84----直線與圓、圓與圓的位置關系-資料下載頁
2025-08-05 18:55本頁面
【正文】 十校聯考 )圓 O1： x2＋ y2－ 2x＝ 0和圓 O2： x2＋ y2－ 4y＝ 0的位置關系是 ( ) A．相離 B．相交 C．外切 D．內切 答案： B 解析： 圓 O 1 的圓心坐標為 (1,0) ，半徑為 r 1 ＝ 1 ，圓 O 2 的圓心坐標為(0,2) ，半徑 r 2 ＝ 2 ，故兩圓的圓心距 | O 1 O 2 |＝ 5 ，而 r 2 － r 1 ＝ 1 ， r 1 ＋ r 2 ＝ 3 ，則有 r 2 － r 1 | O 1 O 2 | r 1 ＋ r 2 ，故兩圓相交． 6． (2022皖南八校聯考 )已知點 P(1，－ 2)，以 Q為圓心 的圓 Q： (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 9，以 PQ為直徑作圓與圓Q交于 A、 B兩點，連接 PA， PB，則 ∠ APB的余弦值為 ________． 解析： 由題意可知 QA ⊥ PA ， QB ⊥ PB ，故 PA ， PB 是圓 Q 的兩 條切線，由以上知 ∠ APB ＝ 2 ∠ APQ ， 在直角三角形 APQ 中： PQ ＝ ? 4 － 1 ?2＋ 42＝ 5. AQ ＝ 3. ∴ AP ＝ 4. ∴ cos ∠ APB ＝ 2cos2∠ APQ － 1 ＝ 2 (45)2－ 1 ＝725. 答案：725 [沖關錦囊 ] 判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去 x y2項得到． 易錯矯正 忽視直線斜率不存在的情況而致誤 [考題范例 ] (2022東城模擬 )直線 l過點 (－ 4,0)且與圓 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 25交于 A， B兩點，如果 |AB|＝ 8，那么直線 l的方程為 ( ) A． 5x＋ 12y＋ 20＝ 0 B． 5x－ 12y＋ 20＝ 0或 x＋ 4＝ 0 C． 5x－ 12y＋ 20＝ 0 D． 5x＋ 12y＋ 20＝ 0或 x＋ 4＝ 0 [ 失誤展板 ] 錯解： 設直線方程為 y ＝ k ( x ＋ 4) ∵ 圓心 ( － 1 , 2 ) ， r ＝ 5 ，由被圓截得的弦長為 8 ∴ 圓心 ( － 1 , 2 ) 到 y ＝ k ( x ＋ 4) 的距離為 3. 即 |3 k － 2|1 ＋ k2＝ 3. ∴ k ＝－512. 即直線方程為 5 x ＋ 12 y ＋ 20 ＝ 0. 錯因： 上述解法不正確的主要原因在于誤認為斜率 k一定存在．對于過定點的動直線，設出直線方程時，可結合題意或作出符合題意的圖形分析斜率 k是否存在．否則易由于思維不全面而致錯． [ 正確解答 ] 過點 ( － 4,0) 的直線若垂直于 x 軸，經驗證符合條件，即方程為 x＋ 4 ＝ 0 滿足題意；若存在斜率，設其直線方程為 y ＝ k ( x ＋ 4) ，由被圓截得的弦長為 8 ，可得圓心 ( － 1,2) 到直線 y ＝ k ( x ＋ 4) 的距離為 3 ，即|3 k － 2|1 ＋ k2＝ 3 ，解得 k ＝－512，此時直線方程為 5 x ＋ 12 y ＋ 20 ＝ 0 ，綜上直線方程為 5 x ＋ 12 y ＋ 20 ＝ 0 或 x ＋ 4 ＝ 0. 答案： D 點擊此圖進入
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