【正文】 ，兩條對(duì)角線互相垂直，則第三對(duì)角線必然垂直. 簡(jiǎn)證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令得，已知?jiǎng)t.iii. 空間四邊形OABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.iv. 若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.簡(jiǎn)證：取AC中點(diǎn)，則平面90176。，則為正方形.3. 球：⑴球的截面是一個(gè)圓面.①球的表面積公式：.②球的體積公式：.⑵緯度、經(jīng)度：①緯度：地球上一點(diǎn)的緯度是指經(jīng)過(guò)點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).②經(jīng)度：地球上兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是點(diǎn)的經(jīng)度.附：①圓柱體積：（為半徑，為高）②圓錐體積：（為半徑，為高）③錐形體積：（為底面積，為高） 4. ①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，，得.注：球內(nèi)切于四面體：②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.六. 空間向量.1. （1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.注：①若與共線，與共線，則與共線.（） [當(dāng)時(shí)，不成立]②向量共面即它們所在直線共面.（） [可能異面]③若∥，則存在小任一實(shí)數(shù)，使.（）[與不成立]④若為非零向量，則.（√）[這里用到之積仍為向量]（2）共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量， ∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)（具有唯一性），使.（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在內(nèi)，則與的關(guān)系是平行，記作∥.（4）①共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使.②空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，則是PABC四點(diǎn)共面的充要條件.（簡(jiǎn)證：P、A、B、C四點(diǎn)共面）注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.2. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z≠1).注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其中Q是△BCD的重心，則向量用即證.3. （1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.①令=(a1,a2,a3),，則 ∥ (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)②空間兩點(diǎn)的距離公式：.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為.②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大?。ǚ较蛳嗤?，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角）.③證直線和平面平行定理：已知直線平面，且CDE三點(diǎn)不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.一、知識(shí)提綱（一）空間的直線與平面⒈平面的基本性質(zhì) ?、湃齻€(gè)公理及公理三的三個(gè)推論和它們的用途．　⑵斜二測(cè)畫法．⒉空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線、平行直線、異面直線．?、殴硭模ㄆ叫芯€的傳遞性）．等角定理．?、飘惷嬷本€的判定：判定定理、反證法．?、钱惷嬷本€所成的角：定義（求法）、范圍．⒊直線和平面平行 　直線和平面的位置關(guān)系、直線和平面平行的判定與性質(zhì)．⒋直線和平面垂直　⑴直線和平面垂直：定義、判定定理．　⑵三垂線定理及逆定理．兩個(gè)平面的位置關(guān)系、兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì)．互相垂直的平面及其判定定理、性質(zhì)定理．（二）直線與平面的平行和垂直的證明思路（見(jiàn)附圖）（三）夾角與距離?、牌矫娴男本€和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜線和平　　面所成的角、直線和平面所成的角．?、贫娼牵孩俣x、范圍、二面角的平面角、直二面角．　　　　　?、诨ハ啻怪钡钠矫婕捌渑卸ǘɡ?、性質(zhì)定理．?、劈c(diǎn)到平面的距離．?、浦本€到與它平行平面的距離．?、莾蓚€(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段．?、犬惷嬷本€的距離：異面直線的公垂線及其性質(zhì)、公垂線段．（四）簡(jiǎn)單多面體與球?、哦嗝骟w．?、评庵c它的性質(zhì)：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性質(zhì)．?、瞧叫辛骟w與長(zhǎng)方體：平行六面體、直平行六面體、長(zhǎng)方體、正四棱柱、　　正方體；平行六面體的性質(zhì)、長(zhǎng)方體的性質(zhì)．?、壤忮F與它的性質(zhì)：棱錐、正棱錐、棱錐的性質(zhì)、正棱錐的性質(zhì)．?、芍崩庵驼忮F的直觀圖的畫法．⑴球和它的性質(zhì)：球體、球面、球的大圓、小圓、球面距離．　⑵球的體積公式和表面積公式．二、常用結(jié)論、方法和公式、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點(diǎn)A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上；A2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE M，BF N,∠EAB=,∠ABF=，異面直線AE與BF所成的角為，則：如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，BC和AB的射影BA1成，設(shè)∠ABC=,則coscos=cos；：（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；（2）補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；斜線和平面所成的是一個(gè)直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過(guò)斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵；（1）定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；（2）三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；（4）射影法：利用面積射影公式S射＝S原cos,其中為平面角的大小，此法不必在圖形中畫出平面角；特別:對(duì)于一類沒(méi)有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。（1）兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進(jìn)行計(jì)算；（2）求點(diǎn)到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；（3）求點(diǎn)到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來(lái)作，因此，確定已知面的垂面是關(guān)鍵；二是不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解；，記為，則S側(cè)cos=S底；:長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2=1。 若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2。；：如果簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V,面數(shù)為F,+F－E=2；并且棱數(shù)E＝各頂點(diǎn)連著的棱數(shù)和的一半＝各面邊數(shù)和的一半；：柱體（棱柱、圓柱）的體積公式是V柱體=，h是柱體的高.S直棱柱側(cè)= c (c表示底面周長(zhǎng)，表示側(cè)棱長(zhǎng)) S棱柱全=S底+S側(cè) 14．棱錐的體積:V棱錐=，其中S是棱錐的底面積，h是棱錐的高。=，表面積公式；掌握球面上兩點(diǎn)A、B間的距離求法：（1）計(jì)算線段AB的長(zhǎng)，（2）計(jì)算球心角∠AOB的弧度數(shù)；(3)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧AB的長(zhǎng)；高中數(shù)學(xué)第十章排列組合二項(xiàng)定理考試內(nèi)容：分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理．排列．排列數(shù)公式．組合．組合數(shù)公式．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)．二項(xiàng)式定理．二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)．考試要求：（1）掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題．（2）理解排列的意義，掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題．（3）理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題．（4）掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．167。10. 排列組合二項(xiàng)定理 知識(shí)要點(diǎn)一、兩個(gè)原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可以有重復(fù)元素的排列.從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個(gè)，所以從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素可重復(fù)排列數(shù)mm… m = mn.. 例如：n件物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？ （解：種）二、排列.1. ⑴對(duì)排列定義的理解.定義：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.⑵相同排列.如果；兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.⑶排列數(shù).從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示.⑷排列數(shù)公式： 注意： 規(guī)定0! = 1 規(guī)定2. 含有可重元素的排列問(wèn)題.對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,…...an其中限重復(fù)數(shù)為nn2……nk，且n = n1+n2+……nk , 則S的排列個(gè)數(shù)等于. 例如：已知數(shù)字2，求其排列個(gè)數(shù)又例如：數(shù)字求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)數(shù). 三、組合.1. ⑴組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.⑵組合數(shù)公式：⑶兩個(gè)公式：① ②①?gòu)膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下nm個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出 nm個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此是一樣多的就是說(shuō)從n個(gè)不同元素中取出nm個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.（或者從n+1個(gè)編號(hào)不同的小球中，n個(gè)白球一個(gè)紅球，任取m個(gè)不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有）②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取m1個(gè)元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，所以共有C種，依分類原理有. ⑷排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無(wú)順序關(guān)系.⑸①幾個(gè)常用組合數(shù)公式②常用的證明組合等式方法例.i. 裂項(xiàng)求和法. 如：（利用）ii. 導(dǎo)數(shù)法. iii. 數(shù)學(xué)歸納法. iv. 倒序求和法.v. 遞推法（即用遞推）如：.vi. 構(gòu)造二項(xiàng)式. 如： 證明：這里構(gòu)造二項(xiàng)式其中的系數(shù)，左邊為，而右邊四、排列、組合綜合.1. I. 排列、組合問(wèn)題幾大解題方法及題型：①直接法. ②排除法.③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來(lái)考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”“元素相鄰問(wèn)題”，例如，一般地，n個(gè)不同元素排成一列，“整體排列”，而則是“局部排列”.又例如①有n個(gè)不同座位，A、B兩個(gè)不能相鄰，則有排列法種數(shù)為. ②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.注：①③區(qū)別在于①是確定的座位，有種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個(gè)，有不確定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問(wèn)題”.例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？（插空法），當(dāng)n – m+1≥m, 即m≤時(shí)有意義.⑤占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問(wèn)題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問(wèn)題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，“先特殊后一般”的解題原則.⑥調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，個(gè)元素的全排列有種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，共有種排列方法.例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素順序不變，共有多少種不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m?。唤夥ǘ海ū壤峙浞ǎ?⑦平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有.例如：從1，2，3，4中任取2個(gè)元素將其平均分成2組有幾種分法？有（平均分組就用不著管組與組之間的順序問(wèn)題了）又例如將200名運(yùn)動(dòng)員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？（）注意：分組與插空綜合. 例如：n個(gè)元素全排列，其中某m個(gè)元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有，當(dāng)n – m+1 ≥m, 即m≤時(shí)有意義.⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問(wèn)題.例如：的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊摸板，故（），方程的任何一組解，對(duì)應(yīng)著惟一的一種在12個(gè)球之間插入隔板的方式（如圖 所示）故方程的解和插板的方法一一對(duì)應(yīng). 即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù).注意：若為非負(fù)數(shù)解的x個(gè)數(shù)，即用中等于，有，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 .⑨定位問(wèn)題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有.例如：從n個(gè)不同元素中，每次取出m個(gè)元素的排列，其