工程數(shù)學(xué)場(chǎng)論ppt課件-資料下載頁(yè)
2025-08-23 00:07本頁(yè)面
【正文】 j kzAx y zx y z x z x y z? ? ??? ? ?0?A 為保守場(chǎng) . 故 2 2 2 20 0 00 0 3x y zu d x d y x y z d z x y z? ? ? ?? ? ?0 0 0( , , ) (0 , 0 , 0 ) ,x y z ?取 于是 l A d l???2 2 ( 2 , 3, 1 )( 1 , 4 , 1 ) 1 2 4 8BAx y z ? ? ?的任一路徑 . 22(6 6 )x y z x y z j??2 2 2 2( 3 3 )x z x z i??33( 2 2 )x z x z k??目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué) 矢量分析與場(chǎng)論 例 3. 解 : 是有勢(shì)場(chǎng)，并求其勢(shì)函數(shù) v. ? ? kyzxjyzxix y zA ???? 2222 2c o s2 ????證明矢量場(chǎng) 由 的雅可比矩陣 A得 2 2 2 2r o t ( 2 2 ) ( 4 4 ) ( 2 2 )A x z x z i x y z x y z j x z x z k? ? ? ? ? ?0?A 為有勢(shì)場(chǎng) , 故 2222222 2 42 sin 24 2 2y z x z x y zD A x z y x zx y z x z x y??????????那么存在函數(shù) u 使得 g r a d ,Au?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué) 矢量分析與場(chǎng)論 0 0 0( , , ) (0 , 0 , 0 ) ,x y z ?取 20 0 00 c o s 2x y zu d x y d y x y z d z? ? ?? ? ?22s i n y x y z??于是得勢(shì)函數(shù) 22s i nv u y x y z? ? ? ? ?勢(shì)函數(shù)的全體為 22s i nv y x y z C? ? ? ?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué) 矢量分析與場(chǎng)論 2 2 2 22 , c o s , 2x y zu x y z u x z y u x y z? ? ? ?那么有 第一個(gè)方程對(duì) x積分，得 22 ( , )u x y z y z???上式對(duì) y 求導(dǎo)，得 22 ( , )yyu x z y z? ???所以有 ( , ) c o s ,y y z y? ? ?于是 ( , ) s i n ( ) ,y z y z????也就有 22 s i n ( )u x y z y z?? ? ?22 c o sx z y??不定積分法求勢(shì)函數(shù) 存在函數(shù) u 使得 g r a d ,Au?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué) 矢量分析與場(chǎng)論 22 ( )zu x y z z? ???2 2 2 22 , c o s , 2x y zu x y z u x z y u x y z? ? ? ?22 x yz?即有 ( ) 0 ,z z? ? ?于是 1()zC? ?所以有 22 1s inu x y z y C? ? ?從而勢(shì)函數(shù) 22 s i nv x y z y C? ? ? ?上式對(duì) z 求導(dǎo)，得 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué) 矢量分析與場(chǎng)論 d iv 0 ,A ?若 21, SS12SSA d s A d s??? ? ??? ?? 定義： 設(shè)矢量場(chǎng) ， A 稱(chēng) 為 管形場(chǎng) (無(wú)源場(chǎng) ). A定理 2: 是矢量管上的任意兩個(gè)橫斷面， 法矢 12,nn都指向 所指方向一側(cè)， A定理 3: 在面單連域內(nèi)， A 為管形場(chǎng)充要條件是存在一個(gè) 矢量場(chǎng) ,使得 . B ro tAB? B? A?此時(shí)稱(chēng) 為 的 勢(shì)矢量 . 為面單連域， 任取一矢量管 . 其 則 2S1S1n2nAA設(shè)管形場(chǎng) 所在空間區(qū)域 A?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué) 矢量分析與場(chǎng)論 d iv 0 , r o t 0 ,AA??若 定義： 設(shè)矢量場(chǎng) ， A 則稱(chēng) 為 調(diào)和場(chǎng) . A(1) 調(diào)和函數(shù) 2222 2 2 0uuuux y z???? ? ? ? ?? ? ?定義： 如果函數(shù) u 滿(mǎn)足拉普拉斯方程 則稱(chēng)函數(shù) u 為 調(diào)和函數(shù) . 其中 2 2 22 2 2x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?叫做 拉普拉斯算子 . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué) 矢量分析與場(chǎng)論 (2) 平面調(diào)和場(chǎng) 設(shè)平面調(diào)和場(chǎng) ( , ) ( , ) .A P x y i Q x y j??1) r o t 0 , QPAkxy????? ? ?????????????即 勢(shì)函數(shù) 000( , ) ( , )xyv P x y d x Q x y d y? ? ???所以 ,vvPQ xy??? ? ? ?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué) 矢量分析與場(chǎng)論 2) ??????即 0000( , ) ( , )xyu Q x y d x P x y d y????所以 ,uuQPxy??? ? ???d iv 0 , A ?,Q i P j? ? ? ?令 則 ()r o t 0 , PQ kxy? ??? ? ?? ? ???????的勢(shì)函數(shù) ? 的 力函數(shù) A目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué) 矢量分析與場(chǎng)論 3) 比較 u 和 v 可得 ,uvxy????? uvyx??????2222 0,uuxy??????且 2222 0,vvxy??????即 u 和 v 均為調(diào)和函數(shù) . 稱(chēng) v 為 u 的 共軛調(diào)和函數(shù) . 4) 等值線(xiàn) 12( , ) , ( , )u x y C v x y C??分別稱(chēng)為 的 力線(xiàn) 與 等勢(shì)線(xiàn) , A 力線(xiàn)與等勢(shì)線(xiàn) 互相正交 . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué) 矢量分析與場(chǎng)論 例 4. 解 : 已知調(diào)和函數(shù) 323,u y x y?? 求其共軛調(diào)和函數(shù) v. 6,vu xyyx??? ? ??? x x y C? ? ?? ?26 3 .v x y d y x y x?? ? ? ? ??因?yàn)? 所以 上式對(duì) x 求導(dǎo)，得 23 ( )xv y x? ?? ? ? 2233yu y x? ? ? ? ?即有 2( ) 3 ,xx? ? ? 于是 所以有 3( ) ,x x C? ??
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