20xx年數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)班講義-資料下載頁
2025-07-24 05:09本頁面
【正文】 無窮小代換） , 再用洛必達(dá)法則； （ 2） 一階可導(dǎo)，則不能對(duì) 使用洛必 達(dá)法則（因?yàn)? 不一定存在）； 若二階可導(dǎo)，則只能使用一次洛必達(dá)法則。 注意 : 不是未定式不能用洛必達(dá)法則 ! 若 ,)()()(lim 時(shí)不存在 ????xFxf .)()(lim)()(limxFxfxFxf???]。)11l n ([lim)1 2 xxxx????解 : ? ?tttt1)1l n (1lim20 ??? ? 20)1l n (l i mtttt????.c o ss e c )1l n ()1l n (lim)3220 xxxxxxx ???????。1l i m)2 211 0 00xxex??])11l n ([lim)1 2 xxxx????)1(2l i m0 tttt ????ttt 21l i m 1 10?? ?? 21??1()tx?令例 35. 求下列極限 令 21 ,tx?則 tt et????50lim原式 = 50lim ttte? ???0???tt et 4950lim????21100012) l im xxex??解 : tt e!50l im????(用洛必達(dá)法則 ) (繼續(xù)用洛必達(dá)法則 ) xxxxx c o ss e c])1l n [(l i m 2220 ????xxxxx c o ss e c)1(lnl i m 420 ????? xxxxx c o ss e cl i m420 ???0lim??x? ?1se c42sinlim 220 ????? xxxxxxxxxxxx c o ss e c)1l n ()1l n (lim)3 220 ???????解 : 原式 = 342 xx ?xx ta ns e c例 36. 求 lim .nn n??分析 : 為用洛必達(dá)法則 , 必須改求 1lim .xxx? ??解： 用洛必達(dá)法則 1lime x x????11l im l nl im e xxxxxx ? ? ?? ? ??0e1??思考 : 如何求 nnn12 a r c t a nlim ???? ( 為正整數(shù) ) ? 1. 設(shè) )(xf 在 2?x 處連續(xù) ,且 ,32)(lim2??? xxfx求 .)2(f ?解 : ?)2(f )(lim2 xfx? ])2()()2[(lim2 ????? xxfxx 0?2)2()(lim)2(2 ????? xfxffx2)(l i m2 ??? xxfx 3?練習(xí)題 2. 設(shè) 在 內(nèi)可導(dǎo) , 且 證明至少存在一點(diǎn) 使 上連續(xù) , 在 證 : 問題轉(zhuǎn)化為證 .0)(2)( ??? ??? ff設(shè)輔助函數(shù) )()( 2 xfxx ??顯然 在 [ 0 , 1 ] 上滿足羅爾定理?xiàng)l件 , 故至 使 0)()(2)( 2 ????? ?????? ff即有 少存在一點(diǎn) ,]1,0[)( 上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在設(shè)函數(shù) xf,0)(,2)1(,1)0( 21 ???? fff,??)(xf)( 21 之間與在其中 x?由題設(shè)對(duì) 證 : 3. 321 ))((!31 ????? xf ?)(21f 221 )( ?x )(!21 21f ???有 )(21f? 221 )( ?x )(!21 21f ??? 321 ))((!31 ????? xf ?且 得分別令 ,1,0?x一點(diǎn) 使 ( ) 2 4 .f ???? ?3211 )(!3)( ????? ?f3212 )(!3)(?f ????)(21f? 22121)(!2 )( ???? f22121)(!2 )(f ????1下式減上式 , 得 ? ?211 ( ) ( )48 ff????? ???? ? ?211 ( ) ( )48 ff????? ?????1 ()24 f ????? (0 1 )???( ) 2 4f ???? ?21( ) m a x ( ( ) , ( ) )f f f? ? ???? ??? ????4. 設(shè) 且在 上 存在 , 且單調(diào) 遞減 , 證明對(duì)一切 有 證 : 設(shè) ,)()()()( xfafxafx ????? 則 )()()( xfxafx ???????所以當(dāng) 令 ,bx ? 得 即所證不等式成立 . 5. 證明 .)0(1a rc t a n)1l n ( ???? xx xx證 : 設(shè) xxxx a r c ta n)1ln()1()( ????? , 則 0)0( ??211)1l n (1)(xxx ??????? )0(0 ?? x故 0?x 時(shí) , )(x? 單調(diào)增加 , 從而 0)0()( ?? ?? x即 )0(1a rc t a n)1l n ( ???? xx
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