【正文】 os 0a d q a d q a dq d q ?? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 222( ) 39。 ( 39。 ) 02 ( 39。 39。 ) 0a d q a d qa dq d q? ? ? ? ??? ?????可以推得：電荷 q在接地導體球面上產生的感應電荷 inaqqd??即：感應電荷總量定于鏡像電荷電量。 239。39。(39。 39。aqqqqdad ddd? ????????? ????? ????或 舍 去 ）結論：點電荷 q對接地導體球面的鏡像電荷為 239。39。aaq q ddd? ? ?電 量 ： 位 置 ：222 4 2 21[4 2 c o s] ( )/ 2 ( / ) c o sqr d r darad r a d r a d??e ?????????球外電位： q39。qO?r 39。r R39。dd( , )Pr ?az討論：若點電荷 q位于接地導體 球殼內 ： 類似地，可以求得鏡像電荷： 39。 aqq d??電 量 ：239。 ad d?位 置 ：222 4 2 21[4 2 c o s] ( )/ 2 ( / ) c o sqr d r darad r a d r a d??e ?????????球殼內電位： 球殼外電位： 0 ( )ra? ??點電荷對 不接地 球面導體邊界的鏡像 qO ?r Rd( , )Pr ?不接地：導體球面電位不為 0， 球面上存在正、負感應電荷（感應電荷總量為 0）。 處理方法：電位疊加原理 處理過程： 先假設導體球面接地，則球面上存在電量為 的感應電荷，鏡像電荷可采用前面的方法確定。 斷開接地。將電量為 的電荷加到導體球面上，這些電荷必然均勻分布在球面上，以使導體球為等勢體。 均勻分布在導體球面上的電荷 可以用位于球心的等量點電荷等效。 39。q39。q?39。q? q39。qO?r39。rRd39。d( , )Pr ?39。39。q結論：點電荷 q對 非接地導體球面 的鏡像電荷有 兩個 ： 鏡像電荷 1： 電量： 39。 aqqd??位置： 239。 add?鏡像電荷 2： 電量： 39。39。 39。 aq q qd? ? ?位置： 位于球心。 1 39。 39。39。[]439。q q qR r r??e? ? ?球外空間某點電位為： 三、線電荷對導體圓柱分解界的鏡像 l?O?r Rd( , )Pr ?a39。l?39。r39。d如圖：線電荷位于導體圓柱外，距離軸心 d。 設鏡像線電荷為 ，與軸心距離為 。 l?d由邊界條件： 222212 2 c os39。 1]02 39。 2 39。 c oslrala d ada d ad???e ???e ?????????2 2 2 2( ) 39。 39。( 39。 ) 039。0lllld a d d a d????? ? ? ? ??? ?????239。 39。39。39。/ll llddd a d?? ???? ??? ?? ???? ??或 （ 舍 去 ）239。39。/lld a d??????????（ 電 量 ）（ 位 置 ）結論：線電荷關于接地導體圓柱面的鏡像為 四、點電荷對電介質分解面的鏡像 xzhq ( , , )P x y zR1e2e問題： 點電荷位于兩種電介質分界面上方 h，求空間電位分布。 分析： 在介質分界面上將存在極化電荷，空間電位由 極化電荷 和 電荷 q共同產生。 解決問題方法：鏡像法，即用鏡像電荷等效極化電荷作用。 xzhq ( , , )P x y zR1e2e解決問題過程： 設媒質 1中電位函數為 ， 媒質 2中電位函數為 。 1?2?建立 求解方程。鏡像電荷 位于 z0區(qū)域中，整個空間充滿媒質 1。 1? xzhq ( , , )P x y zR1e 39。q1e39。R39。q則媒質 1內 P點電位為： 11139。( , , ) ( )439。qqx y zRR??e??2 2 2 2 2 21139。( ) ( 0 )4 ( ) ( )qq zx y z h x y z h?e? ? ?? ? ? ? ? ?建立 求解方程。鏡像電荷 位于 z0區(qū)域中，整個空間充滿媒質 2。 位置與 q重合。 2? xzhq ( , , )P x y zR2e39。39。q2e39。39。q39。39。q221 39。39。( , , ) ( )4qqx y zR??e??2 2 221 39。39。 ( 0 )4 ()qq zx y z h?e?? ? ?? ? ?在 z=0面上應用電位邊界條件 1200121200zzzzzz????ee???????? ???????1239。 39。39。39。 39。39。q q q qq q q qee?????? ?? ? ? ??1212121239。 ( 139。39。 39。 (qqq q qeeeeeeee????????? ? ? ? ?? ??計 算 媒 質 中 電 位 )計 算 媒 質 2 中 電 位 )上式即在點電荷在介質分界面上鏡像電荷電量。 說明：若為真空與介質分界面，則將對應介質介電常數代換為 即可。 0e五、例題 例題一 例題二 例題一 真空中一點電荷 Q位于導體球附近。導體球半徑為 a，點電荷距離球心距離為 d（ da）。求： （ 1）導體球接地時空間電位分布及電荷 Q受電場力； （ 2）導體球未接地時空間電位分布及電荷 Q受電場力； Q39。qO?r39。rRd39。d( , )Pr ?解 :(1)當導體球接地時，由鏡像法，原問題可等效為空間只存在 Q和鏡像電荷 q’，不存在邊界的問題。 易知： 39。 aqqd??239。 add?則球外空間任意點 處電位為： ( , , )P x y z2202 4 2 21[4 2 c o s] ( )/ 2 ( / ) c o sQr d r darad r a d r a d??e ?????????電荷 Q受靜電力為： 22 2 2 20039。4 ( 39。) 4 ( )rrq q a d qF e ed d d a? e ? e? ? ???導體球接地，因此球內空間電位為 0。 0 ( )ra? ??(2)當導體球不接地時，由鏡像法，原問題可等效為空間只存在 Q和鏡像電荷 q’和 q’’，不存在邊界的問題。 易知： Q39。qO?r39。rRd39。d( , )Pr ?39。39。q39。 aqQd??239。 add?39。39。 39。 aq q Qd? ? ?位置位于球心。 則球外空間任意點 處電位為： ( , , )P x y z1 39。 39。39。[]439。Q q qR r r??e? ? ? ?220039。 39。39。()4 ( 39。) 4 rQ q Q qFed d d? e ? e? ? ??例題二 兩無限長平行導體圓柱，半徑均為 a，軸線距離為 d，求：兩導體間的電容。 1d2dd解：設兩圓柱體分別帶電 和 。 l?l??分析：帶電導體圓柱可用位于鏡像位置的線電荷等效。 由分析可知，原問題可等效為位于鏡像位置的兩線電荷間電容的問題。求解關鍵在于求解等效電荷位置。 如圖：由鏡像電荷位置關系，有 21212addd d d????? ???22 1 / 2222 1 / 21()24()24dddaddda?? ? ??? ?? ? ? ??等效問題：兩無限長線電荷構成的系統(tǒng)。 易知，在導體球面上電位分別為 1 1 2002 2 100l n ( ) l n ( )22l n ( ) l n ( )22lllla d d a Cd a a d C???? e ? e???? e ? e? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1d2ddl?l??12102()ln()l adUda????e?? ? ? ??012()ln()lCadUda? ? e? ? ???第四章作業(yè) 分離變量法 平面導體的鏡像 球面鏡像習題 不接地空心導體球內外徑分別為 a和 b，在球內、外分別放置兩點電荷 q1和 q2，如圖所示。 求 :q1和 q2分別受到的電場力。 abx1q 2q1d1dO提示： q1只受導體內表面感應電荷力的作用； q2受導體內表面感應電荷、外表面感應電荷的作用；