第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)-資料下載頁
2024-11-08 07:35本頁面
【正文】 2y)=14。x174。2y174。1（0,0）處的兩個累次極限，并討論在該點處的二重極限的存在性。（1）f(x,y)=xy； x+y(2)f(x,y)=(x+y)sisi； 1x1yx3+y3(3)f(x,y)=2； x+y1(4)f(x,y)=ysi。x（1）lim(x+y)x174。0y174。022x2y2；（2）limx2+y2+x+y122x174。0y174。0；（3）lim(x+y)sinx174。0y174。01； 22x+ysin(x2+y2)（4）lim。22x174。0x+yy174。0ln(1+xy)(x,y)=237。x239。y238。x185。0x=0在其定義域上是連續(xù)的。:lim(3x+2y)=14。x174。2y174。1因為x174。2,y174。1，不妨設(shè)|x2|0,|y1|0，有|x+2|=|x2+4|163。|x2|+45，|3x+2y14|=|3x12+2y2|163。3|x2||x+2|+2|y1|15|x2|+2|y1|15[|x2|+|y1|]e0，要使不等式|3x+2y14|15[|x2|+|y1|]e成立 取d=min{e30,1}，于是e0，$d=min{e30,1}0，(x,y)：|x2|d,|y1|d且(x,y)185。(2,1)，有|3x+2y14|e，即證。（0,0）處的兩個累次極限，并討論在該點處的二重極限的存在性。（1）f(x,y)=xy； x+yxyxylimli=1，limlim=1y174。0x174。0x+yx174。0y174。0x+y二重極限不存在。xyxy1或lim=0，li=。x174。0x+yx174。0x+y3y=xy=2x(2)f(x,y)=(x+y)sin11sin； xy0163。|(x+y)sinsin|163。|x|+|y|xy可以證明lim(|x|+|y|)=0所以limf(x,y)=0。x174。0y174。0x174。0y174。0當(dāng)x185。111，y174。0時，f(x,y)=(x+y)sinsin極限不存在，kpxy因此limlim(x+y)sisi不存在，x174。0y174。0xylim(x+y)sisi不存在。同理limy174。0x174。0x1yx3+y3(3)f(x,y)=2；x+y2x3limf(x,y)=lim=0，x174。0x174。0x+xy=x當(dāng) P(x, y)沿著y=x+x趨于（0,0）時有y=x+xx3+(x3x2)3limf(x,y)=li2=1，x174。0x174。0x+x3x223x174。0y174。0所以 limf(x,y)不存在；limlimf(x,y)=0，limlimf(x,y)=0。x174。0y174。0y174。0x174。0(4)f(x,y)=ysinx0163。|ysin|163。|y|x∴l(xiāng)imf(x,y)=0，x174。0y174。0limlimysi=0，limlimysi不存在。x174。0y174。0y174。0x174。0xx（1）lim(x+y)x174。0y174。02x2y2；(x2+y2)20163。|xyln(x+y)|163。|ln(x2+y2)|，22(x2+y2)2tln(x2+y2)=limlnt=0，又 limx174。0t174。0+44y174。0∴l(xiāng)im(x+y)x174。0y174。02x2y2=elimx2y2ln(x2+y2)(x,y)174。(0,0)=1。（2）limx2+y2+x+y1x174。0y174。0；(x2+y2)(+x2+y2+1)=lim=2。lim2222x174。0174。01+x+y1+x+y1xy174。0y174。0x2+y2（3）lim(x+y)sinx174。0y174。0；22x+y|163。|x+y|，|(x+y)sin2x+y而lim(x+y)=0x174。0y174。0故lim(x+y)si2=0。2x174。0x+yy174。0sin(x2+y2)（4）lim。22x174。0x+yy174。0令x=rcosq，y=rsinq，(x,y)174。(0,0)時，r174。0，sin(x2+y2)sinr2lim=lim2=1。22x174。0r174。0rx+yy174。0ln(1+xy)236。239。(x,y)=237。x239。y238。x185。0x=0在其定義域上是連續(xù)的。證明：顯然f(x, y)的定義域是xy185。0時，f(x, y)是連續(xù)的，只需證明其作為二元函數(shù)在y軸的每一點上連續(xù)。以下分兩種情況討論。（1）在原點（0,0）處f(0, 0)=0,當(dāng)x185。0時0ln(1+xy)236。239。1f(x,y)==237。xyx239。238。yln(1+xy)由于limln1(+xy)x174。0y174。01xyy=0,y185。0=11xy不妨設(shè)|ln1(+xy)從而e0，取d=xy1|1，|ln1(+xy)|2，當(dāng)0|x|d,0|y|d時，eln(1+xy)0|=|yln(1+xy)xy||x163。|y||ln(1+xy)|163。2|y|e，于是，無論x=0,x185。0，當(dāng)|x|d,|y|d時，都有l(wèi)imf(x,y)=0=f(0,0)x174。0y174。01xy（2）在(0,)處。（185。0)xy當(dāng)x185。0時，|f(x,y)f(0,)|=|yln(1+xy)1xy|1(+xy)=|y(ln1)+(y)| 1|+|y|163。|y||ln(1+xy)xy當(dāng)x=0時,|f(x,y)f(0,)|=|y|,1xy注意到，當(dāng)185。0時limln1(+xy)x174。0y174。=1，于是，無論x=0,x185。0，當(dāng)185。0時lim|f(x,y)f(0,)|=0，x174。0y174。即 f(x, y)在在(0,)處連續(xù)，綜上，f(x, y)在其定義域上連續(xù)。
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