復(fù)合關(guān)系和逆關(guān)系-資料下載頁(yè)
2025-07-18 19:12本頁(yè)面
【正文】 = RcSc 5） (A B)c = B A 6） Фc= Ф 7） R=S ? Rc=Sc 證明： (在此只證明 3)) 3） ?a,b∈ (R∩S)c，則 b,a∈ R∩S, b,a∈ R且 b,a∈ S, 則 a,b∈ Rc且 a,b∈ Sc 則 a,b∈ Rc∩Sc ∴ (R∩S)c?Rc∩Sc， 以上推導(dǎo)過(guò)程均為可逆。 ∴ Rc∩Sc?(R∩S)c ∴ (R∩S)c=Rc∩Sc。 19 定理： 設(shè) R是 A到 B的關(guān)系， S是 B到 C的關(guān)系， 則 (RoS)c=ScoRc。 證明： 1) ?z,x?(RoS)c ?x,z?(RoS) ??y?B,x,y?R,y,z?S ?z,y?Sc, y,x?Rc, ?z,x? ScoRc ?(RS)c? ScoRc 2) ?z,x?ScoRc ??y?B,z,y?Sc,y,x?Rc ?x,y?R,y,z?S ?x,z?RoS ?z,x?(RoS)c ? ScoRc ? (RoS)c 由 1)和 2)可得 (RoS)c = ScoRc 20 例： A={a,b,c},B={1,2,3,4,5},R是 A上關(guān)系， S是 A到 B的關(guān)系。 R={a,a， a,c， b,b， c,b， c,c} S={a,1， a,4， b,2， c,4， c,5}，驗(yàn)證定理 6。 則 RoS={a,1,a,4,a,5,b,2,c,2,c,4,c,5} Rc={a,a， b,b， b,c， c,a， c,c} Sc={1,a， 2,b， 4,a， 4,c， c,c} ScoRc={1,a,2,b,2,c,4,a,4,c,5,a,5,c} 驗(yàn)證了 ScoRc=（ RoS） c 注意： 復(fù)合關(guān)系的逆等于它們逆關(guān)系的反復(fù)合； 設(shè) R是 A到 B的關(guān)系， S是 B到 C的關(guān)系，則 (RoS)c? RcoSc 。因 Rc是 B到 A的關(guān)系， Sc是 C到 B的關(guān)系， ScoRc是可以復(fù)合的，而 RcoSc是不能復(fù)合的。 21 定理 7： R是集合 A上的關(guān)系，則： 1) R是對(duì)稱關(guān)系的充要條件是 R=Rc 2) R是反對(duì)稱關(guān)系的充要條件是 R∩Rc?IA （證明留作練習(xí)） 定理 8： R是集合 A上的關(guān)系，則： 1）若 R是自反的，則 Rc也是自反的； 2）若 R是對(duì)稱的，則 Rc也是對(duì)稱的； 3）若 R是傳遞的，則 Rc也是傳遞的。 證明： 1）對(duì) A中任意元素 a， ∵ R自反， ∴ a,a∈ R 由逆關(guān)系定義可知 a,a∈ Rc， ∴ Rc自反 2）、 3）證明略 22 思考： 若 R是反對(duì)稱的關(guān)系，則在 R?Rc的關(guān)系矩陣中最多有多少個(gè)非零值？ 作 業(yè) P118 7
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