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2025-08-03 05:07本頁面
【正文】 有限元法誕生前，求解彈性力學(xué)定解問題的基本方法有哪些？答：按應(yīng)力求解、按位移求解、混合求解。54什么叫應(yīng)變能？什么叫外力勢能？試敘述勢能變分原理和最小勢能原理，并回答下列問題：勢能變分原理代表什么控制方程和邊界條件，其中附加了哪些條件？答：（1）在外力作用下，物體內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，外力所做的功將以變形能的形式儲存起來，這種能量稱為變能。（2）外力勢能就是外力所做功的負值。（3）勢能變分原理：在所有滿足邊界條件的協(xié)調(diào)位移中，那些滿足靜力平衡條件的位移使物體勢能泛函數(shù)駐值，即勢能的變分為零（變分方程）。對于線性彈性體，勢能取最小值，即此時的勢能變分原理就是著名的最小勢能原理。55什么是強形式，什么是弱形式？答：所謂強形式，是指由于物理模型的復(fù)雜性，各種邊界條件的限制，使得對于所提出的微分方程，對所需要求得的解的要求太強。也就是需要滿足的條件太復(fù)雜。弱形式一般是指對強形式方程（即微分方程）的積分方程形式，這是因為滿足微分方程的解必定也滿足相應(yīng)的積分方程。等效積分形式通過分部積分，稱式為微分方程的弱形式，其中，C，D，E，F(xiàn)是微分算子。相對而言，定解問題的微分方程稱為強形式。區(qū)別：弱形式得不到解析解。56為了使計算結(jié)果收斂于精確解，位移函數(shù)需要滿足哪些條件？答：只要位移函數(shù)滿足兩個基本要求，即完備性和協(xié)調(diào)性，計算結(jié)果便收斂于精確解。57為什么采用變分法求解通常只能得到近似解？變分法的應(yīng)用常遇到什么困難？Ritz法收斂的條件是什么？答：①如果真實場函數(shù)包含在試探函數(shù)內(nèi)，則變分法得到的解答是精確的。然而，通常情況下試探函數(shù)不會將真實函數(shù)完全包涵在內(nèi)，實際計算時也不可能取無窮多項。因此，試探函數(shù)只能是真實場函數(shù)的近似。所以變分法求解只能通常只能得到近似解。②采用變分法近似求解，要求在整個求解區(qū)域內(nèi)預(yù)先給出滿足邊界條件的場函數(shù)。通常情況下，這是不可能的，因而變分法遭遇了困境。③Ritz法的收斂條件是要求試探函數(shù)具有完備性和連續(xù)性，也就是說，如果試探函數(shù)滿足完備性和連續(xù)性要求，當(dāng)試探函數(shù)的項數(shù)n∞時，則Ritz法的近似解將趨近于數(shù)學(xué)微分方程的精確解。58構(gòu)造單元形函數(shù)有哪些基本原則？答：1）單元位移函數(shù)通常采用多項式，其中的待定常數(shù)應(yīng)該與單元節(jié)點自由度數(shù)相等。為滿足完備性要求，位移函數(shù)中必須包涵常數(shù)項和一次式，即完全一次多項式。2）多項式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量選擇完全多項式以提高單元的精度。若由于項數(shù)限制而不能選取完全多項式時，也應(yīng)使完全多項式具有坐標(biāo)的對稱性，并且一個坐標(biāo)方向的次數(shù)不應(yīng)超過完全多項式的次數(shù)。有時為了使位移函數(shù)保持一定階次的完全多項式，可在單元內(nèi)部配置節(jié)點。但這種節(jié)點的存在將增加有限元格式和計算上的復(fù)雜性，除非不得已才加以采用。3）形函數(shù)應(yīng)保證用它定義的位移函數(shù)滿足收斂要求，即滿足完備性條件和協(xié)調(diào)性條件。59試通過矩形單元說明單元剛度矩陣的計算與坐標(biāo)原點無關(guān)。答：設(shè)坐標(biāo)系中任意一點（x0，y0）為單元局部坐標(biāo)系的原點，并將點（x0，y0）作為矩陣單元的形心。則坐標(biāo)變換關(guān)系式為：從而得出，于是，可知式中不含x0，y0，因此單元剛度矩陣的計算與坐標(biāo)原點無關(guān)。60何謂面積坐標(biāo)？其特點是什么？為什么稱其為自然坐標(biāo)或局部坐標(biāo)？答：①三角形單元中任意一點P（x,y）與其3個角點相連形成3個子三角形，其位置由下面的坐標(biāo)來確定，其中，A1，A2，A3分別為三角形P23,P13,P12的面積。L1,L2,L3稱為面積坐標(biāo)。②特點：⒈T3單元的形函數(shù)Ni就是面積坐標(biāo)Li。⒉面積坐標(biāo)與三角形在整體坐標(biāo)系中的位置無關(guān)。⒊三個節(jié)點的面積坐標(biāo)分別為1（1，0，0），2（0，1，0），3（0，0，1），形心的面積坐標(biāo)為（1/3，1/3，1/3）。⒋單元邊界方程為Li=0 (i=1,2,3)。⒌在平行于23邊的一條直線上，所有點都有相同的面積坐標(biāo)L1，而且L1就等于此直線至23邊的距離與節(jié)點1至23邊的距離之比值。⒍面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互為線性關(guān)系。③面積坐標(biāo)與三角形在整體坐標(biāo)系中的位置無關(guān)，因此稱為局部坐標(biāo)或自然坐標(biāo)。61與平面問題相比，軸對稱問題有何特點？答：軸對稱問題是空間問題的一種特殊情況，結(jié)構(gòu)的幾何形狀、約束條件及荷載分布都對稱于某個軸，其位移、應(yīng)變、應(yīng)力等也對稱于此軸，而與環(huán)向坐標(biāo)無關(guān)。62何謂等參單元？等參單元具有哪些優(yōu)越性？答：等參單元（簡稱等參元）就是坐標(biāo)變換和單元內(nèi)的等變量（通常是位移函數(shù)）采用相同的節(jié)點參數(shù)和相同的插值函數(shù)進行變換而設(shè)計出的一種單元。優(yōu)越性：可以很方便地用來離散具有復(fù)雜形體結(jié)構(gòu)。由于等參變換的采用使等參單元特性矩陣的計算仍在單元的規(guī)則域內(nèi)進行，因此不管各個積分形式的矩陣表示的被積函數(shù)如何復(fù)雜，仍然可以方便地采用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)值積分方法計算。也正因為如此，等參元已成為有限元法中應(yīng)用最為廣泛的單元形式。63何謂位移的零能模式？在什么條件下會發(fā)生零能模式？答：對應(yīng)于某種非剛體位移模式，減縮積分時高斯點上的應(yīng)變正好等于零，此時的應(yīng)變能當(dāng)然也為零，這種非剛體位移模式稱為零能模式。采用減縮積分時會發(fā)生零能模式。64對于桿系結(jié)構(gòu)單元，為什么要在局部坐標(biāo)系內(nèi)建立單元剛度矩陣？為什么還要坐標(biāo)變換？答：（1）在局部坐標(biāo)系內(nèi)可以更方便的建立單元剛度矩陣。（2）在整體分析中，對所有單元都應(yīng)采用同一個坐標(biāo)系即整體坐標(biāo)系XY，否則圍繞同一節(jié)點的不同單元對節(jié)點施加的節(jié)點力不能直接相加。因此，在進行整體分析之前，還需要進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換工作，把局部坐標(biāo)系中得出的單元剛度方程轉(zhuǎn)換成整體坐標(biāo)系中的單元剛度方程，從而得出整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣。9
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