奧賽培訓(xùn)講義振動(dòng)和波-資料下載頁(yè)
2025-08-04 15:21本頁(yè)面
【正文】 （1）當(dāng)φ = 時(shí)，x = ?2(1 ? 2sin2ωt) ，即 x = 4y2 ? 2描圖時(shí)應(yīng)注意，振動(dòng)的物理意義體現(xiàn)在：函數(shù)的定義域 ?1 ≤ y ≤ 1 (這事實(shí)上已經(jīng)決定了值域 ?2 ≤ x ≤ 2 )（2）當(dāng)φ =π時(shí)，同理 x = 2(1 ? 2sin2ωt)= 2 ? 4y2 答：軌跡方程分別為x = 4y2 ? 2和x = 2 ? 4y2 ，曲線分別如圖21的（a）（b）所示——四、簡(jiǎn)諧波的基本計(jì)算物理情形：一平面簡(jiǎn)諧波向?x方向傳播，振幅A = 6cm ，圓頻率ω= 6πrad/s ，當(dāng)t = ，距原點(diǎn)O為12cm處的P點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為yP = 3cm ，且vP ＞ 0 ,而距原點(diǎn)22cm處的Q點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為yQ = 0 ，且vQ ＜ 0 。設(shè)波長(zhǎng)λ＞10cm ，求振動(dòng)方程，并畫(huà)出t = 0時(shí)的波形圖。解說(shuō)：這是一個(gè)對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行了解的基本訓(xùn)練題。簡(jiǎn)諧波方程的一般形式已經(jīng)總結(jié)得出，在知道A、ω的前提下，加上本題給出的兩個(gè)特解，應(yīng)該足以解出v和φ值。由一般的波動(dòng)方程y = Acos〔ω（t ）+ φ〕（★說(shuō)明：如果我們狹義地理解為波源就在坐標(biāo)原點(diǎn)的話，題目給出特解是不存在的——因?yàn)椴ㄏ?x方向傳播——所以，此處的波源不在原點(diǎn)。同學(xué)們自己理解：由于初相φ的任意性，上面的波動(dòng)方程對(duì)波源不在原點(diǎn)的情形也是適用的。）參照簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移方程和速度方程的關(guān)系，可以得出上面波動(dòng)方程所對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的速度（復(fù)變函數(shù)）v = ?ωAsin〔ω（t ）+ φ〕代t = ，有——yP = 6cos〔6π（2 ）+ φ〕= 3 ，vP = ?36πsin〔6π（2 ）+ φ〕＞ 0即 6π（2 ）+ φ = 2k1π ①代t = ，有——yQ = 6cos〔6π（2 ）+ φ〕= 0 ，vQ = ?36πsin〔6π（2 ）+ φ〕＜ 0即 6π（2 ）+ φ = 2k2π + ②又由于 = 22 ? 12 = 10 ＜λ ，故k1 = k2 。解①②兩式易得v = ?72cm/s ， φ= （或?）所以波動(dòng)方程為：y = 6cos〔6π（t + ）+ 〕，且波長(zhǎng)λ= v = 24cm 。當(dāng)t = 0時(shí)，y = 6cos（x + ），可以描出yx圖象為——答案：波動(dòng)方程為y = 6cos〔6π（t + ）+ 〕，t = 0時(shí)的波形圖如圖22所示。相關(guān)變換：同一媒質(zhì)中有甲、乙兩列平面簡(jiǎn)諧波，波源作同頻率、同方向、同振幅的振動(dòng)。兩波相向傳播，波長(zhǎng)為8m ，波傳播方向上A、B兩點(diǎn)相距20m ，甲波在A處為波峰時(shí)，乙波在B處位相為? ，求AB連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)的位置。解：因?yàn)椴恢兰?、乙兩波源的位置，設(shè)它們分別在S1和S2兩點(diǎn)，距A、B分別為a和b ，如圖23所示。它們?cè)贏、B之間P點(diǎn)（坐標(biāo)為x）形成的振動(dòng)分別為——y甲 = Acosω（t ）= Acos〔ωt ? （a + x）〕y乙 = Acosω（t ? ）= Acos〔ωt ? （20 + b ? x）〕這也就是兩波的波動(dòng)方程（注意：由于兩式中a、b、x均是純數(shù)，故乙波的速度矢量性也沒(méi)有表達(dá)）當(dāng)甲波在A處（x = 0）為波峰時(shí)，有 ωt = ①此時(shí)，乙波在B處（x = 20）的位相為? ，有 ωt ? = ? ②結(jié)合①②兩式，得到 b ? a = 2所以，甲波在任意坐標(biāo)x處的位相 θ甲 = ωt ? （a + x） 乙波則為θ乙 = ωt ? （22 + a ? x）兩列波因干涉而靜止點(diǎn)，必然滿足θ甲 ?θ乙 =（2k 1）π 所以有 x = 13 ? 4k ，其中 k = 0，177。1，177。2，…在0~20的范圍內(nèi)，x = 117m答：距A點(diǎn)1m、5m、9m、13m、17m的五個(gè)點(diǎn)因干涉始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。思考：此題如果不設(shè)波源的位置也是可以解的，請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試一下…（后記：此題直接應(yīng)用波的干涉的結(jié)論——位相差的規(guī)律，如若不然，直接求y甲和y乙的疊加，解方程將會(huì)困難得多。此外如果波源不是“同方向”振動(dòng)，位相差的規(guī)律會(huì)不同。）第三講 典型例題解析教材范本：龔霞玲主編《奧林匹克物理思維訓(xùn)練教材》，知識(shí)出版社，2002年8月第一版。例題選講針對(duì)“教材”第九、第十章的部分例題和習(xí)題。關(guān)于波的知識(shí)，現(xiàn)在的很多奧賽教材都基本只涉及高考范疇的內(nèi)容，《奧林匹克物理思維訓(xùn)練教材》的第十章也是如此。這是不是意味著奧賽的考綱有所更新——要求降低了？☆第五部分完☆12
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