知識(shí)歸納：推理與證明范文-資料下載頁(yè)
2025-10-25 01:08本頁(yè)面
【正文】 2）知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式（1+2n+1213）（1+）?（1+112n1）＞（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+=；右邊=.∵左邊＞右邊，∴不等式成立.（2）假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N*)時(shí)不等式成立，即（1+）（1+）?（1+12k1）＞2k+1212k1.12(k+1)1]則當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+）（1+）?（1+＞2k+12）＞[1+4k2k+12k+22k+1=2k+222k+1=4k+8k+4＞+8k+3=2k+3=2(k+1)+1.22k+122k+122k+1∴當(dāng)n=k+1時(shí)，（1）（2）知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,。試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有：an+＞、b、c為等比數(shù)列，a=∴a+c=nnbq,c=bq(q＞0且q≠1),bqnn+bnqn=bn（1qn+qn)＞n(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a+c)＞(a+c)，∴②設(shè)n=k時(shí)成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，＞+c2n＞（a+c2)n(n≥2且n∈N*)a+c2（a+c2)ak+c2k+1k(=14a+c2),kak+1+c2(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)a+c2(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)＞()k（a+c2)=（a+c2)k+117．平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓把平面分成nn+2個(gè)部分。證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩個(gè)區(qū)域，而121+2=2，命題成立．（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成kk+2個(gè)區(qū)域．當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)圓與原有的k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)把第k+1個(gè)圓分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分，因此增加了2k個(gè)區(qū)域，共有k2k+2+2k=(k+1)2(k+1)+2個(gè)區(qū)域． ∴n=k+1時(shí)，命題也成立．由（1）、（2）知，對(duì)任意的n∈N*，命題都成立．18．如圖（1），在三角形ABC中，AB^AC，若AD^BC，則AB2=BDBC；若類(lèi)比該命題，如圖（2），三棱錐ABCD中，AD^面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題．解：命題是：三棱錐ABCD中，AD^面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有S△=S△BCMS△BCD是一個(gè)真命題． ABC證明如下：在圖（2）中，連結(jié)DM，并延長(zhǎng)交BC于E，連結(jié)AE，則有DE^BC． 因?yàn)锳D^面ABC，所以AD^AE． 又AM^DE，所以AE2=EMED． 于是S△ABC230。1246。230。1246。230。1246。=231。BCAE247。=231。BCEM247。231。BCED247。=S△BCMS△BCD． 232。2248。232。2248。232。2248。19． 已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設(shè)bn=an+12an(n=1,2,?)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)=an2n(n=1,2,?),求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列.（1）∵ Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+，得Sn+2Sn+1=4an+14an(n=1,2,?), 即an+2=4an+14an,變形得an+22an+1=2(an+12an).∵ bn=an+12an(n=1,2,?), ∴ bn+1=，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.（2）由S2=a1+a2=4a1+2，a1==5,b1=a22a1==32n1.∵ =an2n(n=1,2,?),∴ +1=an+12n+1an2n=an+12ann+1=bn2n+1.34將bn=32n1代入得+1=(n=1,2,?),由此可知，數(shù)列{}是公差為的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)c1=a12=，故=n(n=1,2,?).131
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