橢圓考點(diǎn)解讀-資料下載頁
2025-08-04 16:59本頁面
【正文】 0安徽)如圖，已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e＝.(1)求橢圓E的方程；(2)求∠F1AF2的角平分線所在直線l的方程．解 (1)設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a＞b＞0)，由e＝，即＝，得a＝2c，得b2＝a2－c2＝3c2.∴橢圓方程可化為＋＝1.將A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c＝2，∴橢圓E的方程為＋＝1.(2)由(1)知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，∴直線AF1的方程為y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，直線AF2的方程為x＝2.由點(diǎn)A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數(shù)．設(shè)P(x，y)為l上任一點(diǎn)，則＝|x－2|.若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0(因其斜率為負(fù)，舍去)．于是，由3x－4y＋6＝－5x＋10，得2x－y－1＝0，∴直線l的方程為2x－y－1＝0. 規(guī)范解答16——怎樣求解與弦有關(guān)的橢圓方程問題【問題研究】 求橢圓的方程是高考的重中之重，幾乎每年必考，有的是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，多數(shù)以解答題的形式出現(xiàn)．雖然考向二中學(xué)習(xí)了求橢圓方程的方法，但在解答題中往往結(jié)合弦長等知識來求橢圓方程，難度中等偏上．【解決方案】 解決這類問題首先根據(jù)題設(shè)條件設(shè)出所求的橢圓方程，再由直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求出待定系數(shù)．【示例】?(本題滿分12分)(2011天津)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F(a，b)滿足|PF2|＝|F1F2|.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若直線PF2與圓(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|＝|AB|，求橢圓的方程． 第(1)問由|PF2|＝|F1F2|建立關(guān)于a、c的方程；第(2)問可以求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)或利用根與系數(shù)的關(guān)系求|AB|均可，再利用圓的知識求解．[解答示范] (1)設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c＞0)，因?yàn)閨PF2|＝|F1F2|，所以＝＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.(4分)(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，直線PF2的方程為y＝(x－c)．A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得5x2－8cx＝＝0，x2＝c.(6分)得方程組的解為不妨設(shè)A，B(0，－c)，所以|AB|＝＝c.(8分)于是|MN|＝|AB|＝2c.圓心(－1，)到直線PF2的距離d＝＝.(10分)因?yàn)閐2＋2＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－52＝0.得c＝－(舍)，或c＝2.所以橢圓方程為＋＝1.(12分) 用待定系數(shù)法求橢圓方程時，可盡量減少方程中的待定系數(shù)(本題只有一個c)，這樣可避免繁瑣的運(yùn)算而失分． 8
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