【正文】 第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 PID控制器設(shè)計 由式 ()可知， PID控制器的輸出控制信號 與誤差的累加 有關(guān)，會給控制帶來不利影響。 由式 ()可推導(dǎo)出第 (k1)個采樣周期的控制信號 u(k1)，其表達式為 () 用式 ()減式 ()，并整理后，可得到離散增量式 PID控制器的表達式 () 由 ()可知， PID控制器輸出的控制信號 由 計算，即控制器的第 k次輸出 等于控制器的上一次輸出 加上增量 即可。增量 只與最近三個誤差變量 、 、 有關(guān)，有利于計算和提高控制性能。在計算機控制中經(jīng)常采用離散增量式 PID控制。 離散 PID控制器的脈沖傳遞函數(shù)為 () 式中， Kp、 Ki和 Kd分別是比例系數(shù)、積分系數(shù)、微分系數(shù)。 ()uk0()kmem??1p i d0 ( 1 ) ( 2 )( 1 ) ( 1 ) ( )kme k e ku k K e k K T e m K T??? ? ?? ? ? ? ??dpi( ) ( ) ( 1 )[ ( ( ) ( 1 ) ] ( ) [ ( ) ( 2 ) 2 ( 1 ) ]u k u k u kKK e k e k K Te k e k e k e kT? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?()uk ( ) ( 1 ) ( )u k u k u k? ? ? ?()uk ( 1)uk?()uk? ()uk? ()ek ( 1)ek? ( 2)ek?1c p d1()( ) ( 1 )( ) 1 iKEzG z K K zU z z ??? ? ? ? ??第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 PID控制器設(shè)計 二 . PID參數(shù)對控制性能的影響 前已述及， PID控制器的 Kp、 Ti、 Td三個參數(shù)的大小決定了 PID控制器的比例、積分、微分控制作用的強弱。下面舉例分別分析 Kp、 Ti、 Td三個參數(shù)中一個參數(shù)發(fā)生變化而另兩個參數(shù)保持不變時，對系統(tǒng)控制性能的影響。 【 例 】 某電機轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)如圖 ，采用 PID控制器。試繪制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線，分析 Kp、 Ti、 Td三個參數(shù)對控制性能的影響。 第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 PID控制器設(shè)計 1. 比例系數(shù) Kp對控制性能的影響 采用比例控制，即當比例系數(shù) Kp分別取 5，且 Ti→∞ ， Td=0時，根據(jù)圖 ，其 MATLAB程序如下： s=tf(39。s39。)。 G1=59/(s+59)。 G2=。 G12=feedback(G1*G2,1)。 G3=23647/(s+599)。 G4=。 G=G12*G3*G4。 for Kp=1:1:5 Gc=feedback(Kp*G,)。 step(Gc),hold on end axis([0,0,130])。%該語句劃定橫坐標范圍為 [0,]，縱坐標范圍為 [0,130] gtext(39。Kp=139。)。 gtext(39。Kp=239。)。 gtext(39。Kp=339。)。 gtext(39。Kp=439。)。 gtext(39。Kp=539。)。 第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 PID控制器設(shè)計 上述程序運行后，在只有比例 (P)控制作用下，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖。 由圖 ，隨著比例系數(shù) Kp的增加，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的幅值增大，超調(diào)量加大，系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，同時會減少穩(wěn)態(tài)誤差，但不能消除穩(wěn)態(tài)誤差。經(jīng)仿真調(diào)試，若 Kp≥19時，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線變?yōu)榘l(fā)散型，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。也就是，比例系數(shù) Kp的無限增加，會使系統(tǒng)不穩(wěn)定。 第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 PID控制器設(shè)計 2．積分時間常數(shù) Ti對控制性能的影響 采用 PI控制，即當固定比例系數(shù) Kp=1，積分時間常數(shù) Ti分別取 、 ，根據(jù)圖 ，其 MATLAB程序如下： s=tf(39。s39。)。 G1=59/(s+59)。G2=。 G12=feedback(G1*G2,1)。 G3=23647/(s+599)。 G4=。 G=G12*G3*G4。 Kp=1。 for Ti=:: PIGc=tf(Kp*[Ti 1],[Ti 0])。 Gc=feedback(PIGc*G,)。 step(Gc),hold on end axis([0,0,140])。 gtext(39。Ti=39。)。 gtext(39。Ti=39。)。 gtext(39。Ti=39。)。 第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 PID控制器設(shè)計 上述程序運行后，在只改變積分時間常數(shù) Ti的作用下，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖 。 由圖 ，隨著積分時間常數(shù) Ti的增加，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量降低，系統(tǒng)響應(yīng)速度稍有變慢。積分環(huán)節(jié)的主要作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 PID控制器設(shè)計 3. 微分時間常數(shù) Td對控制性能的影響 采用 PID控制，即當固定比例系數(shù) Kp=， Ti=，微分時間常數(shù) Td分別取 60、 110時，根據(jù)圖 ，其MATLAB程序如下： s=tf(39。s39。)。 G1=59/(s+59)。G2=。 G12=feedback(G1*G2,1)。 G3=23647/(s+599)。G4=。 G=G12*G3*G4。 Kp=。Ti=。 for Td=10:50:110 PIDGc=tf(Kp*[Ti*Td Ti 1],[Ti 0])。 Gc=feedback(PIDGc*G,)。 step(Gc),hold on end axis([0,15,0,110])。 gtext(39。Td=1039。)。 gtext(39。Td=6039。)。 gtext(39。Td=11039。)。 第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 PID控制器設(shè)計 上述程序運行后，在只改變 Td的作用下， PID控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖 。 由圖 ，隨著微分時間常數(shù) Td的增加，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的響應(yīng)速度加快。微分環(huán)節(jié)的主要作用是提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。由于該環(huán)節(jié)對誤差的導(dǎo)數(shù) (即誤差變化率發(fā)生作用 )，它能在誤差較大的變化趨勢時施加合適的控制，因此微分環(huán)節(jié)對于信號無變化或變化緩慢的系統(tǒng)不起作用。 第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 PID控制器設(shè)計 三 . PID控制器的設(shè)計 PID控制器的設(shè)計實際上就是 PID控制器的比例系數(shù) Kp、積分時間常數(shù) Ti、微分時間常數(shù) Td三個參數(shù)的確定，本節(jié)著重介紹如何采用 ZieglerNichols經(jīng)驗整定公式整定 PID參數(shù)，也就是 PID控制器的設(shè)計。 1. ZieglerNichols經(jīng)驗整定公式 Ziegler(齊格勒 )和 Nichols(尼柯爾斯 )在 1942年提出了 PID參數(shù)的經(jīng)驗整定公式。這個公式是針對受控對象模型為帶延遲的一階慣性傳遞函數(shù)提出的，即 () 式中， K為比例系數(shù)， T為慣性時間常數(shù)， 為純延遲時間常數(shù)。 在實際過程控制系統(tǒng)中，大多數(shù)受控對象模型可以近似轉(zhuǎn)換成式 ()這樣的帶延遲的一階慣性傳遞函數(shù)。其近似轉(zhuǎn)換方法有多種，其中比較好的方法就是，在獲取受控對象階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)后，用最小二乘擬合方法擬合出系統(tǒng)的模型參數(shù) K、 T、 ，詳見文獻 [4]。 ( ) e1 sKGs Ts ??? ???第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 PID控制器設(shè)計 ZieglerNichols經(jīng)驗整定公式見表 。由表可知，設(shè)計 PID控制器的方法有兩種。 第一種方法是，如果已知受控對象傳遞函數(shù)為 類型，即已知由階躍響應(yīng)整定的參數(shù) (包括比例系數(shù) K、慣性時間常數(shù) T、純延遲時間 )，通過查表，可計算出 PID控制器的三個參數(shù) Kp、 Ti、 Td。這種方法適合式 ()這種傳遞函數(shù)類型和可近似轉(zhuǎn)換成式 ()的受控對象。 () 1 sKG s eTs ??? ?第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 PID控制器設(shè)計 需要說明是， ZieglerNichols經(jīng)驗整定公式適合于 中比值 范圍為： ≤ ≤1。如果比值 過大，則表明系統(tǒng)的時間延遲很大，在控制中稱為大時間延遲系統(tǒng)，對這樣的系統(tǒng)可適當予以補償， Smith補償器就是一種比較有效的方法，在文獻 [4]中有詳細闡述。 第二種方法是，如果已知受控對象頻域響應(yīng)參數(shù) (增益裕量 Kc、剪切頻率 ，則 )，那么通過表 ZieglerNichols經(jīng)驗整定公式，即可計算出 PID控制器的三個參數(shù) Kp、 Ti、 Td。這種方法簡單實用，因為一旦提供了受控對象的傳遞函數(shù) G(包括非式 ()這種類型 )，就可用 MATLAB提供的函數(shù) [Gm,Pm,Wc]=margin(G)直接求出增益裕量 Kc和剪切頻率 Wc，再根據(jù) ZieglerNichols經(jīng)驗整定公式中的頻域響應(yīng)法整定參數(shù) Kp、 Ti、 Td即可。 () 1 sKG s eTs ??? ?T? T?T?c? cc2/T ???第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 PID控制器設(shè)計 2. PID控制器的設(shè)計舉例 【 例 】 如圖 ，已知受控對象為一個帶延遲的慣性環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為 () 試用 ZieglerNichols經(jīng)驗整定公式，分別計算 P、 PI、 PID控制器的參數(shù)，并進行階躍響應(yīng)仿真。 解：由該系統(tǒng)傳遞函數(shù)可知， K=2， T=30， =10。可采用 ZieglerNichols經(jīng)驗整定公式中階躍響應(yīng)整定法。 PID控制器采用式 ()表示的模型，計算 P、 PI、 PID控制器參數(shù)和繪制階躍響應(yīng)曲線的 MATLAB程序如下： 102()3 0 1sG s es???第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 PID控制器設(shè)計 K=2。T=30。tau=10。 s=tf(39。s39。)。 Gz=K/(T*s+1)。 [np,dp]=pade(tau,2)。 Gy=tf(np,dp)。 G=Gz*Gy。 PKp=T/(K*tau) %階躍響應(yīng)整定法計算并顯示 P控制器 step(feedback(PKp*G,1)),hold on PIKp=*T/(K*tau)。 %階躍響應(yīng)整定法計算并顯示 PI控制器 PITI=3*tau。 PIGc=PIKp*(1+1/(PITI*s)) step(feedback(PIGc*G,1)),hold on PIDKp=*T/(K*tau)。 %階躍響應(yīng)整定法計算并顯示 PID控制器 PIDTI=2*tau。 PIDTd=*tau。 PIDGc=PIDKp*(1+1/(PIDTI*s)+PIDTd*s/((PIDTd/10)*s+1)) step(feedback(PIDGc*G,1)),hold on [PIDKp,PIDTI,PIDTd] %顯示 PID控制器的三個參數(shù) Kp、 Ti、 Td gtext(39。P39。)。 gtext(39。PI39。)。 gtext(39。PID39。)。 第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計 上述程序部分語句注釋： [np,dp]=pade(tau,2)。該語句是把延遲環(huán)節(jié) 轉(zhuǎn)換為二階傳遞函數(shù)，并把其分子和分母分別放到 np和 dp中。 上述程序運行后，得到的 P、 PI、 PID控制器分別是 PKp、 PIGc、PIDGc，即 PKp =， ，