【正文】 的注意力，激發(fā)探究知識(shí)的積極性，也使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。二、第二個(gè)環(huán)節(jié)是自主探究體驗(yàn)新知在本環(huán)節(jié)中，我分為以下幾步來(lái)進(jìn)行：第一步為認(rèn)識(shí)秒針和1秒，首先讓學(xué)生觀察鐘表面，認(rèn)識(shí)秒針，看課件演示秒針走一小格就是1秒，聽(tīng)秒針走動(dòng)發(fā)出的聲音，通過(guò)觀察秒針、聽(tīng)聲音、等一系列多感官的學(xué)習(xí)活動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)。第二步是體驗(yàn)1秒的長(zhǎng)短，感受1秒的價(jià)值，首先讓學(xué)生充分的說(shuō)一說(shuō)1秒的時(shí)間可以干什么事兒，學(xué)生可能會(huì)拍一下手，眨一下眼，跺一下腳等等，讓學(xué)生感受1秒的短暫。通過(guò)學(xué)生自己用聲音和動(dòng)作等來(lái)表示1秒的時(shí)間，使學(xué)生有了具體的、物化的感受。增加感性認(rèn)識(shí)，使學(xué)生在實(shí)際動(dòng)作中體驗(yàn)“1秒”的長(zhǎng)短。第三步是聯(lián)系生活實(shí)際讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)生活中都有哪些時(shí)候是用秒作單位的，給學(xué)生充足的時(shí)間去思考、交流。接著介紹在科技發(fā)達(dá)的現(xiàn)代社會(huì)在短短的1秒能做很多事情，如：神七的發(fā)射，學(xué)生不僅驚嘆于現(xiàn)代科技的神奇，也會(huì)激發(fā)愛(ài)國(guó)情感。讓學(xué)生感受1秒的作用真大??！增加了學(xué)生的知識(shí)積累，對(duì)學(xué)生進(jìn)行珍惜時(shí)間的教育。第四步是認(rèn)識(shí)、體驗(yàn)幾秒。首先是認(rèn)識(shí)幾秒，設(shè)置問(wèn)題情境：劉翔打破世界紀(jì)錄的時(shí)間，接著讓學(xué)生體驗(yàn)幾秒。如果不看鐘表，怎樣知道一件事經(jīng)過(guò)幾秒呢，讓學(xué)生想出估算幾秒的方法，如：數(shù)數(shù)、拍手等，讓學(xué)生在游戲活動(dòng)中估算用的時(shí)間，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)生的興趣，學(xué)生能以飽滿的情緒投入到估算中，充分體驗(yàn)了持續(xù)幾秒的時(shí)間長(zhǎng)短。第五步是探究1分=60秒。首先讓學(xué)生休息1分鐘，讓學(xué)生在聽(tīng)的同時(shí)估算用了多少秒。學(xué)生已經(jīng)有了上面估算的經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該說(shuō)大部分同學(xué)都能估算得比較接近，這個(gè)時(shí)候再讓學(xué)生看鐘面，教師提出具體要求，觀察分針、秒針的變化，說(shuō)說(shuō)你發(fā)現(xiàn)了什么。通過(guò)讓學(xué)生在情境中去估算、猜想、驗(yàn)證等，讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與到探索1分=60秒的活動(dòng)中來(lái)，再通過(guò)直觀演示，加深了學(xué)生的認(rèn)識(shí)。三、第三個(gè)環(huán)節(jié)是綜合實(shí)踐 學(xué)以致用設(shè)計(jì)了三個(gè)層次性的練習(xí)。四、第四個(gè)環(huán)節(jié)是全課總結(jié)課外延伸。給學(xué)生介紹下古時(shí)的計(jì)時(shí)工具。自己的思考與疑惑（1）教材的處理（可操作性？）：整體性和結(jié)構(gòu)化（線性結(jié)構(gòu)變?yōu)榘鍓K結(jié)構(gòu)；如何重組）（2）教師的適應(yīng)精心預(yù)設(shè)：學(xué)情與可能（基于教師個(gè)體經(jīng)驗(yàn)的判斷——教師要讀懂學(xué)生）動(dòng)態(tài)生成：教師的教學(xué)能力（靈敏、機(jī)智、應(yīng)變）（3）教育心理學(xué)的支撐（教育學(xué)與教育心理學(xué) 雙輪驅(qū)動(dòng)）（4）現(xiàn)有教學(xué)評(píng)價(jià)體制的制約——“瓶頸”新學(xué)期已經(jīng)開(kāi)始，在長(zhǎng)假里學(xué)習(xí)的心得在要用在教學(xué)實(shí)踐上。同時(shí)還需要繼續(xù)開(kāi)展理論學(xué)習(xí)與實(shí)踐觀摩相結(jié)合的研究 活動(dòng)。以《“新基礎(chǔ)教育”數(shù)學(xué)教學(xué)改革指導(dǎo)綱要》為主要學(xué)習(xí)材料，結(jié)合新基礎(chǔ)的一些展示課、現(xiàn)場(chǎng)觀摩課，甚至自己的課堂教學(xué)，從理性和感性兩個(gè)方面來(lái)學(xué)習(xí)來(lái)補(bǔ)充自己。讀《“新基礎(chǔ)教育”數(shù)學(xué)教學(xué)改革指導(dǎo)綱要》有感 20110310 11:12:29 作者：教導(dǎo)處 閱讀：1209次 “新課程”猶如一股潮水，在老師們還沒(méi)來(lái)得及品嘗其苦與甜時(shí)，“主體學(xué)堂”的號(hào)角又再次吹響。然而，經(jīng)過(guò)各種方式的陶冶和實(shí)踐，我的課改意識(shí)逐漸由一個(gè)課改理論上的鼓動(dòng)者，變?yōu)檎n改的忠實(shí)實(shí)踐者，直到現(xiàn)在，變成了對(duì)課改的反思者。但是由于自身的理論水平和眼界有限，自己對(duì)課改的反思是非常局限的，有些認(rèn)識(shí)也讓我很糾結(jié)。暑假里讀了吳亞萍老師的《“新基礎(chǔ)教育”數(shù)學(xué)教學(xué)改革指導(dǎo)綱要》，對(duì)于我們一線數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)是一場(chǎng)及時(shí)雨，受到了很多的啟發(fā)。首先我認(rèn)識(shí)到了：思想決定行動(dòng)。要學(xué)有思想的知識(shí)，要做有思想的學(xué)問(wèn)。當(dāng)今哪怕是各種權(quán)威辭書(shū)追求的更多的是經(jīng)濟(jì)價(jià)值，很多都是簡(jiǎn)單的案例堆積，而這本書(shū)的作者卻多了思想與責(zé)任，少了經(jīng)濟(jì)與浮躁。這本書(shū)是實(shí)踐性研究的產(chǎn)物，為我們一線教師對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，數(shù)學(xué)教育理論指明了方向。作為課程實(shí)踐者，不必因盲從而找不到自己的定位，我們只有認(rèn)真學(xué)習(xí)，了解當(dāng)前教育新動(dòng)態(tài)，結(jié)合自己的教學(xué)去實(shí)踐，就能成為一名善思考、有理性、有特色、有思想的教師。其次，我今年擔(dān)任的是四年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)工作，四年級(jí)下期的計(jì)算關(guān)可以說(shuō)是整個(gè)小學(xué)計(jì)算中最關(guān)鍵最難過(guò)的一關(guān)?？戳诉@本書(shū)后又引發(fā)了我對(duì)計(jì)算教學(xué)的一點(diǎn)新的思考。吳老師提出：口算訓(xùn)練要經(jīng)常化，提高學(xué)生的口算速度；估算應(yīng)用要廣泛化，培養(yǎng)良好的估算應(yīng)用意識(shí)；簡(jiǎn)便計(jì)算要多樣化，注重簡(jiǎn)便計(jì)算的實(shí)用性；計(jì)算器教學(xué)要規(guī)范化，正確處理計(jì)算器使用與計(jì)算能力的培養(yǎng)；計(jì)算教學(xué)中非智力因素訓(xùn)練系統(tǒng)化，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。我覺(jué)得都是非常有道理的，也是非常實(shí)在的。計(jì)算在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著十分重要的地位，是小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。計(jì)算教學(xué)中的一個(gè)重要問(wèn)題，就是學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確率。通過(guò)本期教學(xué)，為了順利過(guò)計(jì)算關(guān)我在學(xué)生平時(shí)的考試和作業(yè)中認(rèn)真分析錯(cuò)誤的原因，以便對(duì)癥下藥。有針對(duì)性的預(yù)防，糾正計(jì)算錯(cuò)誤，提高教學(xué)效果，用科學(xué)的方法提高小學(xué)生的計(jì)算能力。學(xué)生在計(jì)算錯(cuò)誤的產(chǎn)生除了對(duì)有關(guān)計(jì)算的數(shù)學(xué)概念的理解掌握等方面的問(wèn)題外，另一方面則是由心理方面的因素引起的。心理方面的原因：學(xué)生不是不會(huì)做，而是由不良學(xué)習(xí)習(xí)慣造成的錯(cuò)誤，與感知、情感、注意等因素有關(guān)。感知方面審題不認(rèn)真導(dǎo)致的錯(cuò)誤，例如：抄錯(cuò)題，看錯(cuò)數(shù)字。學(xué)生的感知還伴有濃厚的感情色彩，具有較強(qiáng)的選擇性，往往忽略對(duì)全面整體的認(rèn)識(shí)。例如：＝。２．強(qiáng)成分因素的影響在四則混合運(yùn)算中，學(xué)生往往受到題目某些數(shù)據(jù)特點(diǎn)和某些運(yùn)算符號(hào)等強(qiáng)成份因素的影響，產(chǎn)生心理錯(cuò)覺(jué)，而引起計(jì)算錯(cuò)誤。例如：４００－２３０＋１７０＝０“湊整”在學(xué)生記憶中占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，很快上升成強(qiáng)成份優(yōu)勢(shì)，而運(yùn)算順序則下降為弱成分，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。混合運(yùn)算題是學(xué)生的主要失分點(diǎn)，這是因?yàn)閿?shù)據(jù)較大，外形過(guò)繁時(shí)，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生排斥心理，表現(xiàn)為不耐煩，不認(rèn)真審題，沒(méi)有耐心去選擇合理算法，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤出現(xiàn)。４．注意力不穩(wěn)定。有些學(xué)生進(jìn)取心強(qiáng)，好表現(xiàn)只求快，不求質(zhì)，結(jié)果丟三落四。例如：－＋＝＋＝ 例如：在計(jì)算小數(shù)加減法時(shí)，總有一些學(xué)生不將小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，而是將小數(shù)末位對(duì)齊，這是受整數(shù)加減法計(jì)算方法的影響，而產(chǎn)生的負(fù)遷移作用。－＝，這種錯(cuò)誤的原因是習(xí)慣整數(shù)加減法個(gè)位不夠減，向十位退一，有些學(xué)生受到整數(shù)減法計(jì)算法則干擾，不管題目后面的小數(shù)部分是幾夠不夠減，一律退位，進(jìn)行計(jì)算。以上種種造成計(jì)算錯(cuò)誤的心理原因并非孤立存在的，它們是互相影響互相聯(lián)系的。不管何種原因造成的計(jì)算錯(cuò)誤，都要引起教師的重視，注意找出錯(cuò)誤的根本原因和關(guān)鍵，以及詢問(wèn)學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤。再針對(duì)錯(cuò)誤的典型性、原因和范圍進(jìn)行分析，對(duì)癥下藥。根據(jù)完成很好和有典型錯(cuò)誤的學(xué)生的訪談后，結(jié)合教學(xué)實(shí)際總結(jié)了以下的策略：要了解學(xué)生的思想動(dòng)態(tài)和情感狀況。對(duì)不認(rèn)真而出現(xiàn)的錯(cuò)誤，讓學(xué)生從思想上重視，同時(shí)要提出改正方法，要求學(xué)生在限定時(shí)間內(nèi)逐漸消失，例如：學(xué)生交作業(yè)前注意檢查，在上課時(shí)隨時(shí)提醒，批改作業(yè)時(shí)用醒目的符號(hào)標(biāo)出等。養(yǎng)成良好習(xí)慣，保證計(jì)算的正確性計(jì)算中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，大多數(shù)是粗心大意、馬虎、字跡潦草等不良習(xí)慣造成的。因此，良好的計(jì)算習(xí)慣是提高計(jì)算能力的保證。抄題和每步計(jì)算時(shí)，都應(yīng)當(dāng)及時(shí)與原題或上一步算式進(jìn)行核對(duì)，以免抄錯(cuò)數(shù)或運(yùn)算符號(hào)。要做到三點(diǎn)：（１）抄好題后與原題核對(duì)；（２）豎式上數(shù)字與橫式上的數(shù)字核對(duì)；（３）橫式上的得數(shù)與豎式上的得數(shù)核對(duì)。做計(jì)算題，不應(yīng)拿起筆就算，必須先審題，弄請(qǐng)這道題的運(yùn)算順序并進(jìn)行簡(jiǎn)單的勾畫(huà)，有沒(méi)有特殊的數(shù)據(jù)或簡(jiǎn)便計(jì)算方法，然后才能動(dòng)筆算。另外，計(jì)算必須先求準(zhǔn)，再求快。作業(yè)、練習(xí)、草稿的書(shū)寫(xiě)都要工整，不能潦草，格式一定要規(guī)范，對(duì)題目中的數(shù)字、小數(shù)點(diǎn)、運(yùn)算符號(hào)的書(shū)寫(xiě)尤其要符合規(guī)范，數(shù)字間有適當(dāng)?shù)拈g隔，草稿上的豎式也要數(shù)位對(duì)齊、條理清楚。計(jì)算完，首先要檢查計(jì)算方法是不是合理；其次，檢查數(shù)字、符號(hào)會(huì)不會(huì)抄錯(cuò)，小數(shù)點(diǎn)漏寫(xiě)或錯(cuò)寫(xiě)；再次，對(duì)計(jì)算中途得到的每一個(gè)得數(shù)和最后的記過(guò)都要進(jìn)行檢查和演算。三、熟記常用數(shù)據(jù)，提高計(jì)算速度在四則運(yùn)算中，如果學(xué)生熟記一些常用的數(shù)據(jù)，有助于學(xué)生計(jì)算能力達(dá)到“正確、迅速、合理、靈活”的要求，也有助于較好地掌握計(jì)算的技能技巧。比如：１．和、積為整百、整千的特殊數(shù)據(jù)。如：２５ ４、１２５８，２５８等、小數(shù)的互化。、１的計(jì)算特征。四、排除強(qiáng)成分及負(fù)遷移的影響與干擾主要對(duì)策是培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣，切忌拿著就做，先勾畫(huà)運(yùn)算順序，如果要改變運(yùn)算順序就要追問(wèn)自己依據(jù)是什么，其次是加強(qiáng)對(duì)比教學(xué)，安排對(duì)比性練習(xí)以及變式練習(xí)，以區(qū)別容易混淆的概念和法則。但要注意適時(shí)比較，不要在學(xué)生剛開(kāi)始接觸兩種相似感念時(shí)就進(jìn)行比較，只有通過(guò)比較才能使學(xué)生正確掌握新學(xué)的知識(shí)，避免負(fù)遷移的產(chǎn)生。計(jì)算題千變?nèi)f化，在多思善想中鍛煉學(xué)生的思維的靈活性，力爭(zhēng)方法合理、靈活，分析學(xué)生的年齡特點(diǎn)和個(gè)別差異，及時(shí)糾正錯(cuò)誤，有效防止錯(cuò)誤，進(jìn)行有目的、有步奏的長(zhǎng)期訓(xùn)練，才能逐步提高學(xué)生的計(jì)算能力。綜上所述，用腦去思考，用手去實(shí)踐，用時(shí)間去總結(jié)，不做照本宣科、人云亦云的一生找不到自我的教書(shū)匠，此生足也！近來(lái)諸君大量轉(zhuǎn)載本博客內(nèi)容。前不見(jiàn)古人，后卻見(jiàn)來(lái)者，欣慰。請(qǐng)諸君轉(zhuǎn)載時(shí)注明文章來(lái)源和作者是劉建忠，并把對(duì)文章的批評(píng)指正及時(shí)告知我好嗎。黎曼《關(guān)于幾何基礎(chǔ)中的假設(shè)》學(xué)習(xí)筆記(2)n 度廣義流形的概念在嘗試解決第一個(gè)問(wèn)題── n 元延伸量概念的建立之前，我懇求大家多批評(píng)指教，因?yàn)樵谶@種哲學(xué)性質(zhì)的工作上，觀念比理論建構(gòu)還難，而我在這方面所受的訓(xùn)練甚少。過(guò)去所學(xué)，除了樞密顧問(wèn)高斯談雙二次剩余的第二篇論文中的少許提示，他的五十周年紀(jì)念冊(cè)及哥廷根學(xué)術(shù)雜志中的點(diǎn)滴及赫巴特(Herbart)的一些哲學(xué)研究外，也少能派上用場(chǎng)。)學(xué)習(xí)筆記：此文是1854年，生活清貧的黎曼為了取得哥廷根大學(xué)編外講師的資格作的演講，講演時(shí)高斯就坐在旁邊?？梢哉f(shuō)高斯十分看好黎曼，給了他許多幫助。但從文中可看出黎曼對(duì)高斯的工作作了恰如其分的評(píng)價(jià)，不卑不亢。我一直不明白，中國(guó)的學(xué)術(shù)界為何會(huì)流行一種通病：為討好上司、權(quán)威，能像太監(jiān)一樣極盡諂媚之能事；對(duì)同事、對(duì)他人的學(xué)術(shù)成果，能像文革中的政工嘴臉一樣，極盡誣蔑打擊之能事，這些病毒是從哪里來(lái)傳染來(lái)的？從黎曼的為人來(lái)看不像是從西方傳染過(guò)來(lái)的。要了解「量」必須先有一個(gè)關(guān)于「量」的普遍觀念和一些能體現(xiàn)它的特殊事例(instance)。這些事例形成了所謂的流形：任兩事例若可以連續(xù)地漸次轉(zhuǎn)移成為彼此，是連續(xù)流形，否則為離散流形。個(gè)別事例在前者中稱為「點(diǎn)」(point)，在后者稱為「元素」(element)。構(gòu)成離散流形的例子很多，至少在較高等的語(yǔ)言中一定可以找得到──只要能夠理解一堆東西擺在一起的觀念就夠了(在離散量的研究中，數(shù)學(xué)家可以毫不遲疑地假設(shè)所有的東西」都是同類的)。反過(guò)來(lái)說(shuō)，連續(xù)流形的例子在日常生活中很少，大概只有顏色以及實(shí)際物體的所有位置可以算是多元量的幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例。這種概念的創(chuàng)造與發(fā)展最先并屢屢出現(xiàn)于高等： “流形”概念。并將流形分為連續(xù)和離散兩種。連續(xù)流形中元素稱之為“點(diǎn)”（point），離散流形中的元素稱之為“元素”（element）。，而連續(xù)不多見(jiàn)來(lái)看，黎曼非常注意新生數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。我認(rèn)為，不能應(yīng)用的數(shù)學(xué)是游戲。利用標(biāo)記或圈圍取出流形的某些部分，稱為「量」。對(duì)「量」的定量比較工作，在離散的情形可以用數(shù)的，在連續(xù)的情況下則需靠測(cè)量。測(cè)量需將兩個(gè)被比較的量迭合；因此必須選出一個(gè)量，充當(dāng)其它量的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)。否則，我們只能在一個(gè)量包含于另一個(gè)量時(shí)才能作比較，只能談「較多」（more)、「較少」（less）,而不知絕對(duì)的「大小」（how much）。以這種的方式進(jìn)行，形成了對(duì) 「量」研究的一個(gè)部門(mén)。其中「量」的觀念獨(dú)立于測(cè)距（measurement）,而相依于位置；不以單位表示，而是必須視為流形上的區(qū)域。這項(xiàng)研究對(duì)數(shù)學(xué)許多部門(mén)而言是必要的（例如多變量解析函數(shù)的處理），而這種研究的缺乏，正是阿貝爾（Abel）的著名定理及拉格朗吉（Lagrange）、發(fā)府（Phaff）和亞各比（Jacobi）等人的貢獻(xiàn)之所以未能在微分方程一般理論中有所發(fā)揮的主要原因。從「延伸量」的科學(xué)的這個(gè)部門(mén)出發(fā)，不需借助任何其它的假設(shè)，我們首需強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)，以澄清「n元延伸量」的基本性質(zhì)。第一點(diǎn)是關(guān)于「多元延伸量」這種概念的建立，而第二點(diǎn)則提到如何將流形中定位置的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為決定數(shù)值的問(wèn)題。學(xué)習(xí)筆記：，離散情形可以用數(shù)數(shù)，連續(xù)時(shí)——猜想：黎曼可能此時(shí)頭腦中是在用極限概念，即：任意小范圍。理由：只有極限概念的任意小范圍才能避免空間彎曲等影響，使其滿足“獨(dú)立于測(cè)距（measurement）,而相依于位置；不以單位表示，而是必須視為流形上的區(qū)域?！?：需要一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)的量”。此思想來(lái)源——猜測(cè)：我們大腦討論人，就會(huì)想到一個(gè)腦袋和兩只靈活上肢、兩只行走的下肢組成的立式行走的動(dòng)物；討論狗，就會(huì)想到四肢爬行的動(dòng)物?？傊?，我們考慮任何事物，頭腦中都會(huì)有一個(gè)該事物的粗獷的標(biāo)準(zhǔn)模式。在一個(gè)概念下的事例如果構(gòu)成連續(xù)流形，則從其中的一個(gè)事例以確定的方式移動(dòng)到另一個(gè)事例時(shí)，中間所經(jīng)過(guò)的所有事例會(huì)構(gòu)成一個(gè)一元延伸的流形。它的特色是，從其中任一點(diǎn)出發(fā)，則只有兩個(gè)方向可供連續(xù)移動(dòng)：亦即非往前則往后。現(xiàn)在，我們想象這個(gè)一元流形以確定的方式移向另一個(gè)完全不同的一元流形，以致于舊流形上每一點(diǎn)都確定的走向新流形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則仿前述，這樣的例子便構(gòu)成了一個(gè)二元延伸流形。以此類推，我們可以想象一個(gè)二元延伸流形確定地移向一個(gè)完全不同的二元流形而得到一個(gè)三元延伸流形，不難看出如何繼續(xù)這個(gè)建構(gòu)。如果我們把這個(gè)過(guò)程中的參與者看成是變動(dòng)的，而非固定的概念，則這種建構(gòu)可以看成是融合 n 維和一維的變動(dòng)度(variability)而得到 n+1 維的變動(dòng)度。學(xué)習(xí)筆記：1.“從其中的一個(gè)事例以確定的方式移動(dòng)到另一個(gè)事例時(shí)，中間所經(jīng)過(guò)的所有事例會(huì)構(gòu)成一個(gè)一元延伸的流形。它的特色是，從其中任一點(diǎn)出發(fā)，則只有兩個(gè)方向可供連續(xù)移動(dòng)：亦即非往前則往后。”表示當(dāng)一n維流形沿著“以確定的方式移動(dòng)”時(shí)，此n維流形與其移動(dòng)軌跡上所有n維流形組成了一個(gè)多了一個(gè)可以“兩個(gè)方向可供連續(xù)移動(dòng)”的維數(shù)。即組成了一個(gè)n+1維流形。同理，當(dāng)這個(gè)n+1維流形按上述方法移動(dòng)時(shí)，我們就可得到一個(gè)n+2維流形。反之，我現(xiàn)在要說(shuō)明怎樣將一個(gè)具已知邊界的變動(dòng)度分解為一個(gè)一維變動(dòng)度及一個(gè)較低維的變動(dòng)度。考慮流形上沿一個(gè)一維向度的分解，固定其中之一，使其分解上的點(diǎn)得以相互比較。沿