千萬不要迷信規(guī)律——大反例合集-資料下載頁
2025-08-04 14:35本頁面
【正文】 60。這兩者的結(jié)果總是相等嗎？不是的。第一個反例是 n = 777 451 915 729 368，前者算出來的結(jié)果是 2 243 252 046 704 767 ，但后者是 2 243 252 046 704 766 。下一個反例則出現(xiàn)在 n = 140 894 092 055 857 794 的時候。更多信息可見 。至今仍未找到的反例有沒有什么猜想，明明已經(jīng)被推翻了，所有人都知道存在反例，但因?yàn)榉蠢龑?shí)在是太大了，直到現(xiàn)在仍然沒有找到呢？有。下面這張表展示了 n 取不同值時 pi(n) 和 li(n) 的值，其中 pi(n) 表示不超過 n 的素數(shù)的個數(shù)，li(n) 則是對數(shù)積分 ∫0n dx/ln(x) 。pi(n) 是否永遠(yuǎn)小于 li(n) 呢？1914 年，Littlewood 證明了存在一個大數(shù) n 使得 pi(n) ≥ li(n) ，不過卻并沒有給出一個具體的 n 值來。1955 年，Skewes 給出了這樣的 n 值的一個上界：在 10^(10^(10^963)) 以內(nèi)，必有一個滿足 pi(n) ≥ li(n) 的 n 。雖然數(shù)學(xué)家們正在不斷地改進(jìn)上界（目前的上界大約是 ），但仍然無法找出一個具體的 n 來。原因很簡單——這個反例實(shí)在是太大了。幾個主要來源：如果你對此感興趣，不要錯過數(shù)學(xué)史上的一篇經(jīng)典論文：The Strong Law of Small Numbers這篇日志今后將不斷更新20111013 Update:Borwein 積分2001 年， David Borwein 和 Jonathan M. Borwein 在一篇論文中指出：事實(shí)上，這個規(guī)律一直到都是成立的。但卻打破了規(guī)律。其原因是， 1/3 + 1/5 + ... + 1/15 超過了 1 。
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