【正文】 —30）代入式（3—26），類似于前述的理由，式（3—29）和（3—30）中的最后一項(xiàng)線積分與φ無關(guān)，在求泛函的極值時(shí)可以不予考慮，這樣求泛函的極小值等價(jià)于求下列泛函F（φ）= —2 （3—31）的極小值，即與具有非齊次邊值條件的邊值問題式（3—23）等價(jià)的變分問題是F（φ）= —2 = min (= q) （3—32）不難證明，在變分問題中只有第一類邊界條件必須作為定解條件列出（如果存在），即極值解必須在滿足這類邊界條件的函數(shù)類中去找，因此這類邊界條件成為強(qiáng)加邊界條件，而第二，三類邊界條件被使函數(shù)F（φ）取極小值的函數(shù)自動(dòng)滿足，不須做定解條件列出，因此稱這類邊界條件為自然邊界條件。式（3—32）表明，與二階微分方程的邊值問題等價(jià)的變分問題中只含一階導(dǎo)數(shù)，低階導(dǎo)數(shù)的處理總比高階導(dǎo)數(shù)方便些，另外在變分問題中只有強(qiáng)加邊界條件需作為定界條件，而強(qiáng)加邊界條件總比自然邊界條件簡單些，因此利用變分原理來處理問題具有很多有力因素，有限單元法正是建立在變分原理的基礎(chǔ)上。 區(qū)域剖分和插值函數(shù)在找到了與邊值問題等價(jià)的變分問題后，有限單元法的另一個(gè)重要內(nèi)容是通過區(qū)域剖分和分區(qū)插值，把二次泛函的極值問題化為一組多元線性代數(shù)方程來求解。所謂區(qū)域剖分是把定界域從幾何上分成若干個(gè)足夠小的區(qū)域（單元），而分區(qū)插值是按單元建立插值逼近函數(shù)，進(jìn)而形成整個(gè)區(qū)域的插值逼近函數(shù)，所以有限單元法是應(yīng)用局部的近似解來建立整個(gè)定義域的解的一種方法。由于單元足夠小，所以在單元內(nèi)可以用不多的插值點(diǎn)求出次數(shù)較低的插值多項(xiàng)式作為逼近函數(shù)，這樣就避免了高次插值的缺點(diǎn)。另外在求解過程中，可以先不考慮單元在整個(gè)區(qū)域的位置，而采用單元的局部坐標(biāo)來建立單元的插值逼近函數(shù)，然后再施以坐標(biāo)變換求的整個(gè)區(qū)域的插值逼近函數(shù)，這一點(diǎn)使我們很容易建立起單元的插值函數(shù)。下面具體地介紹區(qū)域剖分和分區(qū)插值的方法。定義域D可以剖分成有限個(gè)離散多邊形（子域），每一個(gè)多邊形稱為一個(gè)單元，在單元內(nèi)選定的一些特殊的點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。通常結(jié)點(diǎn)使選在單元的定點(diǎn)和多邊形的邊的中心位置，對(duì)于三維問題除了單元體積的頂點(diǎn)和棱的中心位置選做結(jié)點(diǎn)外，還可以選面的中心位置，單元體積的中心位置作為結(jié)點(diǎn)。位于定義域邊界Γ上的結(jié)點(diǎn)稱為邊界結(jié)點(diǎn)，有兩個(gè)以上邊界結(jié)點(diǎn)的單元稱為邊界單元，只有一個(gè)或沒有邊界結(jié)點(diǎn)的單元稱為內(nèi)部單元，通常是用邊界結(jié)點(diǎn)之間的直線段來逼近定義域的曲線邊界。待解函數(shù)φ在結(jié)點(diǎn)P的值用，表示，設(shè)域D一共被剖分成L個(gè)單元，………..e….l的順序編號(hào)，而域D+Γ上的結(jié)點(diǎn)的總數(shù)是n，每一個(gè)單元內(nèi)的結(jié)點(diǎn)數(shù)是s。因此，結(jié)點(diǎn)可按整個(gè)定義域內(nèi)的順序編號(hào)，即1，2，……..，p,……,n,也可按單元內(nèi)的順序加以編號(hào)，即1，2，……，k,…..,，我們在解決問題的時(shí)候要特別注意區(qū)分單元p內(nèi)的一個(gè)結(jié)點(diǎn)在整個(gè)定義域內(nèi)中的編號(hào)及其在單元p內(nèi)的編號(hào)。為了便于區(qū)分，下邊把結(jié)點(diǎn)在整個(gè)定義域內(nèi)的編號(hào)寫為黑體，在單元e內(nèi)編號(hào)仍為白體。在一個(gè)單元e內(nèi)，φ的結(jié)點(diǎn)值按單元的結(jié)點(diǎn)編號(hào)列成一個(gè)列向量為[],而在整個(gè)定義域D+Γ中，n個(gè)結(jié)點(diǎn)值按整個(gè)域內(nèi)的編號(hào)列成一個(gè)列向量為[]，即 [] = [] = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 對(duì)于二維問題，定義域D通常是被剖分成三角形或者四邊形單元。下圖1示了一個(gè)平面域被分成三角形單元的情形，圖中帶圈的號(hào)碼是單元的號(hào)碼，其他則是結(jié)點(diǎn)在整個(gè)域內(nèi)的編號(hào)，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)又可按單元內(nèi)的順序加以編號(hào)，如按逆時(shí)針方向編成1，2，…….。而下圖2表明了一個(gè)典型的三角形單元，（1中的三角形單元④），該單元的三個(gè)結(jié)點(diǎn)在整個(gè)定義域中的編號(hào)8，9，10寫在單元的外邊，而在單元內(nèi)的編號(hào)1，2，3則寫單元內(nèi)部相應(yīng)的位置上。圖如下： 圖3—3：平面域剖分成三角形單元圖3—4：三角形單元需要指出的是，結(jié)點(diǎn)可以選擇在任意方便的位置，預(yù)計(jì)場變化迅速的地方結(jié)點(diǎn)可以選擇相距近一些，而場變化緩慢的地方結(jié)點(diǎn)可以選擇相距遠(yuǎn)一些（如圖3所示）。這種靈活性是有限單元法的重要優(yōu)勢。 圖3—5：有限單元和結(jié)點(diǎn) 單元內(nèi)局部坐標(biāo)系中φ的近似表達(dá)式—插值函數(shù)在有限元法中，待解函數(shù)φ在每一個(gè)單元內(nèi)可以用一個(gè)適當(dāng)?shù)牟逯岛瘮?shù)U(x,y)來近似，簡單的插值函數(shù)是線性插值函數(shù)，即每個(gè)單元內(nèi)，設(shè)φ能夠用函數(shù)，，….，…，和結(jié)點(diǎn)值，，…，…，的線性組合表示，亦即： U = （3—33）寫成矩陣的形式為 U = （3—34）其中 ? ? ? ? [] = ， [] = ? ? ? ? 其中 是 的轉(zhuǎn)置，（i = 1，2，….，s）稱為形函數(shù)，它是坐標(biāo)的函數(shù)。因?yàn)樵诰植孔鴺?biāo)為，的接點(diǎn)k處，插值函數(shù)U的值應(yīng)等于φ在該點(diǎn)的值，即： U（，）= （3—35）因此 具有下邊的特性： 1 （i= k） （，）= （3—36） 0 (i≠k) 其中，是結(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)。除線形函數(shù)可作為插值函數(shù)外，高次多項(xiàng)式也可以作為插值函數(shù)。計(jì)算時(shí)究竟將定義域剖分成什么形狀的單元（三角形，矩形…….）與問題的形式，希望的單元個(gè)數(shù)，要求的精度以及計(jì)算機(jī)能提供的時(shí)間有關(guān)，而在單元內(nèi)選擇怎樣的插值函數(shù)去逼近待解函數(shù)則與單元的形狀和單元內(nèi)的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，下面將只限于討論三角形單元和線形插值的情況，先來求這種情況下的形函數(shù)。取一典型的三角形單元e，其三結(jié)點(diǎn)（三個(gè)頂點(diǎn)）在單元內(nèi)的編號(hào)是1，2，3（按逆時(shí)針方向），它們的局部坐標(biāo)分別是（，），（，）和（，），利用局部坐標(biāo)，作單元e內(nèi)的線形插值函數(shù) U（x,y）= + + （3—37） U（x,y）在結(jié)點(diǎn)1，2，3的值分別等于待解函數(shù)φ在這些點(diǎn)的值，即 = + + = + + （3—38） = + + 解線形代數(shù)方程組（3—38），求出系數(shù)，為 = = （3—39） = = （3—40） = = （3—41）其中，當(dāng)結(jié)點(diǎn)編號(hào)按逆時(shí)針方向時(shí)△ 0，其值等于三角形單元的面積，而 ， ， ， （3—42） ， ， 將，的表示式（3—39）和（3—41）代入式（3—37）后，求得三角形單元e內(nèi)的線形插值函數(shù) （3—43）其中 是三角形單元內(nèi)線形插值函數(shù)中的形函數(shù)，它本身也是一線形函數(shù)，并具有特性 1 （i=j） = (i=1,2,3。j=1,2,3)0 (i≠j)即在第i個(gè)結(jié)點(diǎn)上的值是1，在其他兩個(gè)結(jié)點(diǎn)上的值不為零。不難證明，由于本身是x,y的線形函數(shù)，故在三角形單元第i 個(gè)結(jié)點(diǎn)的對(duì)邊上（x,y）= 0，例如（x,y）在三角形單元的結(jié)點(diǎn)2和3之間的邊上取零值。 單元分析為了簡單起見，我們以二維泊松方程的第一類邊值問題式（3—16）來說明其等價(jià)的變分問題的離散化過程。式（3—15）中的泛函可以寫成 （3—44）其中矩陣，[A]，[B]分別是 ， [A] = ，[B] = = 泛函可以表示成各單元上泛函之和，即 = （3—45）利用式（3—44），式（3—45）可以寫成 （3—46）其中單元e的面積。 在單元內(nèi)用插值函數(shù)近似代替，即 = （3—47）其中是一個(gè)微分算符，且=1，=，即 將式（3—47）代入式子（3—46），則單元上的泛函可以表示為 = = （3—48）其中在固體力學(xué)中稱為單元?jiǎng)偠染仃?，其中位于第行第列上的元素? （3—49）列矩陣中位于第行上的元素為 （3—50）積分表示式（3—49）和（3—50）當(dāng)被積函數(shù)簡單時(shí)可以用分析的方法求出，不能用分析的方法求出的時(shí)候可采用數(shù)值積分的方法。根據(jù)矩陣求極限的原則，相應(yīng)的單元矩陣方程式可根據(jù)求得，其表示式是 （3—51）至此，我們利用單元局部坐標(biāo)并按單元內(nèi)的結(jié)點(diǎn)編號(hào)順序建立了單元方程（3—51）。 總體合成是利用單元分析所建立的單元方程（3—51）通過累加整個(gè)定解域上的方程，累加是在現(xiàn)在的基礎(chǔ)上的累加，而不是取代，既不同單元對(duì)于同一位置的系數(shù)都可有貢獻(xiàn)。因此，由單元方程建立整個(gè)定解域上的方程的關(guān)鍵在于建立單元結(jié)點(diǎn)的局部編號(hào)和該結(jié)點(diǎn)在整個(gè)定解域內(nèi)的編號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。一般情況下，結(jié)點(diǎn)在單元內(nèi)的編號(hào)1，2，….，s與該結(jié)點(diǎn)在整個(gè)定解域內(nèi)的編號(hào)是不一樣的。首先將單元方程（3—51）中各結(jié)點(diǎn)的編號(hào)…，…，…用該結(jié)點(diǎn)在整個(gè)定解域上的編號(hào)…，…，…代替，即在方程（3—51）中用代替，同樣。為了清楚起見，我們?nèi)砸匀切螁卧猠內(nèi)有三個(gè)結(jié)點(diǎn)的情形為例加以說明。結(jié)點(diǎn)在單元內(nèi)的局部編號(hào)為1，2，3，設(shè)它們在整個(gè)定解域上的編號(hào)是7，9，5，因此單元內(nèi)的列向量可表示成兩種形式，即有 （3—52）式（3—52）中的兩個(gè)列距陣中，一個(gè)元素的下標(biāo)是采用結(jié)點(diǎn)在單元內(nèi)的編號(hào)，另一個(gè)元素的下標(biāo)是采用對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)在整個(gè)定解域上的編號(hào)，因而單元距陣方程具有形式 = = 0 （3—53）從方程（3—53）中可以看出，元素（=）在距陣中的位置是 （3—54）把單元矩陣方程中各矩陣