【正文】 )+2()]dxdy。2E182。y182。x182。x182。y在應(yīng)力邊界問題中，因為面力不能有變分，dVc=0。應(yīng)為應(yīng)力分量以及應(yīng)變余能的變分是通過系數(shù)Am的變分來實現(xiàn)的，所以上式歸結(jié)為182。Vc=0 182。Am將將應(yīng)力函數(shù)表達式代入，即得22182。2F182。182。2F182。F182。182。F242。242。[(2fxx)()+(fyy)()+182。y182。Am182。y2182。x2182。Am182。x2182。2F182。182。2F2()]dxdy=0,182。x182。y182。Am182。x182。y(m=1,2,)可以用來決定系數(shù)Am，從而確定應(yīng)力函數(shù)j，再由應(yīng)力函數(shù)j求得應(yīng)力分量。由于是近似解，應(yīng)力分量不能精確滿足相容條件，由應(yīng)力分量求得的應(yīng)變分量也不能精確滿足變形協(xié)調(diào)條件，不能根據(jù)幾何方程求得位移分量。應(yīng)力函數(shù)法的要點是要找到滿足全部邊界條件的應(yīng)力函數(shù)，二這種函數(shù)一般任然難以找到，尤其在邊界不規(guī)整的情況下。所以應(yīng)力方法的應(yīng)用在這一點上受到極大的限制。（4）、典型例題：例1：設(shè)有寬度為2a，高度為b的矩形薄板，左右兩邊和下邊被固定約束，上邊的位移被給定為u=0應(yīng)力分量。解：取坐標系底部為x軸，對稱軸為y軸，則該問題是一個軸對稱問題——及約束情況，幾何形狀以及所受的外來因素都對稱于某個坐標軸。本題中，對稱軸顯然是y軸。這樣，位移u,v關(guān)于y軸對稱。首先考察位移u：薄板左右兩邊：(u)x=177。a=0（說明u中含有(x2a2)項或(a2x2)項）薄板下邊：(u)y=0=0（說明u中含有（y0)項）薄板上邊：(u)y=b=0（說明u中含有（yb)項或(by)項）所以u所以表達成：u=A1(a2x2)y(by)（這里m=1,即取一個系數(shù)A1）由此可得u,v的表達式為：x2v=h(12)，不計體力。試求薄版的位移分量和a252。x2xyyu=A1(12)(1)239。239。aaaa 253。 22xyxyyv=h(12)+B1(12)(1)239。ababb239。254。(u)x=177。z=0可以滿足位移邊界條件：(v)x=177。a=0(v)y=0=0(v)y=bx2=h(12)a(u)y=0=0(u)y=b=0由于u是x的奇函數(shù)，v是x的偶函數(shù)，對稱條件滿足。xx3yy2此外，由（i）得：u1=(3)(2)aabbx2yy2v1=(12)(2)abb即U=Eab(A1+B1+2vA1B1)2(1v2)由182。U182。U=242。fu1ds,=242。fv1dsxy182。A1182。B1182。U182。U=q1ab,=q2ab 182。A1182。B1Eab(2A1+2vB1)=q1ab22(1v)Eab(2B1+2vA1)=q2ab22(1v)q1vq2qvq1,B1=2EEq1vq2q2vq1 u=x,v=yEEA1=例2：已知懸臂梁，抗彎剛度為EI，求最大撓度值。解：設(shè)w=(a2x2+a3x3)滿足固定端的邊界條件。LxFwx=0=0,w39。x=0=02在不考慮剪切效應(yīng)時，直桿彎曲的應(yīng)變能為，1lM2(x)1230。d2w246。247。u=242。dx=EI231。dx 2231。247。02EI2232。dx248。下面用最小勢能原理來確定參數(shù)，u=1M(x)EIdx=(2a2+6a3)dx242。242。002EI2v=Fwx=L=F(a2L2+a3L3)ll2EIl23Et=U+V=(2a+6a)dxF(aL+aL)2323242。0222由最小勢能原理dEt=0182。Et1l2=4(2a+6a)dxFL=023242。0182。a22EI182。Et1l3=12(2a+6a)dxFL=023242。0182。a22EI三、總結(jié)與思考所謂彈性力學的變分解法就是基于力學能量原理求解彈性力學的變分方法，這種方法從其本質(zhì)而言，是要把原來在給定的邊界條件下求解的微分方程組的問題變?yōu)榉汉髽O值的問題，而在求問題的近似解時，泛函的極值問題又可變成函數(shù)的極值問題，因而最終把問題歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組。變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學中，以及在最小作用原理在量子力學的應(yīng)用中。變分法提供了有限元方法的數(shù)學基礎(chǔ)，它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純數(shù)學中的例子有，黎曼在調(diào)和函數(shù)中使用狄力克雷原理。應(yīng)力變分法在力學領(lǐng)域內(nèi)同樣擁有很高的地位，這正說明了力學在學術(shù)界的重要地位，通過應(yīng)力變分法地學習，許多難題將更容易得到解答，所以，在以后的學習生活中，我們將不會停止對力學的探究和學習，相信力學對我們的影響將是巨大的。參考文獻：【1】彈性力學 第四版 徐芝綸 高等教育出版社【2】彈性力學復(fù)習解題指導(dǎo)致 王俊民 同濟大學【3】彈性力學理論概要與典型題解 王光欽 西南交通大學出版社【4】彈性力學內(nèi)容精要與典型題解 劉章軍 水利水電出版社第五篇：彈塑性力學總結(jié)(精華)（一）彈塑性力學緒論：定義：是固體力學的一個重要分支學科，是研究可變形固體受到外荷載或溫度變化等因素的影響而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移及其分布規(guī)律的一門科學，是研究固體在受載過程中產(chǎn)生的彈性變形和塑性變形階段這兩個緊密相連的變形階段力學響應(yīng)的一門科學。研究對象：也是固體，是不受幾何尺寸與形態(tài)限制的能適應(yīng)各種工程技術(shù)問題需求的物體。分析問題的基本思路：受力分析及靜力平衡條件(力的分析)；變形分析及幾何相容條件(幾何分析)；力與變形間的本構(gòu)關(guān)系(物理分析)。研究問題的基本方法：以受力物體內(nèi)某一點（單元體）為研究對象→單元體的受力—應(yīng)力理論；單元體的變形——變形幾何理論；單元體受力與變形間的關(guān)系——本構(gòu)理論；（特點：涉及數(shù)學理論較復(fù)雜，并以其理論與解法的嚴密性和普遍適用性為特點；彈塑性力學的工程解答一般認為是精確的；可對初等力學理論解答的精確度和可靠進行度量。）基本假設(shè)：物理假設(shè):（連續(xù)性假設(shè)：假定物質(zhì)充滿了物體所占有的全部空間，不留下任何空隙；均勻性與各向同性的假設(shè)：假定物體內(nèi)部各處，以及每一點處各個方向上的物理性質(zhì)相同。力學模型的簡化假設(shè)：（A）完全彈性假設(shè) ；（B）彈塑性假設(shè)）。幾何假設(shè)——小變形條件（假定物體在受力以后，體內(nèi)的位移和變形是微小的，即體內(nèi)各點位移都遠遠小于物體的原始尺寸，而且應(yīng)變(包括線應(yīng)變與角應(yīng)變)均遠遠小于1。在彈塑性體產(chǎn)生變形后建立平衡方程時，可以不考慮因變形而引起的力作用線方向的改變；在研究問題的過程中可以略去相關(guān)的二次及二次以上的高階微量；從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。）解題方法（1）靜力平衡條件分析；（2）幾何變形協(xié)調(diào)條件分析；（3）物理條件分析。從而獲得三類基本方程，聯(lián)立求解，再滿足具體問題的邊界條件，即可使靜不定問題得到解決應(yīng)力的概念: 受力物體內(nèi)某點某截面上內(nèi)力的分布集度s=limFnDADA174。O=dFndA=sns=limFnDADA174。O=dFndA=snt。正應(yīng)力s，剪應(yīng)力t，必須指明兩點：是哪xx一點的應(yīng)力；是該點哪個微截面的應(yīng)力。應(yīng)力的表示及符號規(guī)則：sxx、txy、s222。sx：第一個字母表明該應(yīng)力作用截面的外法線方向同哪一個坐標軸相平行，第二個字母表明該應(yīng)力的指向同哪個坐標軸相平行。三維空間應(yīng)力圓：