初中一年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題(五)-資料下載頁
2025-10-19 17:47本頁面
【正文】 ，－1，則2a＋7a－2a－12 的值等于 ．由已知得(a＋1)＝5，所以a＋2a＝4，于是2a＋7a－2a－12＝2a＋4a＋3a－2a－12＝3a＋6a－12＝0．7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時(shí)刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝ ． 解：15設(shè)在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得，①32322222，②由①②，得． ③（分）．，所以，x=30． 故8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是 ．解：如圖，延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點(diǎn)N．由已知得點(diǎn)M（2，3）是OB，AF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因?yàn)辄c(diǎn)N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點(diǎn)N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．于是，直線即為所求的直線．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則解得 ,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為．9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則 ．解：．． 見題圖，設(shè)因?yàn)镽t△AFB∽R(shí)t△ABC，所以又因?yàn)?FC＝DC＝AB，所以 即，解得，或（舍去）．又Rt△∽R(shí)t△，所以，即=．10．對(duì)于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值，則正整數(shù)的最小值為 ．解： 因?yàn)闉榈谋稊?shù)，所以的最小值，其中由于表示的最小公倍數(shù)．，因此滿足三、解答題（共4題，每題20分，共80分）的正整數(shù)的最小值為．滿足滿足△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓求證：．證明：如圖，連接ED，所以ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.…………（5分）連接AE，AF，則，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）作AH⊥EF，垂足為H，則AH=△ABC∽△AEF可得，從而，所以.…………（20分）12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；（2）過拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿足△EOC∽△：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，所以k=（t，），AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有解得，.于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）．因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線（a0）上，所以解得 …………（10分）（2）如圖，因?yàn)锳C∥x軸，所以C（設(shè)拋物線因?yàn)椤螩OD＝∠BOD＝，4），于是CO＝=2，所以.，0）.（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，所以∠COB=.（i）將△中點(diǎn)，點(diǎn)延長(zhǎng)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）.=，得到△.這時(shí)，點(diǎn)(，2)是CO的的坐標(biāo)為（4，到點(diǎn)，使得，這時(shí)點(diǎn)（8，）是符合條件的點(diǎn).（1，）；延長(zhǎng)到（ii）作△點(diǎn)，使得＝關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△，這時(shí)點(diǎn)E２（2，），或（2，得到點(diǎn)）是符合條件的點(diǎn)．）.…………（20分）所以，點(diǎn) 的坐標(biāo)是（8，13．求滿足．解：由題設(shè)得所以（1）若的所有素?cái)?shù)p和正整數(shù)m.，由于p是素?cái)?shù)，故，令，或.……（5分），k是正整數(shù)，于是故，（2）若當(dāng)時(shí)，有解得，令…………（10分），k是正整數(shù).，故 由于，從而，所以，從而.，時(shí)，無正整數(shù)解.；當(dāng)，無正整數(shù)解；當(dāng)綜上所述，所求素?cái)?shù)p=5，正整數(shù)m=9.…………（20分）14．從1，2，…，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？解：首先，如下61個(gè)數(shù)：11，…，（即1991）滿足題設(shè)條件.…………（5分）另一方面，設(shè)這n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)是從1，2，…，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對(duì)于，因?yàn)?，所?，因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).…………（10分）設(shè)由所以，i=1，2，3，…，n.，得，即，≥11.…………（15分）≤故≤，n≤61.，綜上所述，n的最大值為61.…………（20分）（64至91為荊州市全國三等獎(jiǎng)至一等獎(jiǎng)）
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