【正文】 。165。n174。165。證：“必要性”，若limPn=P0222。e0,$N206。N+,當(dāng)nN時(shí)，就有Pn206。U(P0,e)n174。165。即 r(Pn,P0)=(xnx0)2+(yny0)2e推得xnx0163。r(Pn,P0)e，即limxn=x0n174。165。yny0163。r(Pn,P0)e，即limyn=y0n174。165?！俺浞中浴?，若limxn=x0，limyn=y0222。對(duì)e0,$N206。N+n174。165。n174。165。當(dāng)nN時(shí)，就有xnx0ee,yny0221212e+e=e，22這時(shí)r(Pn,P0)=(xnx0)2+(yny0)2即Pn206。U(P0,e),所以limPn=P0n174。165。求下列各函數(shù)的函數(shù)值1+313233。arctan(x+y)249。(1)，f(x,y)=234。,求f(,)arctan(xy)22235。 2xyy(2)f(x,y)=2,求f(1,).x+y2xx(3)f(x,y)=x2+y2xyarctan,求f(tx,ty).y21233。249。2arctan(1+3+13)234。1+313arctan19233。249。2解:(1)f(,)=234。=234。=16122arctan3235。234。arctan(1+31+3)235。22g1gyyx=2xy(2):f(1,)=x12+(y)2x2+y2xtxx(3)f(tx,ty)=(tx)2+(ty)2(tx)(ty)arctan=t2(x2+y2xyarctan)tyy2設(shè)F(x,y)=lnxlny，證明：若u0,v0，則 F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)證：右式=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=(lnx+lny)lnu+(lnx+lny)lnv=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxylnuv=左式求下列各函數(shù)的定義域，畫出定義的圖形，并說明是何種點(diǎn)集。x2+y2(1)f(x,y)=2xy2定義域D={(x,y)|y185。177。x},是開集，但不是開域，圖略。(2)f(x,y)=12x2+3y2解：定義域D={(x,y)|2x2+3y2185。0},是開集。(3)f(x,y)=xy解：定義域D={(x,y)|xy0},是閉集。(4)f(x,y)=1x2+y21解：定義域D={(x,y)|x163。1,y179。1},是閉集，但不是區(qū)域。圖略。(5)f(x,y)=lnx+lny解：定義域D={(x,y)|x0,y0},是開集，也是開域。圖略。(6)f(x,y)=sin(x2+y2)解：定義域D={(x,y)2kp163。x2+y2163。(2k+1)p,k=0,1,2,L} 是閉集，但不是區(qū)域.(7)f(x,y)=ln(yx)解：定義域D={(x,y)|yx}，是開集，也是開域.(8)f(x,y)=e(x2+y2)2解：定義域D=R,是開集，又是閉集，是閉域又是開域.(9)f(x,y,z)=zx2+y2+1解：定義域D=R2，是開集也是閉集，是開域又是閉域.（10）f(x,y,z)=R2x2y2z2+1x+y+zr2222(Rr)22222解：定義域{(x,y,z)rx+y+z163。R}不是開集，也不是閉集，是有界集。證明：開集與閉集具有對(duì)偶性若E是開集，則CE是閉集；若E是閉集，則CE是開集。分析：由開、閉集的定義。證：(1)若E是開集222。P207。E且不為E的界點(diǎn)，若$d0，使U(P，d)199。E=f222。點(diǎn)P有U(P，d)，從而也是CE的聚點(diǎn)；若P是E的界點(diǎn)，那么P同時(shí)也是CE的界點(diǎn)222。P是CE的聚點(diǎn)。(2)若E是閉集222。對(duì)P206。CE，即P207。E，則P不是E的聚點(diǎn)222?？偞嬖赑的某個(gè)鄰域U(P，d)，使U(P，d)IE=f222。U(P，d)206。CE222。P是CE的內(nèi)點(diǎn)222。CE的每個(gè)點(diǎn)都是CE的內(nèi)點(diǎn)，、證明：(1)若F1，F(xiàn)2是閉集，則F1UF2與F1IF2都是閉集證：先證：C(F1UF2)=CF1ICF2；C(F1IF2)=CF1UCF2若P206。C(F1UF2)222。P207。(F1UF2)222。P207。F1且P207。F2222。P206。CF1且P206。CF2222。P206。CF1ICF2)222。C(F1UF2)=CF1ICF2反之，若Q206。CF1ICF2222。Q206。CF1且Q206。CF2222。Q207。F1且Q207。F2Q207。F1UF2222。Q206。C(F1UF2)222。C(F1UF2)=CF1ICF2故C(F1UF2)=(F1IF2)=CF1UCF2由于F1，F(xiàn)2是閉集，由習(xí)題9知，CF1，CF2是開集222。P206。C(F1UF2)222。P206。CF1ICF2222。$d1(P，d1)204。CF1且$d2(P，d2)204。CF2222。U(P，min{d1，d2})204。CF1ICF=C(F1UF2)Q206。C(F1IF2)222。Q206。CF1UCF2222。$d39。10,有U(P，d39。1)204。CF1或者$d39。20,有U(P，d39。2)204。CF2222。U{Q，min{d39。1,d39。2}}204。CF1UCF2=C(F1IF2)C(F1IF2)是開集，F(xiàn)1IF2是閉集。(2)若E1，E2是開集，則E1UE2與E1IE2都為開集。證：E1，E2都為開集222。CE1，CE2都為閉集222。CE1UCE2=C(E1IE2)CE1ICE2=C(E1UE2)都是閉集(見(1))222。E1UE2，E1IE2(見習(xí)題9)(3)若F是閉集，E為開集，則FE為閉集，EF為開集證：先證：任何兩個(gè)集A，B：AB=AICB因?yàn)椋簒206。AB222。x206。A，x207。B222。x206。A，x206。CB222。x206。AICB反之，y206。AICB=y206。A222。y206。A，y207。B222。y206。AB，所以AB=AICB由于 F是閉集，E為開集222。CF是開集，CE是閉集222。FCE是閉集222。FE為閉集，而E199。CF是開集，EF是開集。注：本題亦可以按定義證明：這里只證EF為開集，p206。EF，則p206。E,p207。F,由此知p為E的內(nèi)點(diǎn)，p為F的外點(diǎn)，于是分別存在d10和d20,使得U(p。d1)204。E,U(p。d2)199。F=198。,取d=min(d1,d2),則有U(p。d)204。EF,即p是EF的內(nèi)點(diǎn)，所以EF為開集。1試把閉域套定理推廣 閉集套定理，：設(shè){Dn}是R2中的閉集列，它滿足(i)Dn201。Dn+1,n=1,2,L(ii)dn=d(Dn),limdn=0n174。165。則存在唯一點(diǎn)P0206。D,n=1,2,：任取點(diǎn)列Pn206。Dn,n=1,2,L,由于Dn+p204。Dn,Pn+p,Pn從而有 r(Pn+p,Pn)163。dn174。0(n174。165。)根據(jù)柯西準(zhǔn)則，$P0206。R2,使limPn=P0n174。165。對(duì)任意確定的n206。N+，對(duì)p206。N+，有Pn+p206。Dn,再令p174。165。因?yàn)镈n是閉集，P0作為Dn的聚點(diǎn)必屬于Dn，即 P0=limPn+p206。Dn,n=1,2,L,p174。165。若還有P39。0206。Dn,n=1,2,L，則由r(P0,P39。0)163。r(P0,Pn)+r(P39。0,Pn)163。2d174。0(n174。165。)r(P39。0,Pn)=0,即P0=P39。0，故定理成立.1：設(shè)D204。R2為一有界閉域，{Da}為一開域族，它覆蓋D(即D204。UDa)，aaUa則在{Da}中必存在有限開域D1,D2D3LDn，它覆蓋了D(即D204。Da)，)證：因?yàn)镈204。R2為一有界域222。$a,b,c,d,L使 Dn204。{(x,y)|a163。x163。b,c163。y163。d}1反證法：若不存在有限個(gè)開域覆蓋D，則取直線x=(a+b)及21y=(c+d)將區(qū)域劃分成四個(gè)區(qū)域，這四個(gè)區(qū)域?qū)劃分若個(gè)2區(qū)域，而A中包含A1則：D1204。D，A1204。A且d1=d(D1)163。1(ba)2+(dc)22記A1={(x,y)|a1163。x163。b1,c1163。x163。d1}11=b1a1=(ba),d1c1=(ba)22同理將長(zhǎng)方形區(qū)域，劃分成四個(gè)長(zhǎng)方形子域，而D1被劃分成若個(gè)閉子域，其中至少有一個(gè)閉子域D2，不能被有限個(gè)開域所覆蓋。記上述閉域?yàn)镈2，(b1a1)2+(d1c1)221記A2={(x,y)|a2163。x163。b2,c2163。y163。d2}222。b2a2=2(ba),d2c2211=2(dc).如此繼續(xù)，得一閉域套{Dn}，其中bnan=n(ba)221dn=n(dc),n=3,4,L2且滿足(i)Dn+1204。Dn,n=1,2,3,L，且Dn不能被有限中開域所則D2204。D1，A2204。A1，d2204。d(D2)163。覆蓋.(ii)dn204。d(Dn)163。所以limdn=0n174。165。12n(ba)2+(dc)，存在唯一點(diǎn)P0206。Dn，N=1,2，3，L根據(jù)閉域定理，存在唯一點(diǎn)P0206。Dn，n=1,2，3，L222。存在某個(gè)區(qū)域Da，使P0206。Da222。存在P0的某個(gè)鄰 域U(P0)使U(P0)204。Da但因?yàn)閘imdn=0222。$N206。N+,當(dāng)nN時(shí)，就有n174。165。Dn204。U(P0)204。Da與假設(shè)矛盾故必存在有限個(gè)區(qū)域D1,D2,LDn，使它們覆蓋D.