【正文】 r2（n表示扇形圓心角的度數(shù)）跑道：每條跑道的周長(zhǎng)等于兩半圓跑道合成的圓的周長(zhǎng)加上兩條直跑道的和。因?yàn)閮蓷l直跑道長(zhǎng)度相等，所以，起跑線不同，相鄰兩條跑道起跑線也不同，間隔的距離是：2π跑道寬度。注：一個(gè)圓的半徑增加a厘米，周長(zhǎng)就增加2πa厘米 一個(gè)圓的直徑增加b厘米，周長(zhǎng)就增加πb 厘米任意一個(gè)正方形的內(nèi)切圓即最大圓的直徑是正方形的邊長(zhǎng)，它們的面積比是4∶π常用數(shù)據(jù)π= 2π= 3π= 4π= 5π= 第五單元、百分?jǐn)?shù)一、百分?jǐn)?shù)的意義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。注：百分?jǐn)?shù)是專門用來(lái)表示一種特殊的倍比關(guān)系的，表示兩個(gè)數(shù)的比，所以，百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率，百分?jǐn)?shù)不能帶單位。百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的區(qū)別和聯(lián)系：（1）聯(lián)系：都可以用來(lái)表示兩個(gè)量的倍比關(guān)系。（2）區(qū)別：意義不同：百分?jǐn)?shù)只表示倍比關(guān)系，不表示具體數(shù)量，所以不能帶單位。分?jǐn)?shù)不僅表示倍比關(guān)系，還能帶單位表示具體數(shù)量。百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)，分?jǐn)?shù)的分子只以是整數(shù)。注：百分?jǐn)?shù)在生活中應(yīng)用廣泛，所涉及問(wèn)題基本和分?jǐn)?shù)問(wèn)題相同，分母是100的分?jǐn)?shù)并不是百分?jǐn)?shù)，必須把分母寫成―%‖才是百分?jǐn)?shù)，所以―分母是100的分?jǐn)?shù)就是百分?jǐn)?shù)‖這句話是錯(cuò)誤的。―%‖的兩個(gè)0要小寫，不要與百分?jǐn)?shù)前面的數(shù)混淆。一般來(lái)講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達(dá)到100%，出米率、出油率達(dá)不到100%，完成率、增長(zhǎng)了百分之幾等可以超過(guò)100%。一般出粉率在70、80%，出油率在40%。小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)之間的互化（1）百分?jǐn)?shù)化小數(shù)：小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，去掉―%‖。（2）小數(shù)化百分?jǐn)?shù)：小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，添上―%‖。（3）百分?jǐn)?shù)化分?jǐn)?shù)：先把百分?jǐn)?shù)寫成分母是100的分?jǐn)?shù)，然后再化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。（4）分?jǐn)?shù)化百分?jǐn)?shù)：分子除以分母得到小數(shù)，（除不盡的保留三位小數(shù)）然后化成百分?jǐn)?shù)。（5）小數(shù) 化 分?jǐn)?shù)：把小數(shù)成分母是100、1000等的分?jǐn)?shù)再化簡(jiǎn)。（6）分?jǐn)?shù) 化 小數(shù)：分子除以分母。二、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題求常見(jiàn)的百分率 如：達(dá)標(biāo)率、及格率、成活率、發(fā)芽率、出勤率等求百分率就是求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（或少）百分之幾，實(shí)際生活中，人們常用增加了百分之幾、減少了百分之幾、節(jié)約了百分之幾等來(lái)表示增加、或減少的幅度。求甲比乙多百分之幾（甲乙）247。乙 求乙比甲少百分之幾（甲乙）247。甲求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少 一個(gè)數(shù)（單位―1‖）百分率已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù) 部分量247。百分率=一個(gè)數(shù)（單位―1‖）折扣 折扣、打折的意義：幾折就是十分之幾也就是百分之幾十折扣 成數(shù) 幾分之幾 百分之幾 小數(shù) 通用 八折 八成 十分之八 百分之八十 八五折 八成五 十分之八點(diǎn)五 百分之八十五 五折 五成 十分之五 百分之五十 半價(jià)納稅 繳納的稅款叫做應(yīng)納稅額。（應(yīng)納稅額）247。（總收入）=（稅率）（應(yīng)納稅額）=（總收入）（稅率）利率（1）存入銀行的錢叫做本金。（2）取款時(shí)銀行多支付的錢叫做利息。（3）利息與本金的比值叫做利率。利息=本金利率時(shí)間稅后利息=利息利息的應(yīng)納稅額=利息利息5% 注：國(guó)債和教育儲(chǔ)蓄的利息不納稅百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題型分類（1）求甲是乙的百分之幾——（甲247。乙）100% = 100% = 百分之幾（2）求甲比乙多(少)百分之幾—— 100% = 100% 例① 甲是50，乙是40，甲是乙的百分之幾？（50是40的百分之幾？）50247。40=125% ② 甲是50，乙是40，乙是甲的百分之幾？（40是50的百分之幾？）40247。50=80% ③ 乙是40，甲是乙的125%，甲數(shù)是多少？（40的125%是多少？）40125%=50 ④ 甲是50，乙是甲的80%，乙數(shù)是多少？（50的80%是多少？）5080%=40 ⑤ 乙是40，乙是甲的80%，甲數(shù)是多少？（一個(gè)數(shù)的80%是40，這個(gè)數(shù)是多少？）40247。80%=50 ⑥ 甲是50，甲是乙的125%，乙數(shù)是多少？（一個(gè)數(shù)的125%是50，這個(gè)數(shù)是多少？）50247。125%=40 ⑦ 甲是50，乙是40，甲比乙多百分之幾？（50比40多百分之幾？）(5040)247。40100%=25% ⑧ 甲是50，乙是40，乙比甲少百分之幾？（40比50少百分之幾？）(5040)247。50100%=20% ⑨ 甲比乙多25%，多10，乙是多少？10247。25%=40 ⑩ 甲比乙多25%，多10，甲是多少？10247。25%+10=50 ? 乙比甲少20%，少10，甲是多少？10247。20%=50 ? 乙比甲少20%，少10，乙是多少？10247。20%10=40 ? 乙是40，甲比乙多25%，甲數(shù)是多少？（什么數(shù)比40多25%？）40（1+25%）=50 ? 甲是50，乙比甲少20%，乙數(shù)是多少？（什么數(shù)比50多25%？）50（120%）=40 ? 乙是40，比甲少20%，甲數(shù)是多少？（40比什么數(shù)少20%？）40247。（120%）=50 ? 甲是50，比乙多25%，乙數(shù)是多少？（50比什么數(shù)多25%？）40247。（1+25%）=40 第六單元、統(tǒng)計(jì)扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義：用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個(gè)扇形面積表示各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間關(guān)系，也就是各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分比，因此也叫百分比圖。常用統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)點(diǎn)：（1）、條形統(tǒng)計(jì)圖直觀顯示每個(gè)數(shù)量的多少。（2）、折線統(tǒng)計(jì)圖不僅直觀顯示數(shù)量的增減變化，還可清晰看出各個(gè)數(shù)量的多少。（3）、扇形統(tǒng)計(jì)圖直觀顯示部分和總量的關(guān)系。第七單元、數(shù)學(xué)廣角一、研究中國(guó)古代的雞兔同籠問(wèn)題。用表格方式解決有局限性，數(shù)目必須小，例： 頭數(shù) 雞（只）兔（只）腿數(shù) 35 1 34 35 2 33 35 3 32 ……（逐一列表法、腿數(shù)少，小幅度跳躍；腿數(shù)多，大幅度跳躍。跳躍逐一相結(jié)合、取中列表）用假設(shè)法解決（1）假如都是兔（2）假如都是雞（3）假如它們各抬起一條腿（4）假如兔子抬起兩條前腿用代數(shù)方法解（一般規(guī)律）注釋：這個(gè)問(wèn)題，是我國(guó)古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題。書中是這樣敘述的：―今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？二、和尚分饅頭100個(gè)和尚吃100個(gè)饅頭，大和尚一人吃3個(gè)，小和尚三人吃一個(gè)。大小和尚各多少人？ 國(guó)明代珠算家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》里有一道著名算題： 一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無(wú)爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾丁？“ 如果譯成白話文，其意思是：有100個(gè)和尚分100只饅頭，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，試問(wèn)大、小和尚各有幾人？ 方法一，用方程解：解：設(shè)大和尚有x人，則小和尚有(100－x)人，根據(jù)題意列得方程： 3x +(100－x)=100 x＝25 100－25＝75人 方法二，雞兔同籠法：(1)假設(shè)100人全是大和尚，應(yīng)吃饅頭多少個(gè)？3100=300(個(gè))．(2)這樣多吃了幾個(gè)呢？300－100=200(個(gè))．(3)為什么多吃了200個(gè)呢？這是因?yàn)榘研『蜕挟?dāng)成大和尚。那么把小和尚當(dāng)成大和尚時(shí)，每個(gè)小和尚多算了幾個(gè)饅頭？3－ =（個(gè)）(4)每個(gè)小和尚多算了8/3個(gè)饅頭，一共多算了200個(gè)，所以小和尚有：小和尚：200247。 ＝75（人）大和尚：100－75＝25（人）方法三，分組法：由于大和尚一人分3只饅頭，小和尚3人分一只饅頭。我們可以把3個(gè)小和尚與1個(gè)大和尚編為一組，這樣每組4個(gè)和尚剛好分4個(gè)饅頭，那么100個(gè)和尚總共分為100247。（3+1）=25組，因?yàn)槊拷M有1個(gè)大和尚，所以有25個(gè)大和尚；又因?yàn)槊拷M有3個(gè)小和尚，所以有253＝75個(gè)小和尚。這是《直指算法統(tǒng)宗》里的解法，原話是：”置僧一百為實(shí)，以三一并得四為法除之，得大僧二十五個(gè)?！八^”實(shí)“便是”被除數(shù)“，”法“便是”除數(shù)。列式就是：100247。（3+1）=25（組）大和尚：251=25（人）小和尚：10025=75（人）或253=75（人）我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧由此可見(jiàn)一斑。三、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題結(jié)構(gòu)類型（一）求甲是乙的幾倍（或幾分之幾或百分之幾）的應(yīng)用題。解法：甲數(shù)除以乙數(shù)例：校園里有楊樹40棵，柳樹有50棵，楊樹的棵樹占柳樹的百分之幾？（或幾分之幾？）（二）求甲數(shù)的幾倍（或幾分之幾或百分之幾）是多少的應(yīng)用題。解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，首先要確定單位―1‖，在單位―1‖確定以后，一個(gè)具體數(shù)量總與一個(gè)具體分?jǐn)?shù)（分率）相對(duì)應(yīng)，這種關(guān)系叫―量率對(duì)應(yīng)‖，這是解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵。求一個(gè)數(shù)的幾倍（幾分之幾或百分之幾）是多少用乘法，單位―1‖分率=對(duì)應(yīng)數(shù)量 例：六年級(jí)有學(xué)生180人，五年級(jí)的學(xué)生人數(shù)是六年級(jí)人數(shù)的56。五年級(jí)有學(xué)生多少人？ 18056 =150（三）已知甲數(shù)的幾倍（或幾分之幾或百分之幾）是多少，求甲數(shù)（即求標(biāo)準(zhǔn)量或單位―1‖）的應(yīng)用題。解法：對(duì)應(yīng)數(shù)量247。對(duì)應(yīng)分率=單位―1‖例：育紅小學(xué)六年級(jí)男生有120人，？ 120247。35 =200（人）