奧林匹克數(shù)學(xué)的解題策略-資料下載頁(yè)
2025-09-25 14:47本頁(yè)面
【正文】 在解決數(shù)學(xué)競(jìng)賽問(wèn)題時(shí)，常常需要考慮命題中某些量或某些元素的“極端”情況，譬如“最大值”，“最小值”，“邊界值”等等，這是分析和解決問(wèn)題重要的方法之一。利用考慮極端的元素來(lái)實(shí)現(xiàn)解題的方法稱為“極端性”原理。 由于“序”的關(guān)系是數(shù)學(xué)中最重要的關(guān)系之一，對(duì)極端情形的分析本質(zhì)上是一種特殊形式的有序化方法，它作為探索問(wèn)題、的思考方式，在解題有著廣泛的應(yīng)用。例16；晚會(huì)上對(duì)男女青年雙雙起舞，設(shè)任何一個(gè)男青年都未與全部女青年跳過(guò)舞，而每個(gè)女青年都至少與一個(gè)男青年跳過(guò)舞。求證必有兩男及兩女，使得b1與g1,b2與g2,跳過(guò)，而b1與g2,b2與g1未跳過(guò)。（匈牙利數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，1964） 分析：設(shè)與女青年跳過(guò)舞最多的男青年是b1，因b1未與全部女青年跳過(guò)，故存在b2與g2跳過(guò)。如果凡是與b1跳過(guò)的女青年都與b2跳過(guò)，則與b2跳過(guò)的女青年比b1至少大于1，這是不可能的。故在與b1跳過(guò)的女青年中至少有一個(gè)未與b2跳過(guò)舞，記為g1，則b1,b2,g1,g2即為所求。九：整體法 這一解題策略要求在解題過(guò)程中，不是分解它的條件和結(jié)論，采取各個(gè)擊破的辦法，而是要立足全局把握條件和結(jié)論的聯(lián)系，擺脫局部細(xì)節(jié)中一時(shí)難以弄清的數(shù)量關(guān)系的糾纏，使眼界更加開(kāi)闊，以利于看清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，抓住問(wèn)題的要害。例17：有甲，乙，丙三種貨物，若購(gòu)甲3件，購(gòu)乙7件，購(gòu)丙1件，共需要315元。若購(gòu)甲4件，購(gòu)乙10件，購(gòu)丙1件，共需420元。問(wèn)購(gòu)甲，乙，丙各一件共需多少元？（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，1985） 分析：通常的想法是先求出甲，乙，丙三種貨物的單價(jià)是多少。但是由于題目所給的已知條件少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，要求單價(jià)勢(shì)必就得解不定方程，能否不求單價(jià)，而直接求甲，乙，丙各一件的價(jià)格當(dāng)成一個(gè)整體來(lái)求呢？這就要求從整體上把握條件與結(jié)論之間的聯(lián)系。設(shè)甲、乙、丙的單價(jià)分別為元，則由題意得題目實(shí)際上只要求的值，而不必非求的值，因此設(shè)法分離出的值。原方程組可以得到如下等價(jià)變形：易得，=105，即購(gòu)的甲、乙、丙各一件共要105元。例18：計(jì)算（）（）（）。（）=解：設(shè) 原式=（）。（）。==整體法解題方法的靈活運(yùn)用，需要解題者有較強(qiáng)的觀察能力和心算能力。十：反面法 在科學(xué)的道路上我們應(yīng)該知難而進(jìn)，但是我們這里所說(shuō)“知難而進(jìn)”指的是一種堅(jiān)忍不拔的科學(xué)精神，而不是說(shuō)作任何事情都的“硬碰硬”，當(dāng)我們有時(shí)候在碰到某些比較“硬”的問(wèn)題時(shí)候我們不妨選擇臨時(shí)“逃避”一下，從它的反面出發(fā)，逆向地應(yīng)用某些知識(shí)去解決問(wèn)題。反面法正是從反面考慮問(wèn)題的一種方法，它是通過(guò)否定結(jié)論，找出矛盾來(lái)達(dá)到證明的目的。它常用于證明涉及“至少”，“都是”“唯一”，“有限或無(wú)限”等存在性問(wèn)題。例19：證明：當(dāng)都是給定的正整數(shù)，且時(shí)，可以寫(xiě)成個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和。（全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，1978） 分析：若從考慮分解成個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和，顯然因?yàn)榈牟淮_定以及分解方式不確定難以進(jìn)行，因此，我們可以從個(gè)連續(xù)偶數(shù)求和來(lái)推證，尋求結(jié)論的正確性。 解：設(shè)個(gè)連續(xù)偶數(shù)為則，化簡(jiǎn)得，令，則，所以求得：由該式可以知道，不論是奇數(shù)還是偶數(shù)，只要為大于2，為大于2的整數(shù)，那么一定是整數(shù)，故當(dāng)，為正整數(shù)時(shí)，取等于個(gè)連續(xù)偶數(shù)2a,2a+2,…..2a+2(n1)的和 此題的證明是一個(gè)典型的反向思維過(guò)程，從結(jié)論出發(fā)，向條件靠攏，若從正面考慮把寫(xiě)成個(gè)連續(xù)偶數(shù)之和，則事“倍”功“半”。 以上，我從十個(gè)方面簡(jiǎn)要介紹了奧林匹克解題的若干常用策略及方法。中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽還有很多方法（如有序方法，不變量方法，對(duì)稱方法，對(duì)應(yīng)方法，染色方法，奇偶性方法等等）都有待大家在以后的學(xué)習(xí)中去慢慢發(fā)現(xiàn)，體味，思索。數(shù)學(xué)競(jìng)賽在中學(xué)生面前可以說(shuō)一座高山，山上云霧繚繞，山上風(fēng)景萬(wàn)千，爬山是艱苦的，但登山是一件樂(lè)事
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