)的連續(xù)性 由函數(shù) 在一點(diǎn)處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于，基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到下列重要結(jié)論。 定理：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。 如需精美完整排版，請(qǐng) ： 67460666 手機(jī) 137 8381 6366聯(lián)系 利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果 f（ x）是初等函數(shù)，且 是定義區(qū) 間內(nèi)的點(diǎn)，則 例 （ 1）設(shè) ，當(dāng) x≠0 時(shí)， F（ x） =f（ x）。若 F（ x）在點(diǎn) x=0 處連續(xù)，則 F（ 0）等于 ____。 [答 ]C （ 2）設(shè) 在 x=0 處連續(xù)，則 a=_____。 [答 ]0 例 （ 1）點(diǎn) x=1 是函數(shù) 的（）。 [答 ]B （ 2）點(diǎn) x=0 是函數(shù) 的（）。 ，但不是可去間斷點(diǎn) [答 ]A 例 在區(qū)間（ 1， 2）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 . 例 f（ x）在 [a， b]上連續(xù)，且 f（ a）＜ a， f（ b）＞ ：在開(kāi)區(qū)間（ a， b）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使 . 證明：令 F（ x） =f（ x） x,則有 F（ a） = f（ a） a＜ 0 F（ b） = f（ b） b＞ 0 故由零值定理可知，至少存在一點(diǎn) ，使 . 即在開(kāi)區(qū)間（ a， b）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使 . … … ( 剩余六章 略 ) 完整版請(qǐng) —— ： 67460666 TEL： 137 8381 6366 索取
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