【正文】 1?2? 12???注：當排除剛體位移后，整體剛度矩陣是正定矩陣。 38 前文已經(jīng)提到在排除剛體位移后 ， 整體剛度矩陣是正定的 ， 方程才可求得唯一解 。 排除剛體位移可以通過引入邊界約束條件來實現(xiàn) ， 這里介紹兩種比較簡單的引入已知位移的方法 。 1．代入法 2．乘大數(shù)法 39 邊界條件 1．代入法 該方法保持方程組仍為 2n 2n系統(tǒng) ， 僅對整體剛度矩陣 和整體載荷列陣進行修正 。 下面以一個只有四個方程的簡單例子加以說明 ， 方程如下 11 12 13 14 1121 22 23 24 1231 32 33 34 2341 42 43 44 24K K K K uFK K K K vFK K K K uFK K K K vF?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 假定系統(tǒng)中節(jié)點位移 、 ，則當引入這些節(jié)點的已知位移之后，方程就變成 11uc? 22uc?40 11 12 13 14 1121 22 23 24 1231 32 33 34 2341 42 43 44 24K K K K uFK K K K vFK K K K uFK K K K vF?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???112 21 1 23 222 24 1224 41 1 43 242 44 21 0 0 0000 0 1 000cuF K c K cK K vcuF K c K cK K v??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ??若 ，則 12 0cc??122 24 1 2242 44 2 41 0 0 0 0000 0 1 0 000uK K v FuK K v F? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 然后 ， 用這組維數(shù)不變的方程來求解所有的節(jié)點位移 。 顯然 ， 其解答仍為原方程的解答 。 在手算時 ， 可直接將零位移約束所對應的整體剛度矩陣中的行和列直接劃去 ， 使得整體剛陣的維數(shù)變小 ， 更便于手算 。 41 2．乘大數(shù)法 將 中與指定的節(jié)點位移相對應的主對角元素乘上一個大數(shù) ， 同時將 中的對應元素換成指定的節(jié)點位移值 、 該大數(shù)與節(jié)點位移相對應的主對角元素三者的乘積 。 若把此方法用于上面的例子 ， 則方程就變成 KF15 15111 12 13 14 1 11121 22 23 24 215 15231 32 33 34 2 33241 42 43 44 410 1010 10uK K K K cKvK K K K FuK K K K cKvK K K K F?? ??? ????? ????? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ????該方程組的第一個方程為 15 1511 1 12 1 13 2 14 2 1 1110 10K u K v K u K v c K? ? ? ? ? ?解得 ，這種方法就是使 中相應行的修正項遠大于非修正項。 11uc?42 1．代入法 2．乘大數(shù)法 在以上的兩種方法中 ， 代入法接近人工解法 ， 雖然該方法比較直觀 ， 但該方法對剛度矩陣改變較多 ， 程序效率不高 。 乘大數(shù)法對剛度矩陣改變較少 ， 工作量較小 ，但相乘的 “ 大數(shù) ” 若取得過大 ， 求解時會發(fā)生 “ 溢出 ” 、若取得太小則會引起較大的 誤差 。 43 對于三節(jié)點三角形單元 ， 單元內(nèi)各點的應力值相等 ， 算出的應力 一般作為單元形心處的應力 。 由于單元應力為常數(shù) ，整個結構的應力場呈階梯狀 ， 在單元之間不連續(xù) 。 而工程上往往更加關心邊界和節(jié)點上的受力情況 ， 因此 ， 必須對所得到的應力再次進行處理 ， 得到更加合理的應力場 ， 并得到所需點上的應力值 。 這里介紹兩種簡單的方法 ， 一種方法稱為 節(jié)點平均法 ，即把環(huán)繞某一節(jié)點的各單元的應力加以平均作為該節(jié)點的應力值 。 例如圖中節(jié)點 3的應力為 ? ?( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )3 16? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 44 計算結果整理 1 2 3 4 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 為了使通過這樣平均得來的應力比較接近實際情況 ，要求環(huán)繞節(jié)點的各單元尺寸不應相差太大 。 這種做法 ， 對內(nèi)節(jié)點比較好 ， 對邊界點則可能很差 。 因此 ， 邊界節(jié)點處的應力不宜直接由單元應力平均來獲得 ， 而要根據(jù)內(nèi)節(jié)點的應力構造 插值函數(shù) 推算出來 。 例如圖中邊界點 1的應力 ， 可以先用節(jié)點平均法求得節(jié)點 4處的應力 ， 在構造相應的插值函數(shù)推算邊界點 1的應力 ， 如常用的拋物線插值公式如下 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?3 4 2 4 2 31 2 3 42 3 2 4 3 2 3 4 4 2 4 3x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?計算結果整理 45 另一種方法稱為 單元平均法 ， 即把兩相鄰單元的應力加以平均 ， 用以表示公共邊界中點的應力 。 為了由這樣平均所得到的應力具有較好的精度 ， 兩相鄰單元的面積不應相差太大 。 如圖中單元 ② 和 ③ 邊界的中點處的應力為 ? ?( 2 , 3 ) ( 1 ) ( 2 )12??? ? ? 1 2 3 4 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 在不同的有限元軟件中均具有各自的后處理方法 ， 但無論后期怎樣處理 ， 應力場來源于應力的計算 ， 應力的精度主要依賴于單元的尺寸 、 單元的類型 （ 位移模式 ） 。 46 計算結果整理