【正文】 p。 Engineering 2022/9/19 74 u沿邊界層厚度由 0到 u?: )1(0~~ ?uu主流方向上的無量綱速度 的數(shù)量級為 1 ?? uuu 39。039。39。39。39。 ＝＋ yvxu ????????????????????????222239。39。39。39。Re139。39。39。39。39。39。39。39。yuxuxpEuyuvxuu ＝－＋????????????????????222239。39。39。39。Re139。39。39。39。39。39。39。39。yvxvypEuyvvxvu ＝－＋由連續(xù)性方程 : 039。39。39。39。 ＝＋yvxu????可以得出 v’的數(shù)量級為 δ 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 75 039。39。39。39。 ?????? yvxu?? 11 ????????????????????222239。39。39。39。Re139。39。39。39。39。39。39。39。yuxuxpEuyuvxuu ＝－＋ 1 11 1 ??)39。39。(39。39。 39。22xuxxu???????)39。39。(39。39。 39。22yuyyu???????221 11 ?2?11 1 x方向上的動量方程變?yōu)椋? ?????????????????2239。39。Re139。39。39。39。39。39。39。39。yuxpEuyuvxuu ＝－＋華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 76 ????????????????????222239。39。39。39。Re139。39。39。39。39。39。39。39。yvxvypEuyvvxvu ＝－＋?????????????????????222239。39。PrRe139。39。39。39。yxyvxu ＝＋) 1 ( 1 1 222 ?????????）（ 22 1 11 1 11 1 ???2t?華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 77 這就使得 動量方程和能量方程變成了拋物型的非線性微分方程 ； 039。39。39。39。 ＝＋ yvxu ???? ???????? ????????? 2239。39。Re139。39。39。39。39。39。39。39。yuxpEuyuvxuu ＝－＋?????????????????2239。PrRe139。39。39。39。 yyvxu ＝＋ 039。39。 ??????yyNu微分方程組經(jīng)過在邊界層中簡化后，由于動量方程和能量方程分別略去了主流方向上的動量擴(kuò)散項(xiàng)和熱量擴(kuò)散項(xiàng)，從而構(gòu)成上游影響下游而下游不影響上游的物理特征。 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 78 由于動量方程由兩個變成為一個 ， 而且 項(xiàng)可在邊界層的外邊緣上利用伯努利方程求解 ， 于是方程組在給定的邊值條件下可以進(jìn)行分析求解 ， 所得結(jié)果為邊界層的精確解 。 對于外掠平板的層流流動 ， 主流場速度是均速 u∞ ， 溫度是均溫 t∞ ；并假定平板為恒溫 tw。 39。39。 xp ??wttvuy ???? ,0:0?? ???? ttuuy ,:3/12/13 3 ????????????? ? axuxh x ???3/12/1 xxNu ?注意：層流 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 79 比較邊界層無量綱的動量方程和能量方程： ?????????????????2239。39。Re139。39。39。39。39。39。39。39。yuxpEuyuvxuu ＝－＋?????????????????2239。PrRe139。39。39。39。 yyvxu ＝＋在忽略動量方程壓力項(xiàng)后，溫度邊界層的厚度與速度邊界層的厚度的相對大小則取決于普朗特數(shù)的大小。 當(dāng) Pr=1時，動量方程與能量方程完全相同。即速度分布的解與溫度分布完全相同，此時速度邊界層厚度等于溫度邊界層厚度。 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 80 當(dāng) Pr1時 ， Pr= ， υa， 粘性擴(kuò)散 熱量擴(kuò)散 ， 速度邊界層厚度 溫度邊界層厚度 。 當(dāng) Pr1時 ， Pr=υ/a， υa， 粘性擴(kuò)散 熱量擴(kuò)散 ， 速度邊界層厚度 溫度邊界層厚度 。 也可從公式得出 ? ? ? ?31Pr1 ??xxt ??T∞ u∞ T∞ x 0 δ δt u∞ x 0 δ δ t (a)Pr1 (b)Pr1 a?華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 81 3 邊界層積分方程組及其求解 ① 邊界層積分方程組 1921年，馮 卡門提出了邊界層動量積分方程。 1936年，克魯齊林求解了邊界層能量積分方程。所得的結(jié)果稱為邊界層問題的近似解 。 邊界層積分方程一般可由兩種方法獲得：其一是將動量守恒定律和能量守恒定律應(yīng)用于控制體；其二是對邊界層微分方程直接進(jìn)行積分。 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 82 對一固定 x， 將能量方程從 y = 0到 y = ? 積分得： 采用對微分方程積分得到積分方程 能量方程為： 22ytaytvxtu????????? ??? ?? ????????0 0 220 dyy tadyytvdyxtu華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 83 ? ??? ?? ????????0 0 220 dyy tadyytvdyxtu0,0, 22???????????? ytytxtttyt 故時?由分部積分： ??? ?????????? ? ttttt dyyvttvdyyvtvtdyytv ????? 0000（ b） ? ?? ????????t tt dyy tadyytvdyxtu? ??0 0 220華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 84 將 v轉(zhuǎn)化為 u， 利用 0?????? yvxu?? ?????? tt dyxutdyyvt ?? 00?? ??????? ttt dyxudyyvv ??? 00? ?? ????????? ?t tt dyxutdyxutdyytv? ??0 00華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 85 式中的擴(kuò)散項(xiàng)為： 代入 (b)式得： 上式左邊可進(jìn)一步簡化為： 00022)( ??????????? yytaytadyy tatt? ?? ? ? ?? ????????????t t t yytadyxutdyxutdyxtu? ? ?0 0 00 )(? ? ? ????? ??? ???????????????????????????? tttt dyututdxddyututxdyxutdyxutxtu ????0000)(最后能量積分方程為： ? ?00 ?? ?????????????yytadyttudxd t?華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 86 ② 邊界層積分方程組求解示例 作為邊界層積分方程組求解的示例，仍以 穩(wěn)態(tài)常物性流體強(qiáng)制掠過平板層流時 的換熱作為討論對象 。 壁面具有定壁溫的邊界條件。 在常物性條件下。動量積分方程不受溫度場的影響，可先單獨(dú)求解，解出層流邊界層厚度及摩擦系數(shù)，然后求解能量積分方程，解出熱邊界層厚度及換熱系數(shù)。 ?求解流動邊界層厚度及摩擦系數(shù) 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 87 32 dycybyau ????( 1 ) )()( 00 wdyuudxduudyuudxd ??? ?? ???? ?? ???在本問題中， u∞為常數(shù)，動量積分方程式（ 1）左邊的第二項(xiàng)為 0。再引入 ，式（ 1）為 0)( ?? yw dydu??( 3 ) )(00 ?? ???ydyduu d yuudxd ?? ?為求解上式，還需補(bǔ)充邊界層速度分布函數(shù)u=f(y)。選用以下有 4個任意常數(shù)的多項(xiàng)式作為速度分布的表達(dá)式 : E q u a t i o n In t e g ra l M o m e n t u m U s i n g華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 88 式中， 4個待定常數(shù)由邊界條件及邊界層特性的推論確定，即 C o n d i ti o n s B o u n d a r y0 0a t 22???? y uyc o n d i ti o n p r e s s u r ec o n s ta n t 0a t a t 00a t ?????????yu yu uy uy??由此求得 4個待定常數(shù)為 ??? ub23 32???? ud于是速度分布表達(dá)式為 ( 4 ) )(2123 3?? yyu u ???0?a 0?c華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)室 HUST Lab of Thermal Science amp。 Engineering 2022/9/19 89 ( 3 ) )(00 ?? ???ydyduu d yuudxd ?? ?積分得 ????233 8 029 2 ?? ?udxdu分離變量，注意到 x=0時 δ=0，得 ???? x dxud00 13140 ???? ( 6) ?? u x??無量綱表達(dá)式為 ( 7 ) Rexx??其中 Rex= u∞x/υ,其特性尺度為離平板前緣的距離 x。 在 x處的壁面局部切應(yīng)力 xwuRe 2