【正文】 程，這個(gè)過(guò)程常常需要借助歸納概括或類比（或數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）來(lái)形成合情推理意義下的數(shù)學(xué)猜想，如此就將一個(gè)問(wèn)題情境轉(zhuǎn)化成了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這個(gè)過(guò)程的核心是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，或是猜想發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，或是猜想發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法，總之是問(wèn)題解決（發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題 ―― 解決問(wèn)題）兩大環(huán)節(jié)中的其中一環(huán)，它之珍貴在于發(fā)現(xiàn)，在于提出問(wèn)題，在于猜想到可能正確的結(jié)論或方法，至于解決問(wèn)題則是整個(gè)問(wèn)題解決的另一半． 命題設(shè)計(jì)意圖分析： 關(guān)于平行四邊形的面積： c b Ｂ Ｃ 問(wèn)題向試題的轉(zhuǎn)化 例如：如圖，在矩形中，橫向陰影部分是矩形，另一陰影部分是平行四邊形．依照?qǐng)D中標(biāo)注的數(shù)據(jù) ,計(jì)算圖中空白部分的面積，其面積是多少？ Ａ c a b c Ｂ Ｃ Ｄ Ａ c a b c Ｂ Ｃ Ｄ 探究性的發(fā)現(xiàn)： 由此產(chǎn)生了兩種解決問(wèn)題的方法，即直接 計(jì)算的方法和轉(zhuǎn)化的方法。但是我們更關(guān) 注考生在解決問(wèn)題過(guò)程中使用轉(zhuǎn)化的方法。 聯(lián)想與探索 如圖，在一塊矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是 1個(gè)單位），請(qǐng)你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說(shuō)明你的猜想是正確的． 草地 草地 小路 草地 草地 探究活動(dòng)三： 探究規(guī)律： 如圖 1，已知：直線 m∥ n， A、 B為直線 n上兩點(diǎn)， C、 P為直線 m上兩點(diǎn)． （ 1）請(qǐng)寫(xiě)出圖 1中，面積相等的各對(duì)三角形： P C B n m A O 圖 1 問(wèn)題向試題的轉(zhuǎn)變： （ 2）如果 A、 B、 C為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn) P在 m上移動(dòng)，那么，無(wú)論 P點(diǎn)移動(dòng)到任何位置，總有 與△ ABC的面積相等． 理由是： ． P C B n m A O 圖 1 解決問(wèn)題： 如圖 2，五邊形 ABCDE是張大爺十年前承包的塊土地的示意圖．經(jīng)過(guò)多年開(kāi)墾荒地，現(xiàn)已變成如圖 3所示的形狀，但承包土地與開(kāi)墾荒地的分界小路（即圖 3中折線 CDE）還保留著．張大爺想過(guò)E點(diǎn)修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時(shí)的一樣多，右邊的土地面積與開(kāi)墾的荒地面積一樣多．請(qǐng)你用有關(guān)的幾何知識(shí)，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計(jì)出修路方案． (不計(jì)分界小路與直路的占地面積 ) E C B A D 圖 2 N M 圖 3 E C B A D D N M E C B A H F 再看教學(xué)案例的研討 課題：三角形的中線（學(xué)案實(shí)錄） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：發(fā)現(xiàn)探索三角形中線的性質(zhì)，并會(huì)用其解決相關(guān)問(wèn)題。 一、憶一憶：如圖（ 1）， AD、 BE、 CF分別為 的三條中線，可得知： ABC?A B C D E F （注：按照該教師的教學(xué)安排，事先有較為充分的學(xué)生預(yù)習(xí)） A B C D E F 一個(gè)三角形有 條中線，并且都在三角形 部，相交于一點(diǎn)。 三角形的中線是一條 。 若 AD是 的邊 BC上的中線，則： BD＝ ＝ ；或 ＝ ＝ 。 ABC?如圖 2，已知 AD是三角形 ABC的邊 BC上的中線，猜想 與 有什么關(guān)系呢？ 過(guò)點(diǎn) A作 于點(diǎn) E， 所以 ＝ ， ＝ ， 又因?yàn)? ， 所以 。 由此得到三角形中線得性質(zhì)為： 。 二、探一探 與作 于點(diǎn) E， ＝ ，＝ 。ADCS?ABDS?AE BC?ADCS?ABDS?A B C D E 三、用一用 如圖 3，有一塊三角形的優(yōu)良品種實(shí)驗(yàn)土地 ABC，現(xiàn)引進(jìn)四個(gè)品種進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請(qǐng)你制定出兩種以上的劃分方案供選擇。 A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C 2. 如圖 4所示：在三角形 ABC中，已知點(diǎn) D、 E、 F分別為 BC、 AD、 CE的中點(diǎn)，且有： ，則： 。 24 c mABCS ? ? S陰 影 ＝A B C D E F 5，點(diǎn) E、 F分別是四邊形 ABCD 的邊 AD、 BC 的中點(diǎn)，若四邊形 ABCD 的面積為 20，則陰影四邊形 BFDE的面積是 ，為什么？ A B C D E F 在如圖 6至圖 8中 ， △ ABC的面積為 a ． （ 1） 如圖 6， 延長(zhǎng) △ ABC的邊 BC到點(diǎn) D， 延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn) E， 使 CD=BC， AE=CA， 連結(jié) DE． 若△ DEC的面積為 S， 則 S=__________（ 用含 a的代數(shù)式表示 ） ， 并寫(xiě)出理由； A B C D E 圖 6 （ 2） 在圖 6的基礎(chǔ)上延長(zhǎng) AB到點(diǎn) F， 使 BF=AB，連結(jié) FD， FE， 得到 △ DEF（ 如圖 7） ． 若陰影部分的面積為 S陰 ， 則 S陰 =__________（ 用含 a的代數(shù)式表示 ） ； 若設(shè) △ DEF的面積為 S1， 則 S1=_____ ___（ 用含 a的代數(shù)式表示 ） ； D E A B C F 圖 7 （ 3） 在圖 7的基礎(chǔ)上延長(zhǎng) FE 到點(diǎn) G， 使 FG=EF，延長(zhǎng) FD 到點(diǎn) H， 使 DH=FD， 延長(zhǎng) DE 到點(diǎn) M， 使EM=DE， 連結(jié) MG， GH， MH， 得到 △ MGH（ 如圖 8） ． 若設(shè) △ MGH的面積為 S2， 則 S2=__________（ 用含 a的代數(shù)式表示 ） ； 圖 8 D E A B C F H M G 例 △ ABC和△ ACD拼成菱形 ABCD．把一個(gè)含 60176。 角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的 60176。角的頂點(diǎn)與點(diǎn) A重合，兩邊分別與 AB， AC重合．將三角尺繞點(diǎn) A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)． （ 1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊 BC， CD相交于點(diǎn) E，F(xiàn)時(shí)（如圖 1），通過(guò)觀察或測(cè)量 BE， CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論； （ 2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊 BC， CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E， F時(shí)（如圖 2），你在（ 1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由． 圖 1 圖 2 A B C D E F A B C D E F 探究結(jié)論和研究方法 考查互相垂直的兩條線段 AC和 BD，探索依照 A－ B－ C－ D－ A的順序所構(gòu)成的四邊形的面積 圖 1 A B C D O 3 5 4 4 圖 2 6 2 圖 3 A B D O C A B C D O A B C D O 圖 4 A B C D （ (2)如圖 4， 對(duì)于線段 AC與線段 BD垂直相交 (垂足 O不與點(diǎn) A， C， B， D重合 )的任意情形 ， 請(qǐng)你就四邊形 ABCD面積的大小提出猜想 ， 并證明你的猜想； (3)當(dāng)線段 BD與 AC（ 或 CA） 的延長(zhǎng)線垂直相交時(shí) ， 猜想順次連接點(diǎn) A， B， C， D， A所圍成的封閉圖形的面積是多少 ？ 關(guān)于未來(lái)幾年各地針對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力的考查的展望 1. 利用歸納的方法發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)結(jié)論依舊是很普遍、很重要的一種考查方式． 2. 在問(wèn)題探究過(guò)程中展現(xiàn)從特殊到一般探究過(guò)程，即關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)又關(guān)注解決問(wèn)題方法的發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)在各命題單位取得了較好的共識(shí)． 3. 基于一定數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，利用類比展開(kāi)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是未來(lái)各地命題單位已經(jīng)開(kāi)始關(guān)注的命題視角． 4. 針對(duì)核心內(nèi)容、核心數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)現(xiàn)過(guò)程進(jìn)行試題設(shè)計(jì)，將會(huì)得到更好的關(guān)注，此類試題的命制更加趨于理性而不再簡(jiǎn)單追求形式． 5. 多種考查層次并舉，一張?jiān)嚲碇写祟愒囶}的自洽性得到關(guān)注． 聯(lián)系方式： 郵編： 050061 地址：石家莊市中華北大街 122號(hào) 河北省教育科學(xué)研究所 聯(lián)系電話： 031166005959（辦） 電子信箱：