【正文】 )+2()]dxdy。2E182。y182。x182。x182。y在應(yīng)力邊界問(wèn)題中，因?yàn)槊媪Σ荒苡凶兎?，dVc=0。應(yīng)為應(yīng)力分量以及應(yīng)變余能的變分是通過(guò)系數(shù)Am的變分來(lái)實(shí)現(xiàn)的，所以上式歸結(jié)為182。Vc=0 182。Am將將應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式代入，即得22182。2F182。182。2F182。F182。182。F242。242。[(2fxx)()+(fyy)()+182。y182。Am182。y2182。x2182。Am182。x2182。2F182。182。2F2()]dxdy=0,182。x182。y182。Am182。x182。y(m=1,2,)可以用來(lái)決定系數(shù)Am，從而確定應(yīng)力函數(shù)j，再由應(yīng)力函數(shù)j求得應(yīng)力分量。由于是近似解，應(yīng)力分量不能精確滿足相容條件，由應(yīng)力分量求得的應(yīng)變分量也不能精確滿足變形協(xié)調(diào)條件，不能根據(jù)幾何方程求得位移分量。應(yīng)力函數(shù)法的要點(diǎn)是要找到滿足全部邊界條件的應(yīng)力函數(shù)，二這種函數(shù)一般任然難以找到，尤其在邊界不規(guī)整的情況下。所以應(yīng)力方法的應(yīng)用在這一點(diǎn)上受到極大的限制。（4）、典型例題：例1：設(shè)有寬度為2a，高度為b的矩形薄板，左右兩邊和下邊被固定約束，上邊的位移被給定為u=0應(yīng)力分量。解：取坐標(biāo)系底部為x軸，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，則該問(wèn)題是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題——及約束情況，幾何形狀以及所受的外來(lái)因素都對(duì)稱(chēng)于某個(gè)坐標(biāo)軸。本題中，對(duì)稱(chēng)軸顯然是y軸。這樣，位移u,v關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。首先考察位移u：薄板左右兩邊：(u)x=177。a=0（說(shuō)明u中含有(x2a2)項(xiàng)或(a2x2)項(xiàng)）薄板下邊：(u)y=0=0（說(shuō)明u中含有（y0)項(xiàng)）薄板上邊：(u)y=b=0（說(shuō)明u中含有（yb)項(xiàng)或(by)項(xiàng)）所以u(píng)所以表達(dá)成：u=A1(a2x2)y(by)（這里m=1,即取一個(gè)系數(shù)A1）由此可得u,v的表達(dá)式為：x2v=h(12)，不計(jì)體力。試求薄版的位移分量和a252。x2xyyu=A1(12)(1)239。239。aaaa 253。 22xyxyyv=h(12)+B1(12)(1)239。ababb239。254。(u)x=177。z=0可以滿足位移邊界條件：(v)x=177。a=0(v)y=0=0(v)y=bx2=h(12)a(u)y=0=0(u)y=b=0由于u是x的奇函數(shù)，v是x的偶函數(shù)，對(duì)稱(chēng)條件滿足。xx3yy2此外，由（i）得：u1=(3)(2)aabbx2yy2v1=(12)(2)abb即U=Eab(A1+B1+2vA1B1)2(1v2)由182。U182。U=242。fu1ds,=242。fv1dsxy182。A1182。B1182。U182。U=q1ab,=q2ab 182。A1182。B1Eab(2A1+2vB1)=q1ab22(1v)Eab(2B1+2vA1)=q2ab22(1v)q1vq2qvq1,B1=2EEq1vq2q2vq1 u=x,v=yEEA1=例2：已知懸臂梁，抗彎剛度為EI，求最大撓度值。解：設(shè)w=(a2x2+a3x3)滿足固定端的邊界條件。LxFwx=0=0,w39。x=0=02在不考慮剪切效應(yīng)時(shí)，直桿彎曲的應(yīng)變能為，1lM2(x)1230。d2w246。247。u=242。dx=EI231。dx 2231。247。02EI2232。dx248。下面用最小勢(shì)能原理來(lái)確定參數(shù)，u=1M(x)EIdx=(2a2+6a3)dx242。242。002EI2v=Fwx=L=F(a2L2+a3L3)ll2EIl23Et=U+V=(2a+6a)dxF(aL+aL)2323242。0222由最小勢(shì)能原理dEt=0182。Et1l2=4(2a+6a)dxFL=023242。0182。a22EI182。Et1l3=12(2a+6a)dxFL=023242。0182。a22EI三、總結(jié)與思考所謂彈性力學(xué)的變分解法就是基于力學(xué)能量原理求解彈性力學(xué)的變分方法，這種方法從其本質(zhì)而言，是要把原來(lái)在給定的邊界條件下求解的微分方程組的問(wèn)題變?yōu)榉汉髽O值的問(wèn)題，而在求問(wèn)題的近似解時(shí)，泛函的極值問(wèn)題又可變成函數(shù)的極值問(wèn)題，因而最終把問(wèn)題歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組。變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學(xué)中，以及在最小作用原理在量子力學(xué)的應(yīng)用中。變分法提供了有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它是求解邊界值問(wèn)題的強(qiáng)力工具。它們也在材料學(xué)中研究材料平衡中大量使用。而在純數(shù)學(xué)中的例子有，黎曼在調(diào)和函數(shù)中使用狄力克雷原理。應(yīng)力變分法在力學(xué)領(lǐng)域內(nèi)同樣擁有很高的地位，這正說(shuō)明了力學(xué)在學(xué)術(shù)界的重要地位，通過(guò)應(yīng)力變分法地學(xué)習(xí)，許多難題將更容易得到解答，所以，在以后的學(xué)習(xí)生活中，我們將不會(huì)停止對(duì)力學(xué)的探究和學(xué)習(xí)，相信力學(xué)對(duì)我們的影響將是巨大的。參考文獻(xiàn)：【1】彈性力學(xué) 第四版 徐芝綸 高等教育出版社【2】彈性力學(xué)復(fù)習(xí)解題指導(dǎo)致 王俊民 同濟(jì)大學(xué)【3】彈性力學(xué)理論概要與典型題解 王光欽 西南交通大學(xué)出版社【4】彈性力學(xué)內(nèi)容精要與典型題解 劉章軍 水利水電出版社第五篇：彈塑性力學(xué)總結(jié)(精華)（一）彈塑性力學(xué)緒論：定義：是固體力學(xué)的一個(gè)重要分支學(xué)科，是研究可變形固體受到外荷載或溫度變化等因素的影響而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移及其分布規(guī)律的一門(mén)科學(xué)，是研究固體在受載過(guò)程中產(chǎn)生的彈性變形和塑性變形階段這兩個(gè)緊密相連的變形階段力學(xué)響應(yīng)的一門(mén)科學(xué)。研究對(duì)象：也是固體，是不受幾何尺寸與形態(tài)限制的能適應(yīng)各種工程技術(shù)問(wèn)題需求的物體。分析問(wèn)題的基本思路：受力分析及靜力平衡條件(力的分析)；變形分析及幾何相容條件(幾何分析)；力與變形間的本構(gòu)關(guān)系(物理分析)。研究問(wèn)題的基本方法：以受力物體內(nèi)某一點(diǎn)（單元體）為研究對(duì)象→單元體的受力—應(yīng)力理論；單元體的變形——變形幾何理論；單元體受力與變形間的關(guān)系——本構(gòu)理論；（特點(diǎn)：涉及數(shù)學(xué)理論較復(fù)雜，并以其理論與解法的嚴(yán)密性和普遍適用性為特點(diǎn)；彈塑性力學(xué)的工程解答一般認(rèn)為是精確的；可對(duì)初等力學(xué)理論解答的精確度和可靠進(jìn)行度量。）基本假設(shè)：物理假設(shè):（連續(xù)性假設(shè)：假定物質(zhì)充滿了物體所占有的全部空間，不留下任何空隙；均勻性與各向同性的假設(shè)：假定物體內(nèi)部各處，以及每一點(diǎn)處各個(gè)方向上的物理性質(zhì)相同。力學(xué)模型的簡(jiǎn)化假設(shè)：（A）完全彈性假設(shè) ；（B）彈塑性假設(shè)）。幾何假設(shè)——小變形條件（假定物體在受力以后，體內(nèi)的位移和變形是微小的，即體內(nèi)各點(diǎn)位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的原始尺寸，而且應(yīng)變(包括線應(yīng)變與角應(yīng)變)均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1。在彈塑性體產(chǎn)生變形后建立平衡方程時(shí)，可以不考慮因變形而引起的力作用線方向的改變；在研究問(wèn)題的過(guò)程中可以略去相關(guān)的二次及二次以上的高階微量；從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。）解題方法（1）靜力平衡條件分析；（2）幾何變形協(xié)調(diào)條件分析；（3）物理?xiàng)l件分析。從而獲得三類(lèi)基本方程，聯(lián)立求解，再滿足具體問(wèn)題的邊界條件，即可使靜不定問(wèn)題得到解決應(yīng)力的概念: 受力物體內(nèi)某點(diǎn)某截面上內(nèi)力的分布集度s=limFnDADA174。O=dFndA=sns=limFnDADA174。O=dFndA=snt。正應(yīng)力s，剪應(yīng)力t，必須指明兩點(diǎn)：是哪xx一點(diǎn)的應(yīng)力；是該點(diǎn)哪個(gè)微截面的應(yīng)力。應(yīng)力的表示及符號(hào)規(guī)則：sxx、txy、s222。sx：第一個(gè)字母表明該應(yīng)力作用截面的外法線方向同哪一個(gè)坐標(biāo)軸相平行，第二個(gè)字母表明該應(yīng)力的指向同哪個(gè)坐標(biāo)軸相平行。三維空間應(yīng)力圓：