空間距離(一)(20xx年9月整理)-資料下載頁
2025-08-16 01:19本頁面
【正文】 ? 面 A B C D ， P C = 2 。 （ 1 ）求證： C 點到平面 P E F 的距離等于 A 點到面 P E F 的距離的 3 倍。 （ 2 ）求點 B 到平面 P E F 的距離。 B E P 例 3 ：正方形 A B C D 的邊長為 4 ， E 、 F 分別是 AB 、 AD 的中點， PC ? 面 A B C D ， P C = 2 。 （ 1 ）求證： C 點到平面 P E F 的距離等于 A 點到面 P E F 的距離的 3 倍。 （ 2 ）求點 B 到平面 P E F 的距離。 解法 1 ：連結(jié) PG ， PC ⊥平面 A B C D ， C E = C F ，而 CE 、 CF 是 斜 PE 、 PF 在平面 A B C D 上的射影。 ∴ P E = P F 。 在等腰三角形 P E F 中，∵ G 是 EF 的中點。 ∴ PG ⊥ EF ?！?EF ⊥平面 P C G 。 過 C 作 PG 的垂線 CH ，交 PG 于 H ，有 EF ⊥ CH 。 ∴ CH ⊥平面 P E F ， CH 的長即為點 C 到平面 P E F 的距離 又∵ A E = E B ∴ B 到平面 P E F 的距離等于 A 到平面 P E F 的距離。也等于 C 到平面 P E F 距離的31， 在 R t △ P C G 中， C G =43A C = 3 2 ， P C = 2 。 C H =11116222622????PCCGPCCG ∴ B 到平面 P E F 的距離為31C H =11112 A F D C G H C P 例 3 ：正方形 A B C D 的邊長為 4 ， E 、 F 分別是 AB 、 AD 的中點， PC ? 面 A B C D ， P C = 2 。 （ 1 ）求證： C 點到平面 P E F 的距離等于 A 點到面 P E F 的距離的 3 倍。 （ 2 ）求點 B 到平面 P E F 的距離。 解法 2 ：連結(jié) EP 、 FP 、 BD 、 AC 、 EF ， EF 與 BD 分別交 AC 于 H 、 O ，在正方形 A B C D 中，E 、 F 分別是 AB 、 AD 的中點， ∴ E F / / B D ， H 為 AO 的中點 ∵ EF ? 平面 P E F ， BD?平面 P E F 。 ∴ B D / / 平面 P E F ，則 B 到平面的距離就是 BD 上任一點到平面 P E F 的距離，于是只需求點 O到平面 P E F 的距離。 ∵ BD ⊥ AC ，∴ EF ⊥ H C ∵ PC ⊥平面 A B C D ∴ EF ⊥ P C 則 EF ⊥平面 P H C ∴平面 P E F ⊥平面 P H C 。 作 OK ⊥ PH 交 PH 于點 K ，由兩個平面垂直的性質(zhì)定理作 OK ⊥ PH 。 交 PH 于點 K ，由兩個平面垂直的性質(zhì)定理知 OK ⊥平面 P E F 那么線段 OK 的長就是點 B 到平面 P E F 的距離 ∵正方形的邊長為 4 P C = 2 ∴ AC=24， HO=2， P H =22 由于 R t △ HKO 和 R t △ H C P 有一個公共角，故△ HKD ∽△ H C P 。 ∴ OK=111122222???HPPCOH 即點 B 到平面 P E F 的距離是11112。 A B E F D G H O 方法總結(jié) ： （空間距離轉(zhuǎn)化為點面距離） 找出或作出垂線段、 證明其符合定義、 歸結(jié)為幾何計算或解三角形。 。先確定平面的法向量，再求點與平面上一點連結(jié)線段在平面的法向量上的射影長。 nP0P，已知在長方體 ABCD－ A’B’C’D’中，棱 AA’=5， AB=12，求直線 B’C’到平面 A’BCD’的距離。 EC39。B39。A39。DA BCD練 習(xí)
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