【正文】 O – dx dy ds N XY?B xB yB y x 由第三章理論可知，在應(yīng)力函數(shù) ? 上加上線性函數(shù)，不影響應(yīng)力的值。 因而，可在應(yīng)力函數(shù) ? 上加上線性函數(shù)： cybxa ??適當(dāng)選取 a、 b、 c 的數(shù)值，總可使得： ,0?A? ,0??????? ??Ax? 0???????????Ay?于是式（ d）、（ e）可變?yōu)椋? ?????????? ?? BABdsXy?????????? ?? BABdsYx?? ? ? ??? ???? BA BBA BB dsXyydsYxx?（ 726） （ 727） （ 728） —— 確定邊界結(jié)點 ? 及其導(dǎo)數(shù)值 的基本公式。 A x y O – dx dy ds N XY?B xB yB y x 說明： （ 1）式（ 726） ~（ 728）適用于單連體的情況。對于多連體，則只能選取某一個連續(xù)邊界 S上一點 A 為基準(zhǔn)點，并?。? ,0?????????????????????AAA yx???而應(yīng)力函數(shù)在其它邊界上不再有任意性。如：在另一連續(xù)邊界 S1上任選取一點 A1 ，一般有： 0,0,0111?????????????????????AAA yx???而需有位移單值條件確定。 （ 2） ?????????? ?? BABdsXy?????????? ?? BABdsYx?（ 726） （ 727） 物理意義：邊界上 A、 B 兩點間 x 方向 面力之和 。 物理意義：邊界上 A、 B 兩點間 y 方向 面力之和 。 因而， 差分解應(yīng)用于多連體問題不方便 。 A x y O – dx dy ds N XY?B xB yB y x ? ? ? ??? ???? BA BBA BB dsXyydsYxx?（ 728） 物理意義：邊界上 A、 B 兩點間 面力對 B點的矩 。力矩的正負(fù)號由坐標(biāo)系確定，圖中以順時針為正。 3. 虛節(jié)點 ? 值的確定 y x 0 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 h 13 14 B A h h 可用應(yīng)力函數(shù) ? 在邊界上 的導(dǎo)數(shù) 和邊界 內(nèi)一行各結(jié)點的 ? 值 表示。如： ,2 913 hxA??? ??????????hy B 21014 ??? ????????????由此可求得： y x 0 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 h 13 14 B A h h 由此可求得： Axh ?????? ???? ??? 2913Byh ?????? ???? ??? 21014（ 729） 4. 不規(guī)則邊界內(nèi)節(jié)點、虛節(jié)點的 ? 值 h h h 1 0 9 5 6 B ? h 邊界外 基本思路： 將緊靠邊界的 節(jié)點 1不作為獨立的內(nèi)節(jié)點，即并不將其 ?1 值作為獨立的未知量 ，而把它用 ?0 來表示。 具體方法： 在 B 點附近，將應(yīng)力函數(shù) ? 沿 x 方向展為 Taylor級數(shù) ，并略去（ x–xB）的三次以上冪，有 222)(21)( BBBBB xxxxxx ??????????????????????? ????h h h 1 0 9 5 6 B ? h 邊界外 222)(21)( BBBBB xxxxxx ??????????????????????? ????有： hxx B )1(9 ????hxx B ???1hxx B )1(0 ????hxx B )1(9 ????hxx B ????1hxx B )1(0 ?????代入上式，有： BBB xhxh ???????????????????????22229 )1(21)1( ??????BBB xhxh ?????????????????????22221 21 ??????BBB xhxh ???????????????????????22220 )1(21)1( ??????（ f） （ g） （ h） 從中可求得： h h h 1 0 9 5 6 B ? h 邊界外 02229 )1()1(1)1(2)1(4 ?????????????????????????? BB xh02221 )1(1)1(21 ?????????????????????????BB xh（ i） （ j） 顯然，當(dāng) ?=0 時，有 ： B?? ?1Bxh ?????????? ??? 209其中，第二式與前面虛節(jié)點 ? 值的計算公式相同。 5. 差分法的求解步驟 （ 1） 在邊界上任意選定一個結(jié)點作用基點 A，?。? ,0?????????????????????AAA yx???然后，由公式： ?????????? ?? BABdsXy?????????? ?? BABdsYx?? ? ? ??? ???? BA BBA BB dsXyydsYxx?（ 726） （ 727） （ 728） 計算邊界上各結(jié)點處的應(yīng)力函數(shù) ? 值及其導(dǎo)數(shù)值； （ 2） 應(yīng)用公式（ 729），將邊界外一行各虛節(jié)點的 ? 值用邊界內(nèi)相應(yīng)節(jié)點的 ? 值表示； y x 0 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 h 13 14 B A h h （ 2） 應(yīng)用公式（ 729），將邊界外一行各虛節(jié)點的 ? 值用邊界內(nèi)相應(yīng)節(jié)點的 ?值表示； y x 0 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 h 13 14 B A h h Axh ?????????? ??? 2913Byh ???????????? ??? 21014（ 729） C 16 D 17 注意： 對虛節(jié)點 16： hx C 21615 ??? ??????????15 Cxh ?????? ???? ??? 21516對虛節(jié)點 17： hy D 21712 ??? ??????????Dyh ?????? ???? ??? 21217? ?0220 ???????????yx?? ? ?0422 2)(1 ??? ???h? ?0220 ???????????xy?? ? ?0312 2)(1 ??? ???h? ?020 ?????????????yxxy?? ? ?)()(4186752 ???? ???? h（ 724） （ 4） 由應(yīng)力分量的差分表達(dá)式（ 724），求出各節(jié)點的應(yīng)力等。 （ 3） 對邊界內(nèi)的每一個結(jié)點建立差分方程（ 725）： )(820 43210 ????? ????0)( 1211109 ????? ????（ 725） )(2 8765 ???? ????并聯(lián)立解出各結(jié)點的 ? 值； 應(yīng)力函數(shù)差分法小結(jié)： )(820 43210 ????? ???? )(2 8765 ???? ????0)( 1211109 ????? ????（ 725） （ 1） 應(yīng)力函數(shù)差分方程 —— 每一個 內(nèi)結(jié)點 均可建立一方程。 y x 0 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 h 13 14 B A h h ?????????? ?? BABdsXy?????????? ?? BABdsYx?? ? ? ??? ???? BA BBA BB dsXyydsYxx?（ 726） （ 727） （ 728） （ 2）確定邊界結(jié)點 ? 及其 導(dǎo)數(shù)值 的基本公式 （ 3）確定虛結(jié)點 ? 值 的基本公式 （ 3）確定虛結(jié)點 ? 值 的基本公式 Axh ?????????? ??? 2913Byh ???????????? ??? 21014（ 729） （ 4）結(jié)點 應(yīng)力分量的差分公式 ? ?0220 ???????????yx?? ? ?0422 2)(1 ??? ???h? ?0220 ???????????xy?? ? ?0312 2)(1 ??? ???h? ?020 ?????????????yxxy?? ? ?)()(4186752 ???? ???? h（ 724） y x 0 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 h 13 14 B A h h C 16 D 17 15 （ 5）結(jié)點應(yīng)力函數(shù) ? 及其 導(dǎo)數(shù)值 的物理意義 ?????????? ?? BABdsXy?????????? ?? BABdsYx?（ 726） （ 727） 物理意義：邊界上 A、 B 兩點間 x 方向 面力之和 。 物理意義：邊界上 A、 B 兩點間 y 方向 面力之和 。 ? ? ? ??? ???? BA BBA BB dsXyydsYxx? （ 728） 物理意義：邊界上 A、 B 兩點間 面力對 B點的矩 。 A x y O – dx dy ds N XY?B xB yB y x （ 6）不規(guī)則邊界內(nèi)節(jié)點、虛節(jié)點 ? 值 h h h 1 0 9 5 6 B ? h 邊界外 02229 )1()1(1)1(2)1(4 ?????????????????????????? BB xh02221 )1(1)1(21 ?????????????????????????BB xh10 ?? ?y x q 3qh 3qh 19 21 20 16 17 18 22 23 24 25 26 1 2 3 4 7 10 13 5 8 11 14 6 9 12 15 A D C B I H G F E J K L M 167。 75 應(yīng)力函數(shù)的差分解的實例 1. 問題 設(shè)一正方形的混凝土深梁（邊長 6h），上邊界受有 均布壓力 q ，并下角點處的 兩反力 維持平衡。試由應(yīng)力函數(shù)的差分解法，求各節(jié)點的 應(yīng)力分量 。 2. 求解 由于對稱性，如圖建立坐標(biāo)系，并取其一半分析。求解過程： （ 1） 適當(dāng)劃分差分網(wǎng)格、編節(jié)點號 ； （ 2） 選取基點 A，并計算邊界節(jié)點的 ? 及其導(dǎo)數(shù)值 ； 計算公式： ?????????? ?? BABdsXy?????????? ?? BABdsYx?? ? ? ??? ???? BA BBA BB dsXyydsYxx?y x q 3qh 3qh