【正文】 等式、二項式定理、貝努力公式、真分數(shù)性質(zhì)等。：挖掘不等式的結構特征和函數(shù)內(nèi)涵來構造單調(diào)數(shù)列或單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性、值域產(chǎn)生的不等關系進行放縮。二、常見的放縮控制當我們選擇了正確的放縮方法后，卻往往會在放縮的過程中不知不覺間失控，導致放縮的過大或過小，達不到欲證的目標。那么如何控制好放縮的尺度呢？例1．求證：11117+++K+ 122232n24分析1：不等式左邊不能直接求和，我們希望通過合適的放縮后可以求和。1111 =(n179。2)”的方法向右端放大，n2n(n1)(n1)n11111117111=1+()+()+K+()=22 則左邊1+++K1223n1nn41180。22180。3(n1)180。n若采取“很明顯，放得有點大了，導致傳遞性失敗，不等式鏈中斷，放縮失敗。那怎么辦呢？1．調(diào)整放縮的“量”的大小分析2：分析1中“放”的有點過大，因為11，放大了1111，K所以可以2221180。2432180。318通過調(diào)整放大的“量”來控制放縮的效果。在減少1，即11分母減少了n，我們可以把分母只n2n(n1)11111=()n179。2），這樣放的量就少了。22nn12n1n+***17)]=1+(1+)]2．調(diào)整放縮的“項”的起點分析3：分析1中從第二項開始放縮，放的最終有點大?？梢哉{(diào)整放縮的項數(shù)，從第三項開始放縮。證明：左邊1++11111717111=1++()+K+()== +K423n1n4n442180。3(n1)180。n由此可見，調(diào)整成功。顯然從第三項開始放縮所得的結果比從第二項開始放縮所得的結果又更小些。以此類推，當放縮的項數(shù)越少，放縮后的結果就會越來越精細，越來越逼近目標。除此之外，還可以調(diào)整放縮的次數(shù)，通過多次放縮的調(diào)整來達到效果；有時也可以根據(jù)欲證式子的結構特點，把相鄰的項分組捆綁后進行放縮，也可以達到控制放縮合理和尺度的效果。三、常見的問題類型數(shù)列型不等式的一邊常與求和有關，所以可以通過放縮后求和(或求和后放縮)來達到欲證的目標?！肮椒ㄇ蠛汀边x擇恰當?shù)姆趴s方法，通過“通項”的適度放縮使之轉化為等差或等比數(shù)列，從而利用求和達到簡化．．．．證題的目的。n(n+1)(n+1)2sn例2．設SnL 22分析：此數(shù)列通項為ak=因為kknk(k+1),k=1,2,+(k+1)1，\kk(k+1)k+ 22k(k+1)nn(n+1)(n+1)21sn\229。kSn229。(k+)，即 222k=1k=1例3．求證：1111+++L+2 1!2!3!n!163。k1,k=1,2,L,!2分析：通項k!=k(k1)L21179。22L21=2k1,\11()n11111111=2(1)n12\+++L+0+1+2+L+k1=11!2!3!n!2222212例4．已知an=2n1，證明：an1a1a2n++Ln 23a2a3an+12naakn2k12k11分析：通項=k+1k+1=，229。k，不等式右邊得證。ak+121222k=1ak+12akak+1n11211111111=1 =k+1===kkkk112232+(22)232+0232212(2k)4(2k)k2knak11n1111n11n1\229。229。()=(++L)=(1)，不等式左邊得證。k12nna2232323322222k=1k+1k=1“裂項法求和”在例1中，不等式的左邊無法求和，但通過放縮產(chǎn)生裂項相消的求和效果后，使問題解決。例2的右邊也是利用放縮產(chǎn)生了裂項的效果，然后求和。下面我們再通過幾道例題的證明體會裂項求和效果的運用。：2(n+11)1++3+L+1n2n分析：Qn1k=2k+k2k+k1=2(kk1),(k179。2)\229。k=11k=1+2[(2)+(32)+L(nn1)]=1+2(1+n)=2n12n 2k+k2k+k+1=2(k+1k)Q1kn\229。k=11k2[(2)+(2)+L(n+1n)]=2(1+n+1)=2(n+11)n1n111=(),bn=+,證明：229。bk2n31+an1an+13k=1分析：bn=111+n+13n3n+13n+113n+11+111=n+n+1=n+n+1=2n+n+1 13+1313+1313+1313n+111+3n3n+1n111111111\229。bk2n+[(1+2)+(2+3)+L+(n+n+1)]=2n+(+n+1)2n333333333k=1\bn2(1)=2,f(n+1)=f(n)+f(n),求證：229。k=1nf(k)+12分析：Qf(n+1)=f(n)[f(n)+1],\1111==,f(n+1)f(n)[f(n)+1]f(n)f(n)+1\111，=f(n)+1f(n)f(n+1)n\229。k=1111111111=[]+[]+L[]=f(k)+1f(1)f(2)f(2)f(3)f(n)f(n+1)f(1)f(n+1)由已知可得f(n)0, \“并項法求和” =229。k=1n=f(k)+1f(1)22n21117[2+(1)n1],n179。1,證明：對任意整數(shù)m4,有++L+ 3a4a5am8n1分析：通項中含有(1)，把+整體捆綁同時結合奇偶性進行適度放縮。anan+11131132n1+2n232n1+2n2證明：當n為奇數(shù)時，+=[+]=anan+122n2+12n11222n3+2n12n21222n3即當n為奇數(shù)時，當m為偶數(shù)且m4時：11311+(n2+n1)，且a4=2, anan+122211111111131111++L+=+(+)L+(+)+(3+4+L+m3+m2)a4a5ama4a5a6am1am222222=13111317+(1m4)+= 22422482當m為奇數(shù)且m4時：Qm+1為偶數(shù)，11111117++L+++L++ a4a5ama4a5amam+18綜上可知，對于任意整數(shù)m4，都有1117++L+ a4a5am8+11111n+++L+n+n1+(n179。2,n206。N)2342212分析：尋求合適的處理手法，可以通過分組“捆綁”進行放縮。左邊=1+11111111111111+(+)+(+++)+(++L+)+L+(n1+Ln+n)***+12121+=1+11111111111111+(+)+(+++)+(++L+)+L+(n+Ln+n)***22211111n+++L+(共n個)=1+ 222222四．利用遞推關系式放縮利用遞推關系式產(chǎn)生的不等關系，在很多題目中可以起到很好的放縮效果。179。3,ak179。2ak1+1(k179。2),求證：1111++L+163。 1+a11+a21+an2分析：根據(jù)欲證不等式的結構特點，通過遞推關系式構造關于1+ak的不等式Qak179。2ak1+1,\ak+1179。2(ak1+1)且a1+1179。4\ak+1=ak+1ak1+1a+111k+1163。（）L2（a1+1）179。22L24=2k+1\ak+12ak1+1ak2+1a1+112131n+1111\左邊163。（）+（）+L+（）=1n)222222=2n1，證明：1112++L+ a2a3an+13分析：Qan=2n12n2=2(2n11)=2an1，\an2(n179。2)且a1=1,a2=3, an1\n179。3時，an=左邊163。anan1a11L3a2179。2n23，\163。3()n2an2an1an2a21111212[1++()2+L+()n1]=(1n) 3222332五．構造和數(shù)列后進行放縮如果數(shù)列不等式?jīng)]有直接的求和的形式，很多時候可以間接的構造和數(shù)列，然后進行放縮處理。nan11111++L+[log2n]，正數(shù)列{an}滿足a1=b0,an163。(n179。2)23n2n+an12b(n179。2)2+b[log2n]的遞推關系式，然后利用“累加法”把欲證的不等式轉化為和數(shù)列的形式 an證明：an分析：根據(jù)已知構造關于Q0an163。nan1111111，\179。+，\179。(n179。2)anan1nanan1nn+an1111111111111\n179。2=()+()+L+()+179。++L++ananan1an1an2a2a1a1nn12b\2b1112+b[log2n][log2n]+=0，\an2+b[lo2gn]an2b2b1*n206。N，定義數(shù)列:，{x}x=0x=f(x)n1n+1n2x+2(x)=若0xk163。11(k=2,3,4,L)，證明:對任意m206。N*都有:xm+kxk.k1234分析：利用遞推式構造關于xk+1xk的不等式，利用“絕對值不等式”把xm+kxk放縮為和數(shù)列的形式由x1=0得x2=114, x3=，當k179。2時,Q0xk163。,229xkxk1xk+xk1xkxk1xk2xk21112=2∴xk+1xk=2 244xk+2xk1+2(xk+2)(xk1+2)∴xk+1xk=*xk+1xkxkxk1xk1xk2xkxk1Lx3x2()k2x3x2=()k2x3x24418x4x3對m206。N,xm+kxk=(xm+kxm+k1)+(xm+k1xm+k2)+L+(xk+1xk)163。xm+kxm+k1+xm+k1xm+k2+L+xk+1xk 1230。111246。++L+231。m+k3m+k4k2247。18232。444248。()k2(1m)1=8(1)k1230。11246。8(1)k11(1)k1=1=231。m247。k1***34232。248。14上面介紹的數(shù)列不等式主要與“求和”的形式有關。如果不等式的一邊與求和沒有直接的關系，也可以辨析題目的結構特征選擇合適的方法進行處理，譬如“構造單調(diào)數(shù)列”放縮；構造“二項展開式”放縮；對不等式的局部換元，然后再謀求放縮等。限于篇幅所限，本文就不做闡述了?？傊\用放縮法進行數(shù)列不等式的證明，要認真分析條件和結論的結構特征，明確方向，防止盲目放縮。同時還要多總結、多思考，多掌握一些常用的放縮技巧，以提高分析問題和解決問題的能力。第五篇：放縮法證明數(shù)列不等式經(jīng)典例題放縮法證明數(shù)列不等式主要放縮技能： =2= nn+1n(n+1)nn(n1)n1n114411===2()22n4n1(2n+1)(2n1)2n12n+1n242.=== ===2)= ====== ==(21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)+22(n+1)n11== n(n+1)2n+1n(n+1)2n+1n2n(n+1)2n+1x2x+n*c=(n206。N)=的最小值為，最大值為，且abnnn2x+1（1）求；（2）證明：：161+{an}的前n項的和為sn，且an+2（1）求證：數(shù)列sn是等差數(shù)列； 11117+++L+ 444c14c2c34+L+17 1=2sn，n206。N*； an{}（2）解關于數(shù)列n的不等式：an+1(sn+1+sn)4n8（3）記bn=2sn,Tn=331111Tn+++L+，證明：1 2b1b2b3bn{an}滿足：237。n+2236。an252。an+1； 253。是公差為1的等差數(shù)列，且an+1=nn238。254。（1）求an；（2++L2 {an}中，已知a1=2,an+1an=2anan+1；（1）求an；（2）證明：a1(a11)+a2(a21)+a3(a31)+L+an(an1)32n+{an}滿足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）設bn=，求bn；（2）記=，求證：163。c1+c2+c3+L+ 162n(n+1)an+1an{an}的前n項的和為sn滿足：sn1,6sn=(an+1)(an+2)；（1）求an；（2）設數(shù)列{bn}滿足an(2n1)=1,并記Tn=b1+b2+b3+L+bn，b求證：3Tn+1log2n(a+3)（函數(shù)的單調(diào)性，貝努力不等式，構造，數(shù)學歸納法）{an}滿足：a1=1,nan+1(n+1)an=+1，anan+1記b1=a1,bn=n[a1+（1）求an；（2）證明：(1+2111++L+](n179。2)。222a2a3an11111)(1+)(1+)L(1+)4 b1b2b3bn4