【導(dǎo)讀】系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸?shù)目煽啃耘c有效性的要求也隨之增強(qiáng)。在傳輸數(shù)字信號時，由于信道的。成接收端接收到的信號存在一定的誤差。信道編碼技術(shù)正是降低誤比特率、提高通信質(zhì)量的主要技術(shù)手段之一。本文首先系統(tǒng)介紹信道編碼的研究背景及意義、發(fā)展史、應(yīng)用并對matlab進(jìn)行概述。接著選取編碼技術(shù)中最常用的種類：線性分組碼、循環(huán)碼、卷積碼。即分別對線性分組。碼、循環(huán)碼和卷積碼的編碼和譯碼原理進(jìn)行闡述，并基于matlab平臺進(jìn)行仿真。信不論在什么環(huán)境下均能高效、可靠的傳輸數(shù)據(jù)，提高了整個通信系統(tǒng)的質(zhì)量。

　　

【正文】 （ ） 并設(shè)信息元多項式 m(x)=mk1xk1+mk2xk2+...m1x+m0 （ ） 沈陽理工大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 21 要編碼成系統(tǒng)循環(huán)碼形式，即碼字的最左邊 k 位是信息元，其余 nk 位是校驗元，則要用 xnk 乘以 m(x)，再加上校驗元多項式 r(x),這樣得到的碼字多項式 c(x)為 c(x)=xnkm(x)+r(x) =mk1xn1+mk2xn2+...m0xnk+rnk1xnk1+...r1x+r0 （ ） 其 中 r(x)=rnk1xnk1+...r1x+r0 c(x)一定是 g(x)的倍式，即有 c(x)=xnkm(x)+r(x)=q(x)g(x) （ ） c(x)=xnkm(x)+r(x)=0， mod g(x) （ ） 注意到 g(x)為 nk 次多項式，而 r(x)最多為 nk1 次多項式，必有 r(x)=xnkm(x), mod g(x) （ ） 即 r(x)必是 xnkm(x)除以 g(x)的余式。 公式 ()指出了系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼方法：首先將信息元多項式 m(x)乘以 xnk 成為xnkm(x)，然后將 xnkm(x)除以生成多項式 g(x)得到余式 r(x)，該余式就是校驗元多項式，從而得到碼字多項式 c(x)=xnkm(x)+r(x) （ ） 綜上所述，系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼問題，可以歸結(jié)為兩個多項式的除法運(yùn)算，即將 xnkm(x)除以生成多項式 g(x)得到余式 r(x)的運(yùn)算，因此研究多項式除法的電路實現(xiàn)是必要的。 當(dāng)碼字 c 通過噪聲信道傳送時，會受到干擾而產(chǎn)生錯誤。如信道產(chǎn)生 y=c+e 上式也可以寫成多項式形式 y(x)=c(x)+e(x) 譯碼器的任務(wù)就是從 y(x)中得到 e? ， 然后求得估值碼字 c? =y(x)+ e? (x),并從中得到信息組 m? (x)。 循環(huán)碼的譯碼可按以下三個步驟進(jìn)行： 接收到的 y(x)計算伴隨式式 s(x)。 根據(jù)伴隨式 s(x)找到對應(yīng)的估值錯誤圖樣 e? (x)。 計算 c? =y(x)+e? (x),得到估值碼字 c? (x)。若 c? (x)=c(x),則譯碼正確，否則，若c? (x)≠c(x),則譯碼錯誤。 譯碼器實現(xiàn)的復(fù)雜程度，往往是一個糾錯碼能否使用的關(guān)鍵。利用循環(huán)碼的循環(huán)特性，經(jīng)常會使其譯碼運(yùn)算變得簡單，這也是循環(huán)碼受到關(guān)注和重視的重要原因。 沈陽理工大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 22 循環(huán)碼的編碼和譯碼程序 由于循環(huán)碼是一組特殊的線性分組碼，所以線性分組碼的編碼和譯碼程序?qū)ζ渫耆m用，在此處不再重復(fù)列出。 卷積碼 卷積碼簡介 卷積碼最早于 1955 年由 Elias 提出，稍后， 1957 年 Wozencraft 提出了一種有效地譯碼方法即序列譯碼。 1963 年 Massey 提出了一種性能稍差但是比較實用的門限譯碼方法，使得卷積碼開始走向?qū)嵱没?。而?1967 年 Viterbi 提出了最大似然譯碼算法，它對存儲級數(shù)較小的卷積碼很容易實現(xiàn)，被稱作 Viterbi 譯碼算法，廣泛的應(yīng)用于現(xiàn)代通信中。 卷積碼是一種性能優(yōu)越的信道編碼，它的編碼器和解碼器都比較易于實現(xiàn)，同時還具有較強(qiáng)的糾錯能力，這使得它的使用越來越廣泛。我們在一些資料上可以找到關(guān)于分組碼的一些介紹，分組碼的實現(xiàn)是將編碼信息分組單獨進(jìn)行編碼，因此無論是在編碼還是譯碼的過程 中不同碼組之間的碼元無關(guān)。卷積碼和分組碼的根本區(qū)別在于，它不是把信息序列分組后再進(jìn)行單獨編碼，而是由連續(xù)輸入的信息序列得到連續(xù)輸出的已編碼序列。即進(jìn)行分組編碼時，其本組中的 nk 個校驗元僅與本組的 k 個信息元有關(guān)，而與其它各組信息無關(guān)；但在卷積碼中，其編碼器將 k 個信息碼元編為 n 個碼元時，這 n 個碼元不僅與當(dāng)前段的 k 個信息有關(guān)，而且與前面的（ N－ 1）段信息有關(guān)（ N 為編碼的約束長度）。 同樣，在卷積碼譯碼過程中，不僅從此時刻收到的碼組中提取譯碼信息，而且還要利用以前或以后各時刻收到的碼組中提取 有關(guān)信息。而且卷積碼的糾錯能力隨約束長度的增加而增強(qiáng)，差錯率則隨著約束長度增加而呈指數(shù)下降 。卷積碼 (n,k,N) 主要用來糾隨機(jī)錯誤，它的碼元與前后碼元有一定的約束關(guān)系，編碼復(fù)雜度可用編碼約束長度 N*n來表示。一般地，最小距離 d 表明了卷積碼在連續(xù) N 段以內(nèi)的距離特性，該碼可以在 N個連續(xù)碼流內(nèi)糾正 (d1)/2 個錯誤。卷積碼的糾錯能力不僅與約束長度有關(guān)，還與采用的譯碼方式有關(guān)?？傊捎?n， k 較小，且利用了各組之間的相關(guān)性，在同樣的碼率和設(shè)備的復(fù)雜性條件下，無論理論上還是實踐上都證明：卷積碼的性能至少不比分組 碼差。 以二元碼為例，輸入信息序列為 u＝ (u0， u1， …) ，其多項式表示為 u(x)＝ u0+u1x＋ … ＋ ulxl＋ … 。編碼器的連接可用多項式表示為 g(1,1)(x)＝ 1+x+x2 和 g(1,2)(x)＝ 1+x2，沈陽理工大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 23 稱為碼的子生成多項式。它們的系數(shù)矢量 g(1,1)=(111)和 g(1,2)=(101)稱作碼的子生成元。以子生成多項式為陣元構(gòu)成的多項式矩陣 G(x)＝ [g(1,1)(x),g(1,2)(x)]，稱為碼的生成多項式矩陣 [16]。由生成元構(gòu)成的半無限矩陣 稱為碼的生成矩陣。其中 (11,10,11)是由 g(1,1)和 g(1,2)交叉連接構(gòu)成。編碼器輸出序列為 c＝ uG，稱為碼序列，其多項式表示為 c(x)，它可看作是兩個子碼序列 c(1)(x)和 c(2)(x)經(jīng)過合路開關(guān) S 合成的，其中 c(1)(x)＝u(x)g(1,1)(x)和 c(2)(x)＝ u(x)g(1,2)(x),它們分別是信息序列和相應(yīng)子生成元的卷積，卷積碼由此得名。 在一般情況下，輸入信息序列經(jīng)過一個時分開關(guān)被分成 k0 個子序列 ,分別以 u(x)表示 ,其中 i=1， 2,…k0 ，即 u(x)＝ [u(x),…,u(x)] 。編碼器的結(jié)構(gòu)由 k0n0 階生成多項式矩陣給 定。輸出碼序列由 n0 個子序列組成，即 c(x)＝ [c(x),c(x)， … ， c(x)]，且 c(x)=u(x)G(x)。若 m 是所有子生成多項式 g(x)中最高次式的次數(shù)，稱這種碼為 (n0， k0， N)卷積碼。卷積碼中編碼后的 n 個碼元不僅與當(dāng)前段的 k 個信息有關(guān)，而且也與前面（ N1）段的信息有關(guān)，編碼過程中相互關(guān)聯(lián)的碼元為 nN 個。因此，這 N 時間內(nèi)的碼元數(shù)目 nN 通常被稱為這種碼的約束長度。卷積碼的糾錯能力隨著 N 的增加而增大，在編碼器復(fù)雜程度相同的情況下，卷段積碼的性能優(yōu)于分組碼。 卷積碼也是分組的 , 但它的監(jiān)督元不僅與 本組的信息元有關(guān) , 而且還與前若干組的信息元有關(guān)。卷積碼根據(jù)需要 , 有不同的結(jié)構(gòu)及相應(yīng)的糾錯能力 ,但都有類似的編碼規(guī)律。值得指出的是一種 (2,1,N)卷積碼 , 其碼率為 1 /2, 它的監(jiān)督位只有 1 位 , 編碼效率較高 , 也比較簡單。如使用較長的約束長度 , 則既可以糾正突發(fā)差錯 , 也可以糾正隨機(jī)差錯。 卷積碼編碼原理 卷積碼一般表示為 (n,k,N)的形式，即將 k 個信息比特編碼為 n 個比特的碼組， N 為編碼約束長度，說明編碼過程中相互約束的碼段個數(shù)。卷積碼編碼后的 n 個碼元不僅與當(dāng)前組的 k 個信息比特有關(guān)， 還與前 N1 個輸入組的信息比特有關(guān)。編碼過程中相互關(guān)聯(lián)的碼元有 N*n 個。 R=k/n 是編碼效率。編碼效率和約束長度是衡量卷積碼的兩個重要參數(shù)。典型的卷積碼一般選 n,k 較小，但 N 值可取較大 (10)，以獲得簡單而高性能的卷積碼。卷積碼的編碼描述方式有很多種：沖激響應(yīng)描述法、生成矩陣描述法、多項式乘積描述法、狀態(tài)圖描述，樹圖描述，網(wǎng)格圖描述等。以下列舉其中幾種： 狀態(tài)圖法 沈陽理工大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 24 由于卷積碼編碼器在下一時刻的輸出取決于編碼器的當(dāng)前狀態(tài)和下一時刻的輸入，而編碼器當(dāng)前狀態(tài)取決于編碼器當(dāng)前各移位寄存器的存儲內(nèi)容。稱 編碼器當(dāng)前各移位寄存器存儲內(nèi)容 (0 或 1)為編碼器在該時刻的狀態(tài) (此狀態(tài)代表記憶以前的輸入信息 )。隨著信息序列的不斷輸入，編碼器不斷從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另外一個狀態(tài)，并且輸出相應(yīng)的編碼序列。編碼器的總可能狀態(tài)數(shù)為 2mk 個。對 (7,5)碼的編碼器來說， n=2， k=1， N=3，m=2。共有四個可能狀態(tài)，其狀態(tài)圖如圖（ ）所示： 圖 卷積碼狀態(tài)圖 圖中四個方塊表示狀態(tài)，狀態(tài)間的連線與箭頭表示轉(zhuǎn)移方向，連線上的數(shù)字表示是狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)移的到來比特，斜杠后的數(shù)字由一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移時的輸出碼字。如當(dāng)前狀態(tài)為 11，輸入信息為 0，則轉(zhuǎn)移到 01 狀態(tài)并輸出 01 碼字，若輸入信息為 1，則依然為 11 狀態(tài)，并輸出 10 碼字。 樹圖法 描述卷積碼的編碼過程除了用它的生成矩陣 外，還可以用半無限碼樹圖。卷積碼的樹圖表示是一種形象的表示卷積碼編碼過程的方法。卷積碼的各種距離度量與樹圖有密切關(guān)系。 以 ()卷積碼為例，它的生成多項式矩陣和生成矩陣分別為： G(D)=[1+D+D2,1+D2] () G=[1 1 1。1 0 1 ] () 若輸入編碼器的信息序列 M(D)=(m0,m1,m2…..)=(1 1 0 1 1 … ..),則由編碼器輸出 00 10 01 11 1/10 1/01 1/00 0/10 0/01 0/11 1/11 0/00 沈陽理工大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 25 碼序列 C為 C = M =(11， 01， 01， 00， 01， 01， )=( C0,Cl,C2, C3,…) 可以把這個編碼過程用如圖 ()所示的半無限碼樹圖來說明。設(shè)編碼器的初始狀態(tài)為 0，碼樹中每個節(jié)點的下一級的上面的分支表示輸入為 0，下面的分支表示輸入為 l。每個分支上面的數(shù)字表示對應(yīng)次分支的輸出。因此輸入不同的信息序列，編碼器就走不同的路徑，輸出不同的碼序列。按照上面的例子，則編碼過程對應(yīng)碼樹中粗線表示的一條路徑。對該碼序列來說，樹圖上的這條路徑就是它的正確路徑。對于一 般的二進(jìn)制 (n,k,N)編碼器來說，每次輸入的是 k個信息元，有 2k個可能的信息組，這對應(yīng)于從碼樹每一個節(jié)點上分出的分支樹有 2k條，相應(yīng)于 2k個不同信息組的輸入，并且每條都有 n個碼元，作為與此相應(yīng)的輸出子碼。 由以上討論可知，卷積碼編碼過程的實質(zhì)，是在輸入信息序列的控制下，編碼器沿碼樹通過某一特定路徑的過程。顯然，譯碼過程就是根據(jù)接收序列和信道干擾的統(tǒng)計特性，譯碼器在原碼樹上力圖恢復(fù)原來編碼器所走的路徑，即尋找正確路徑的過程。其過程如圖 ()所示。 圖 ( )卷積碼的樹圖 沈陽理工大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 26 卷積碼譯碼原理 卷積碼三種譯碼方式 (1)代數(shù)譯碼 代數(shù)譯碼是將卷積碼的一個編碼約束長度的碼段看作是 [n0(m+1)， k0(m+1)]線性分組碼，每次根據(jù) (m+1)分支長接收數(shù)字，對相應(yīng)的最早的那個分支上的信息數(shù)字進(jìn)行估計，然后向前推進(jìn)一個分支。如果假設(shè)輸入的信息序列為＝ (10111)，相應(yīng)的編碼輸出序列為 c＝ (11100001100111)。在未超出編碼約束長度的情況下，可以通過譯碼時將接受序列與所有可能的輸出編碼序列進(jìn)行比較，通過比較可以得到最小距離，進(jìn)而可以得到可能的最大概率。按同樣方法判決，將每一位進(jìn)行比較，進(jìn)行糾錯。若此時接收序列 R＝ (10100001110111),先根據(jù) R 的前三個分支（ 101000）和碼樹中前三個分支長的所有可能的 8 條路徑 (000000…) 、 (000011…) 、 (001110…) 、 (001101…) 、 (111011…) 、 (111000…) 、(110101…) 和 (110110…) 進(jìn)行比較，可知 (111001)與接收 序列 (101000)的距離最小，于是判定第 0 分支的信息數(shù)字為 0。然后以 R 的第 1～ 3 分支數(shù)字 (100001)按同樣方法判決 ,依此類推下去 ,最后得到信息序列的估值為 =(10111)，遂實現(xiàn)了糾錯。這種譯碼法，譯碼時采用的接收數(shù)字長度或譯碼約束長度為 (m+1)n0，所以只能糾正不多于 (dmin1)/2 個錯誤 (n 長上的 )。實用中多采用反饋擇多邏輯譯碼法實現(xiàn)。 (2)維特比譯碼 維特比譯碼是根據(jù)接收序列在碼的格圖上找出一條與接收序列距離（或其他量度）為最小的一種算法。它和運(yùn)籌學(xué)中求最短路徑的算法相類似。若接 收序列為R=(10100101100111)，譯碼器從某個狀態(tài) ,例如從狀