證明不等式的基本方法一5則范文-資料下載頁(yè)
2024-11-03 22:04本頁(yè)面
【正文】 a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(ac)+c(bc)≤ab10添項(xiàng)法某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項(xiàng)”技巧，能得到快速求解的效果。1倍數(shù)添項(xiàng)若不等式中含有奇數(shù)項(xiàng)的和，可通過(guò)對(duì)不等式乘以2變成偶數(shù)項(xiàng)的和，然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）證明：∵a、b、c∈R+∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a2bc+b2ca+c2ac)=3abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。2平方添項(xiàng)運(yùn)用此法必須注意原不等號(hào)的方向例14 ：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1＞ 2n+1 2)證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時(shí)ba＞ b+ma+m∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n1)］2=（465…2n2n1)（465…2n2n1)＞（576…2n+12n)（465…2n2n1)=2n+13＞ 2n+14＞∴(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+1 2)3平均值添項(xiàng)例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤332分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術(shù)平均值添項(xiàng)sin π3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立）∵0＜x+y2＜ π，π2＜ xy2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosxy2∴上式成立反復(fù)運(yùn)用這個(gè)命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤22sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332∴sinA+sinB≠sinC≤332練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤184利用均值不等式等號(hào)成立的條件添項(xiàng)例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時(shí)，等號(hào)成立證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①同理b4+3(12)4 ≥b②∴a4+b4≥12(a+b)6(12)4=126(12)4=18③∵a≠b ∴①②中等號(hào)不成立∴③中等號(hào)不成立∴ 原不等式成立1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對(duì)任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯(cuò)解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說(shuō)明c存在。正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因?yàn)閤,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz錯(cuò)解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz錯(cuò)因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡(jiǎn)得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz 設(shè)x+y0，n為偶數(shù)，求證yn1xn+xn1yn≥1x 1y錯(cuò)證：∵yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnynn為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xnyn和xn1yn1同號(hào)，∴yn1xn+xn1yn≥ 1x1y錯(cuò)因：在x+y0的條件下，n為偶數(shù)時(shí)，xnyn和xn1yn1不一定同號(hào)，應(yīng)分x、y同號(hào)和異號(hào)兩種情況討論。正解：應(yīng)用比較法：yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnyn① 當(dāng)x0,y0時(shí)，(xnyn)(xn1yn1)≥ 0，(xy)n 0所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn≥0故：yn1xn+xn1yn≥ 1x1y② 當(dāng)x,y有一個(gè)是負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)x0,y0，所以x|y|又n為偶數(shù)時(shí),所以(xnyn)(xn1yn1)0 又(xy)n 0，所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn ≥0即 yn1xn+xn1yn≥ 1x1y綜合①②知原不等式成立第五篇：不等式證明若干方法安康學(xué)院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 11 級(jí)本科生論文（設(shè)計(jì)）選題實(shí)習(xí)報(bào)告11級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《科研訓(xùn)練2》評(píng)分表注：綜合評(píng)分179。60的為“及格”；
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