橢圓知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)和經(jīng)典例題-資料下載頁
2025-08-08 13:16本頁面
【正文】 范圍．解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與交于點(diǎn)．∵的斜率，∴設(shè)直線的方程為．由方程組消去得 ?、佟！啵谑?，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵點(diǎn)在直線上，∴．解得．?、趯⑹舰诖胧舰俚谩 、邸撸菣E圓上的兩點(diǎn)，∴．解得．(法2)同解法1得出，∴，即點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，為橢圓上的兩點(diǎn)，∴點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，∴．解得．(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵，在橢圓上，∴，．兩式相減得，即．∴．又∵直線，∴，∴，即?、?。又點(diǎn)在直線上，∴ ②。由①，②得點(diǎn)的坐標(biāo)為．以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點(diǎn)，關(guān)于直線恒對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程．(2)利用弦的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，滿足，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式．例17 在面積為1的中，，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓方程．解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)．則∴即∴得∴所求橢圓方程為例18 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程．分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題．通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計(jì)算即得．并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的．解：方法一：設(shè)所求直線方程為．代入橢圓方程，整理得?、? 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，則、是①的兩根，∴∵為中點(diǎn)，∴，．∴所求直線方程為．方法二：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)，．∵為中點(diǎn)，∴，．又∵，在橢圓上，∴，兩式相減得，即．∴．∴直線方程為．方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，另一個(gè)交點(diǎn)．∵、在橢圓上，∴ ?、?。 ②從而，在方程①－②的圖形上，而過、的直線只有一條，∴直線方程為．說明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn)考查的解析幾何問題，“設(shè)而不求”的方法是處理此類問題的有效方法．若已知焦點(diǎn)是、的橢圓截直線所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，則如何求橢圓方程？
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