【正文】 因?yàn)檫@是一個(gè)具有糾正3個(gè)錯(cuò)誤的碼字，首先令v=t=3，M=S1 S2 S3S2 S3 S4S3 S4 S5=α11 α7 α7α7 α7 α14α7 α14 α5 式（353）Det (M)=0，這表明發(fā)生的錯(cuò)誤小于3個(gè)。下面，令v=t=2，M=S1 S2S2 S3=α11 α7α7 α7 式（354）Det (M)≠0 ，這表明實(shí)際發(fā)生了兩個(gè)錯(cuò)誤。接著計(jì)算M1，M1=α11 α7α7 α7 式（355）Λ2Λ1 =S3S4 =α11 α7α7 α7α7α14 式（356）求解Λ1和Λ2可得Λ1=α8，Λ2=α11。從而Λx=α8x2+α11x+1=α5x+1(α3x+1) 式（357）因此恢復(fù)出來的錯(cuò)誤位置為α5和α3。因?yàn)樵摯a是二元碼，錯(cuò)誤程度為1，故ex=x5+x3，這樣，接收端通過錯(cuò)誤圖樣ex就可正確譯出接收碼字。 小結(jié)本章內(nèi)容較多，但核心思想不是很復(fù)雜。首先對(duì)線性分組碼的一般編譯碼過程做了理論上的推導(dǎo)，特別是生成矩陣和校驗(yàn)矩陣的引入，讓整個(gè)過程能夠用數(shù)學(xué)方式加以描述，這給編譯碼電路的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)帶來了方便。然后，又引入生成多項(xiàng)式等概念，對(duì)循環(huán)碼——這種線性分組碼中最重要的一類碼字做了詳細(xì)介紹；循環(huán)碼的優(yōu)勢在于它能夠用代數(shù)語言表示和運(yùn)算，這就在之前的基礎(chǔ)上又一次簡化了編譯碼電路，也為高性能碼字的設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。最后，以（7,4）漢明碼、（7,3）循環(huán)碼以及（15,5）BCH碼為例，詳細(xì)論述了這三種典型碼字的編譯碼過程。需要注意的一點(diǎn)是，碼字的傳輸性能與接收端采用的譯碼方式或者譯碼算法關(guān)系密切；比如，采用軟判決譯碼的性能要優(yōu)于硬判決譯碼，采用彼得森算法接收碼字的誤碼率要低于一般循環(huán)碼的譯碼方法。下一章將對(duì)線性分組碼的性能影響因素以及性能研究方法做出探討。4. 線性分組碼的傳輸性能研究 差錯(cuò)控制編碼的性能估計(jì) 編碼增益的提出數(shù)字通信中，最為關(guān)鍵的指標(biāo)是誤碼率。糾錯(cuò)編碼的目的是降低誤碼率，因此評(píng)價(jià)某個(gè)編碼方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，就是看在一定條件下編碼與不編碼相比誤碼率的性能改善了多少。根據(jù)傳輸質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的不同，誤碼率有三種表示：誤碼字率、誤符號(hào)率、誤比特率。在糾錯(cuò)編碼的性能分析中，誤碼字率和誤比特率是最常采用的性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。人們通過誤碼率Pe與信噪比Eb/N0的關(guān)系曲線來刻畫編碼的性能，這里Eb是傳送每比特信息所需的能量，N0是單邊噪聲功率譜密度，信噪比Eb/N0一般用分貝表示。誤碼率Pe與信噪比Eb/N0的關(guān)系曲線體現(xiàn)了各種編碼的“絕對(duì)性能”。但就編碼研究而言，人們最感興趣的不是性能本身，而是不同編碼方案下性能的改善量。特別是在某一誤碼率下，采用一個(gè)特定的編碼方案與沒有應(yīng)用編碼情況相比信噪比減少dB的數(shù)量。這個(gè)數(shù)量可用來評(píng)價(jià)編碼方案的性能好壞，稱為編碼增益[13]。描述編碼增益的常用方法是對(duì)應(yīng)用編碼和未應(yīng)用編碼的同一系統(tǒng)畫出誤碼率Pe與信噪比Eb/N0的關(guān)系曲線，當(dāng)誤碼率用誤比特率表示時(shí)，Pe用Pb代替。編碼增益是誤碼率的函數(shù)，隨著誤碼率增大，編碼增益越來越小。顯然，編碼增益隨著信噪比增大而增大，但當(dāng)Eb/N0→∞時(shí)，編碼增益收斂于某一固定值——漸進(jìn)編碼增益。 線性分組碼的性能限當(dāng)然，除了將編碼性能與未編碼情況相比外，人們還常常將編碼性能與Shannon容量極限進(jìn)行比較。因?yàn)椤癝hannon限”是任何編碼性能的理論極限值，而實(shí)際通信系統(tǒng)可允許的誤比特率在103~106之間，所以人們特別關(guān)心這個(gè)范圍內(nèi)的編碼效果。一般來講，相同碼率的線性分組碼中，與Shannon極限的接近程度由高到低依次為：低密度校驗(yàn)碼LDPC、Turbo級(jí)聯(lián)碼、BCH碼、Hamming碼，這也恰恰反映了這幾種線性分組碼的性能優(yōu)劣程度。進(jìn)一步討論性能極限的問題。線性分組碼的糾錯(cuò)能力離不開碼的三大參數(shù)：n、k、d之間關(guān)系的分析。這不僅能從理論上指出哪些碼字不可以構(gòu)造，而且也為工程應(yīng)用提供了對(duì)碼性能估計(jì)的理論依據(jù)。下面給出線性分組碼的幾個(gè)簡單的性能限[14]：（1） Plotkin限Plotkin限簡稱P限，他說明了信息分組，線性分組碼最小距離所能達(dá)到的最大值，故它是線性分組碼的一個(gè)性能上限。特別的，在二進(jìn)制情況下該極限可簡化為：kn≤12dn 式（41）（2） Hamming限Hamming限簡稱H限，它說明了線性分組碼的校驗(yàn)位數(shù)所能達(dá)到的最小值，故它是線性分組碼的一個(gè)性能上限。特別的，在二進(jìn)制情況下該極限可簡化為：kn≤1hd2n 式（42）（3） VG限它是線性分組碼的一個(gè)性能下限，如果滿足此條件就一定能夠構(gòu)造出碼距為d的線性分組碼：kn≤1hdn 式（43）式中，hx=xlog2x1xlog21x。（4） 漸進(jìn)性能Shannon信道編碼定理指出，僅當(dāng)分組碼的碼長n→∞時(shí)，譯碼錯(cuò)誤才會(huì)無限接近于0。因此，n→∞時(shí)，碼的漸進(jìn)性能具有重大理論意義。但同時(shí)也應(yīng)該看到，碼長的增加會(huì)導(dǎo)致編譯碼設(shè)備的復(fù)雜度增大，而且由于分組碼在譯碼時(shí)，要求接收端收到整個(gè)分組的信息之后在進(jìn)行譯碼，所以會(huì)帶來很大的時(shí)間延遲，不利于實(shí)時(shí)業(yè)務(wù)的應(yīng)用。鑒于上述原因，即使一個(gè)碼的性能很不理想，可能它對(duì)于給定的碼率和長度而言是最好的碼，漢明碼的廣泛使用就是一個(gè)例子。 線性分組碼性能的影響因素影響信道編碼性能的因素有很多，而且也會(huì)隨觀察的角度不同而有所差異。從調(diào)制信道看來，數(shù)字調(diào)制方式（如，BPSK、QPSK等）、解調(diào)方式（如，低通濾波、匹配濾波等）決定了傳輸誤比特率，有關(guān)這方面的研究可以參看《通信原理》（周炯槃等編著）。從廣義編碼信道看來，信道編碼的種類對(duì)傳輸性能起關(guān)鍵作用。本論文旨在研究線性分組碼中的幾類典型編碼方式對(duì)傳輸性能的影響，但不得不說，這也是一個(gè)很大的范圍，因?yàn)榧词故峭环N編碼，不同的編碼算法或者譯碼算法也會(huì)導(dǎo)致碼字性能的迥異。所以，鑒于自身理論知識(shí)的儲(chǔ)備有限，再加上時(shí)間倉促，這里只能通過軟件仿真對(duì)已經(jīng)廣泛應(yīng)用的Hamming碼、BCH碼等碼字的部分性能做簡單分析，再將它們的性能與理論極限（Shannon限）作對(duì)比，得出結(jié)論。而沒有從構(gòu)造性和存在性等角度出發(fā)，利用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)手段對(duì)其潛在性能做詳細(xì)深入的探索性研究。 小結(jié) 本章內(nèi)容較少，主要討論了三個(gè)問題：（1）編碼增益的概念（2）線性分組碼的性能限（3）線性分組碼性能的影響因素。其中，編碼增益是后文研究碼字性能的一個(gè)重要的指標(biāo)，它表示了一定誤碼率條件下，編碼可以給信道帶來的信噪比改善量；在下一章的仿真分析中，要用這一參數(shù)去衡量一個(gè)碼字性能的好壞。而性能限在這里則是以簡單了解為主，因?yàn)樗纳钊胙芯啃枰訌?qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，目前難以實(shí)現(xiàn)。本章最后，還對(duì)影響碼字性能的幾個(gè)因素做了介紹，指出本文著重研究的內(nèi)容，并且為了簡化仿真過程而忽略了一些次要因素，比如：調(diào)制方式對(duì)性能的影響等。5. MATLAB建模仿真與結(jié)果分析 通信系統(tǒng)仿真的意義在通信技術(shù)日益發(fā)展的今天，人們對(duì)通信系統(tǒng)的性能以及造價(jià)都提出了比較高的要求，于是，通信仿真便應(yīng)運(yùn)而生。仿真是衡量系統(tǒng)性能的工具，它通過仿真模型的仿真結(jié)果來推斷原系統(tǒng)的性能，從而為新系統(tǒng)的建立或原系統(tǒng)的改造提供可靠的參考。實(shí)際的通信系統(tǒng)是一個(gè)功能結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜的系統(tǒng)，因此，在對(duì)原有的通信系統(tǒng)做出改進(jìn)或建立一個(gè)新系統(tǒng)之前，通常需要對(duì)這個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行建模和仿真，通過仿真結(jié)果衡量方案的可行性，從中選擇最合理的系統(tǒng)配置和參數(shù)設(shè)置，然后再應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中。前面的內(nèi)容已經(jīng)對(duì)線性分組碼尤其是目前應(yīng)用較為廣泛的Hamming碼、循環(huán)碼以及在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的BCH碼做了理論上的分析；在詳細(xì)推導(dǎo)Hamming碼和循環(huán)碼的編譯過程之后又簡單介紹了性能優(yōu)越的BCH碼等碼字的編譯思想?？梢哉f，之前的分析為下面所要進(jìn)行的軟件仿真和傳輸性能分析做了必要準(zhǔn)備。下面，我們將按照通信系統(tǒng)建模的一般步驟，通過仿真建模、仿真實(shí)驗(yàn)和仿真分析三個(gè)階段模擬出前面幾種線性分組碼的編碼和譯碼過程，然后計(jì)算出誤碼率、編碼增益等傳輸性能指標(biāo)，并利用這些指標(biāo)分析線性分組碼在特定信道下的傳輸性能。 傳輸模型的建立仿真模型是對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的一種模擬和抽象，但又不是完全的復(fù)制。因此，仿真模型的建立需要綜合考慮其可行性和簡單性。接下來，給出本次研究的通信系統(tǒng)模型，之后的仿真以及性能分析將以此為基礎(chǔ)展開：信源信宿糾、檢錯(cuò)編碼器AWGN信道糾、檢錯(cuò)譯碼器QPSK調(diào)制QPSK解調(diào)圖 51通信系統(tǒng)模型簡化圖這是一個(gè)數(shù)學(xué)隨機(jī)模型，對(duì)復(fù)雜的通信系統(tǒng)做了數(shù)學(xué)抽象和適當(dāng)化簡。它忽略了信源編譯碼器、加密器、收發(fā)器等設(shè)備，將整個(gè)信道看作是只有二進(jìn)制比特?cái)?shù)據(jù)出入的廣義編碼信道，從而能夠模擬二進(jìn)制比特?cái)?shù)據(jù)從產(chǎn)生到傳輸再到接收的整個(gè)過程。由信源生成的二進(jìn)制隨機(jī)序列在編碼器中被加入一些校驗(yàn)元，經(jīng)過QPSK調(diào)制之后送入信道中傳輸；編碼信道中會(huì)有高斯白噪聲的疊加，使得接收端接收的信息和發(fā)送碼元之間存在差異并最終造成譯碼準(zhǔn)確率的下降；譯碼器就是要利用已編碼的線性約束關(guān)系盡可能正確的恢復(fù)出信源所發(fā)送的二進(jìn)制序列，讓信宿收到的數(shù)據(jù)真實(shí)可靠。當(dāng)然，區(qū)別于實(shí)際的通信系統(tǒng)，我們還必須做出如下假設(shè)：（1） 信道中的干擾為理想加性高斯白噪聲（功率譜密度為常數(shù)）（2） 信道本身是理想的，即：不會(huì)引入波形失真（3） 信道只存在獨(dú)立隨機(jī)差錯(cuò)，不存在碼間干擾、多徑衰落鑒于MATLAB在仿真建模領(lǐng)域的出色表現(xiàn)，本文選它作為仿真測試的主要工具。具體來講，在MATLAB中，信源的設(shè)計(jì)非常簡單，直接調(diào)用偽隨機(jī)序列生成函數(shù)就可以達(dá)到目的，產(chǎn)生任意數(shù)量的二進(jìn)制信息序列。編碼器則可調(diào)用軟件內(nèi)置的編碼函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，自動(dòng)生成編碼所需要的生成矩陣。然后，將信息序列與生成矩陣相乘就完成了編碼的過程。而根據(jù)課題要求，信道采用AWGN信道，我們有兩種方式模擬出該信道下的噪聲干擾。其中，較為簡單的是調(diào)用軟件內(nèi)置的函數(shù)，但這樣也有一些缺點(diǎn)，比如參數(shù)修改不夠靈活；還可以利用隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)，產(chǎn)生服從高斯分布的數(shù)字序列，這種方法克服了前面方法的不足，但程序的編寫也略顯繁瑣。譯碼器的實(shí)現(xiàn)與編碼器類似，完全可以通過調(diào)用軟件自帶的函數(shù)，相當(dāng)于編碼的逆過程。需要說明的是，盡管軟判決譯碼也許會(huì)有更優(yōu)的性能，但這里為了簡化譯碼過程，只對(duì)硬判決譯碼過程做出仿真和性能分析。其重點(diǎn)是比較編碼前和編碼后，相同信噪比條件下的誤碼率減小量或者相同誤碼率條件下的信噪比改善情況（編碼增益），再對(duì)采用不同編碼方式時(shí)的碼字傳輸性能做橫向比較，看這幾種編碼方式與Shannon指出的理論極限有多大差距，進(jìn)而得出最終結(jié)論。 傳輸性能的仿真分析 Hamming碼性能的仿真與分析下面，我們來看有無編碼對(duì)碼字傳輸過程中誤碼性能的影響。圖52繪制出了上述兩種情況下，(7,4)漢明編碼經(jīng)過QPSK調(diào)制后，通過AWGN信道傳輸?shù)恼`比特率與信噪比的關(guān)系曲線（源程序詳見附錄）： 圖52(7,4)漢明編碼誤比特率性能曲線仿真圖從圖52可以看出，在信噪比較低時(shí)(Eb/N06dB)，采用該漢明編碼的效果反而不如不編碼；在Eb/N06dB時(shí)，編碼增益逐漸增大，其性能和編碼前相比有一些改善（以下分析中，將已編碼和未編碼誤比特率曲線的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的信噪比值稱為信噪比門限）。這是因?yàn)榫幋a雖然可以帶來編碼增益，但在傳輸總能量不變的情況下，由于傳輸每個(gè)編碼碼字中的比特能量減少，信噪比降低，信噪比的下降會(huì)造成誤碼率升高，而此時(shí)的編碼增益很小，不足以抵消比特能量的減少量。另外，當(dāng)信噪比過低時(shí)，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)碼個(gè)數(shù)超出該碼字的糾錯(cuò)能力。因此，在低于信噪比門限時(shí)，不編碼的效果要優(yōu)于編碼的效果。還應(yīng)看到：當(dāng)誤碼率Pe=104左右時(shí)，這表明當(dāng)信道條件較好時(shí)，編碼對(duì)傳輸性能的改善更為明顯。圖53(7,4)漢明編碼誤比特率性能曲線理論圖上圖53給出了 (7,4)漢明碼理論上的性能曲線，用以證明上述仿真以及分析的正確性。（采用MATLAB中的bertool工具繪制）從總體趨勢來看，理論與仿真是一致的；而且理論信噪比門限Eb/N0=，誤碼率Pe=104左右時(shí)，這些指標(biāo)都與理論值接近，這就說明了本文對(duì)Hamming編碼的性能研究與仿真基本與事實(shí)相符合，是正確的。 循環(huán)碼性能的仿真與分析循環(huán)碼種類很多，包括BCH碼、RS碼、CRC碼等等，由于篇幅限制，不能一一做出分析和仿真。下面首先對(duì)較為簡單的(7,3)循環(huán)碼進(jìn)行仿真，然后著重分析目前廣泛應(yīng)用的BCH碼的傳輸性能，尤其值得注意的一點(diǎn)是：BCH碼是在GF(2)及其擴(kuò)域GF(2m1)上生成的，因此運(yùn)用MATLAB仿真時(shí)，一定要實(shí)現(xiàn)擴(kuò)域和二元域的相互轉(zhuǎn)化。 (7,3)循環(huán)碼性能的仿真與分析圖54繪制出了兩種情況下，(7,3)循環(huán)編碼的QPSK調(diào)制通過AWGN信道后的誤比特率與信噪比的關(guān)系曲線（源程序詳見附錄）：圖54(7,3)循環(huán)編碼誤比特率性能曲線仿真圖從圖54可以看出，在采用(7,3)循環(huán)碼編碼方式之后，其誤碼性能反而不如編碼前，也就是說這種編碼方式會(huì)導(dǎo)致傳輸性能惡化。這是因?yàn)樵趥鬏斂偰芰坎蛔兊那闆r下，由于傳輸每個(gè)編碼碼字中的比特能量減少，信噪比降低，信噪比的下降會(huì)造成誤碼率升高，而此時(shí)的編碼增益不足以抵消比特能量的減少量，從而造成了傳輸性能惡化。這就說明并不是每一種編碼都會(huì)對(duì)傳輸性能有改善作用 ，而且編碼后的性能好壞不僅與“最小碼距”相關(guān)，它與碼字集合的“碼距分布”有著更密切的關(guān)系。圖55(7,3)循環(huán)編碼誤比特率性能曲線理論圖上圖55給出了(7,3)循環(huán)碼理論上的性能曲線，用以證明上述仿真以及分析的正確性。（采用MATLAB中的bertool