20xx年“華約”高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測試-全真模擬-資料下載頁
2025-07-24 04:52本頁面
【正文】 =f(x)h(x)在［1,3］上恰有兩個不同的零點等價于方程x2lnx=a，在［1,3］上恰有兩個相異實根。令g(x)=x2lnx,則 當(dāng) 時， ,當(dāng) 時， g(x)在[1,2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，在 上是單調(diào)遞增函數(shù)。故 又g(1)=1,g(3)=32ln3∵g(1)g(3),∴只需g(2)A≤G(3),故a的取值范圍是(22ln2,32ln3)（3）存在m= ，使得函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性,函數(shù)f(x)的定義域為（0,+∞）。若 ，則 ，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，不合題意。若 ,由 可得2x2m0，解得x 或x （舍去）故 時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ,+∞)單調(diào)遞減區(qū)間為(0, )而h(x)在(0,+∞)上的單調(diào)遞減區(qū)間是(0, )，單調(diào)遞增區(qū)間是( ，+∞)故只需 = ，解之得m= 即當(dāng)m= 時，函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在其公共定義域上具有相同的單調(diào)性。 14 解（1） 為等腰三角形， 15 解：（Ⅰ）證：當(dāng)x=0或m=1時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x1，且x≠0時，m≥2,(1+x)m1+mx. ○1(i)當(dāng)m=2時，左邊＝1+2x+x2,右邊＝1+2x，因為x≠0,所以x20，即左邊右邊，不等式①成立；（ii）假設(shè)當(dāng)m=k(k≥2)時，不等式①成立，即（1+x）k1+kx,則當(dāng)m=k+1時，因為x1,所以1+x≠0,k≥2,所以kx20.于是在不等式（1+x）k1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）k?(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以（1+x）k+11+(k+1)x,即當(dāng)m＝k+1時，不等式①也成立.綜上所述，所證不等式成立.(Ⅱ)證：當(dāng) 而由（Ⅰ）， （Ⅲ）解：假設(shè)存在正整數(shù) 成立，即有（ ）+ ＝1. ?、谟钟桑á颍┛傻茫?）+ + 與②式矛盾，故當(dāng)n≥6時，不存在滿足該等式的正整數(shù)n.故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形；當(dāng)n=1時，3≠4，等式不成立；當(dāng)n=2時，32+42＝52，等式成立；當(dāng)n=3時，33+43+53＝63，等式成立；當(dāng)n=4時，34+44+54+64為偶數(shù)，而74為奇數(shù)，故34+44+54+64≠74,等式不成立；當(dāng)n=5時，同n=4的情形可分析出，等式不成立.綜上，所求的n只有n=2,3.7
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