奧林匹克數(shù)學的解題策略-資料下載頁
2025-09-25 14:47本頁面
【正文】 在解決數(shù)學競賽問題時，常常需要考慮命題中某些量或某些元素的“極端”情況，譬如“最大值”，“最小值”，“邊界值”等等，這是分析和解決問題重要的方法之一。利用考慮極端的元素來實現(xiàn)解題的方法稱為“極端性”原理。 由于“序”的關系是數(shù)學中最重要的關系之一，對極端情形的分析本質(zhì)上是一種特殊形式的有序化方法，它作為探索問題、的思考方式，在解題有著廣泛的應用。例16；晚會上對男女青年雙雙起舞，設任何一個男青年都未與全部女青年跳過舞，而每個女青年都至少與一個男青年跳過舞。求證必有兩男及兩女，使得b1與g1,b2與g2,跳過，而b1與g2,b2與g1未跳過。（匈牙利數(shù)學競賽試題，1964） 分析：設與女青年跳過舞最多的男青年是b1，因b1未與全部女青年跳過，故存在b2與g2跳過。如果凡是與b1跳過的女青年都與b2跳過，則與b2跳過的女青年比b1至少大于1，這是不可能的。故在與b1跳過的女青年中至少有一個未與b2跳過舞，記為g1，則b1,b2,g1,g2即為所求。九：整體法 這一解題策略要求在解題過程中，不是分解它的條件和結(jié)論，采取各個擊破的辦法，而是要立足全局把握條件和結(jié)論的聯(lián)系，擺脫局部細節(jié)中一時難以弄清的數(shù)量關系的糾纏，使眼界更加開闊，以利于看清問題的實質(zhì)，抓住問題的要害。例17：有甲，乙，丙三種貨物，若購甲3件，購乙7件，購丙1件，共需要315元。若購甲4件，購乙10件，購丙1件，共需420元。問購甲，乙，丙各一件共需多少元？（全國初中數(shù)學聯(lián)賽，1985） 分析：通常的想法是先求出甲，乙，丙三種貨物的單價是多少。但是由于題目所給的已知條件少于未知數(shù)的個數(shù)，要求單價勢必就得解不定方程，能否不求單價，而直接求甲，乙，丙各一件的價格當成一個整體來求呢？這就要求從整體上把握條件與結(jié)論之間的聯(lián)系。設甲、乙、丙的單價分別為元，則由題意得題目實際上只要求的值，而不必非求的值，因此設法分離出的值。原方程組可以得到如下等價變形：易得，=105，即購的甲、乙、丙各一件共要105元。例18：計算（）（）（）。（）=解：設 原式=（）。（）。==整體法解題方法的靈活運用，需要解題者有較強的觀察能力和心算能力。十：反面法 在科學的道路上我們應該知難而進，但是我們這里所說“知難而進”指的是一種堅忍不拔的科學精神，而不是說作任何事情都的“硬碰硬”，當我們有時候在碰到某些比較“硬”的問題時候我們不妨選擇臨時“逃避”一下，從它的反面出發(fā)，逆向地應用某些知識去解決問題。反面法正是從反面考慮問題的一種方法，它是通過否定結(jié)論，找出矛盾來達到證明的目的。它常用于證明涉及“至少”，“都是”“唯一”，“有限或無限”等存在性問題。例19：證明：當都是給定的正整數(shù)，且時，可以寫成個連續(xù)偶數(shù)的和。（全國數(shù)學競賽，1978） 分析：若從考慮分解成個連續(xù)偶數(shù)的和，顯然因為的不確定以及分解方式不確定難以進行，因此，我們可以從個連續(xù)偶數(shù)求和來推證，尋求結(jié)論的正確性。 解：設個連續(xù)偶數(shù)為則，化簡得，令，則，所以求得：由該式可以知道，不論是奇數(shù)還是偶數(shù)，只要為大于2，為大于2的整數(shù)，那么一定是整數(shù)，故當，為正整數(shù)時，取等于個連續(xù)偶數(shù)2a,2a+2,…..2a+2(n1)的和 此題的證明是一個典型的反向思維過程，從結(jié)論出發(fā)，向條件靠攏，若從正面考慮把寫成個連續(xù)偶數(shù)之和，則事“倍”功“半”。 以上，我從十個方面簡要介紹了奧林匹克解題的若干常用策略及方法。中學生數(shù)學奧林匹克競賽還有很多方法（如有序方法，不變量方法，對稱方法，對應方法，染色方法，奇偶性方法等等）都有待大家在以后的學習中去慢慢發(fā)現(xiàn)，體味，思索。數(shù)學競賽在中學生面前可以說一座高山，山上云霧繚繞，山上風景萬千，爬山是艱苦的，但登山是一件樂事
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