【導(dǎo)讀】數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理中最重要的組成部分之一。在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。中，廣泛使用濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理。數(shù)字濾波器可以分為兩類，即有限沖激響。應(yīng)數(shù)字濾波器和無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器。濾波器的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)來進(jìn)行分析研究。在FIR濾波器的設(shè)計(jì)過程中主要探討了兩。的優(yōu)化設(shè)計(jì)并通過MATLAB的仿真實(shí)現(xiàn)。著重介紹了頻域直接設(shè)計(jì)法和優(yōu)化設(shè)

　　

【正文】 （ ） 其中滿足 |zk |＜ 1 即 cos k? ＜ 0 的極點(diǎn)在 z 平面上是穩(wěn)定的極點(diǎn)。因而可用以下方法求 |zk |＜ 1 的 k? =? 當(dāng) n 為 奇數(shù)時(shí)， ? 為： （ ） 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， ? 為： （ ） 如果用 k?K 表示滿足式（ ）（ ）的 k、值，則 （ ） 式中，可以用 H(1)=1 來確定 Gn 。 以上，我們介紹了巴特沃斯濾波器的情形，同樣，這種方法也適用于切比雪夫?yàn)V波器和橢圓濾波器。 IIR 濾波器的頻率變換法設(shè)計(jì) 與模擬濾波器同樣，數(shù)字濾波器也可以用頻率變換法導(dǎo)出各種不同類型的濾波器。下面介紹當(dāng)給出截止頻率為 ? 的低通濾波器時(shí)，如何用頻率變換法求得其他頻率選擇性的濾波器。進(jìn)行這種變換時(shí)必須注意的是，如何將單位圓內(nèi)的區(qū)域仍映射到單位圓內(nèi)，并且變換后的濾波器應(yīng)是因果和穩(wěn)定的。 將低通濾波器變換到高通濾波器、帶通濾波器的變換式為 （ ） 將 z= e Tjw 代入式（ ），可以知道，式（ ）意味著他是利用了全球特性的變換，可以進(jìn)行把單位圓映射為單位圓的變換。所以變換前低通濾波器的性質(zhì)，例如原來的等波紋性，變換后依然得到保持。 下面給出幾種代表性變換的例子： （ 1） 低通濾波器 → 低通濾波器 （ ） （ ） 式中， ? c 為變換前的截止角頻率， ? d 為變換后的截止角頻率。 （ 2） 低通濾波器 → 高通濾波器 （ ） （ ） 式中， ? c 為變換前的截止角頻率， ? d 為變換后的截止角頻率。 （ 3） 低通濾波器 → 帶通濾波器 （ ） （ ） （ ） 式中， ? c 為變換前的截止角頻率， ? u 為高端的截止角頻率， ? 1 為低端的截止角頻率。 （ 4） 低通濾波器 → 帶阻濾波器 （ ） （ ） （ ） 式中， ? c 為變換前的截止角頻率， ? u 為高端的截止角頻率， ? 1 為低 端的截止角頻率。 利用這種方法，可以保證濾波 器的等波紋性，從穩(wěn)定的濾波器得到新的穩(wěn)定 濾波器。所以，如果先設(shè)計(jì)出特定的低通濾波器，即可以以此為基礎(chǔ)導(dǎo)出各種新的濾波器。 從上面公式可以知道，當(dāng)從低通濾波器向低通濾波器或高通濾波器變換時(shí)，使用比較簡(jiǎn)單的變換式即可。但是向帶通濾波器和帶阻濾波器變換時(shí)，變換公式復(fù)雜，且變換次數(shù)也增加一倍。所以希望采用其他方法直接設(shè)計(jì)這類濾波器 IIR 數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì) 用間接法設(shè)計(jì)分段常數(shù)型的 FIR 數(shù)字濾波器時(shí)，效果不錯(cuò)，但是對(duì)于要求任意幅度特性的濾波器，則不適合采用該方法，而只能用直接法來進(jìn)行設(shè)計(jì)。 頻域直接設(shè)計(jì)法常用的思 路是利用幅度平方誤差最小來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。設(shè)IIR 數(shù)字濾波器由 k 個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)而成，系統(tǒng)函數(shù)用 H(z)表示， （ ） H(ejw )是希望設(shè)計(jì)的濾波器頻率響應(yīng)，如果在（ 0， π）區(qū)間取 M 點(diǎn)數(shù)字頻率 ? i（ i=1,2,…,M ），那么，在這些給定的離散頻率點(diǎn)除， |Hd ( ejw )|和 | H(ejw )|的幅度平方誤差 J 為： J= （ ） 設(shè)計(jì)的目的就是調(diào)整各 H(e ijw )，即調(diào)整 H(ejw )的系數(shù)，使得 J 為最小。由上式可以看出， J 是 4k+1 個(gè)未知參量的函數(shù)。 ，則 （ ） 為了求出使 J 最小的各位置參數(shù)，可以利用以下 4k+1 個(gè)方程求解： ，其中 n 從 1 到 4k。 由方程組中的第一個(gè)方程，可以解得， （ ） 則有， （ ） 將 具體寫成對(duì) an ， bn ， ， dn 的偏導(dǎo)函數(shù)，并簡(jiǎn)化，可得： （ ） （ ） （ ） （ ） 實(shí)際計(jì)算中，以上方程組采用迭代法求解，其中 FletcherPowell 的優(yōu)化算法是效率比較高的一種，它是以最陡下降法的線性搜索為主的一種混合型算法。 FletcherPowell 算法： J 是 |A|， a1 ， b1 ， c1 ， d1 ， …a k ， bk ， ck ， dk 的非線性多元函數(shù)。 J 為正定函數(shù)，一定存在一組 |A|， a 1 ， b1 ， c1 ， d1 ， …a k ， bk ， ck ， dk 使得 J 最小， |A|可以根據(jù) ，直接求出， a1 ， b1 ， c1 ， d1 ， …a k ， bk ， ck ，dk 則因?yàn)?J 的非線性，須用迭代法求出。 設(shè) X=（ a1 ， b1 ， c1 ， d1 ， …a k ， bk ， ck ， dk ） T 選取一初始向量 X0 =（ a10 ， b10 ， c10 ， d10 ， …a k ， b 0k ， c 0k ， d 0k ） X 1k? =Xk +tk Pk 若 |P（ X 1k? ） |＜ |P（ Xk ） |則可以求出使 |P|=min 的 X 其中 | Pk |為 |P|下降的方向向量 tk 為 |P|下降的步長(zhǎng)因子 （ 1） |P|下降方向向量 | Pk |的選取 設(shè) g 為 |P|的梯度，其方向?yàn)?J 的上升方向 則 g 為 |P|的最陡下降方向 因此： X 1k? =Xk tk gk （ 2） 最佳步長(zhǎng)因子 tk 的選取 |P（ X 1k? ） |=|P（ Xk tk gk ） | 選取 t 使 |P（ X 1k? ） |=min 即 t 確定一初值 t0 ，采用二分法 當(dāng) 時(shí) 令 tk =1r02t? （ 3） 最陡下降算法 a) X0 →X 1 b) 計(jì)算 P（ X1 ）、 g（ X1 ） c) 若 || g（ X1 ） ||＜ ? ，則輸出 X1 ,否則做 d。 d) 求最佳步長(zhǎng)因子 t，使 P? ?)(*t 11 XgX =min e) X1 t*g(X1 )→X 1 ，轉(zhuǎn) 2 （ 4） FP 算法 最陡下降法僅取一階項(xiàng)，當(dāng) X 接近極小值，跌送收斂就很慢，即將 P（ X）取到二階項(xiàng)，得到如下算法： 初值 X0 →X 1 ，計(jì)算 g（ X1 ） 單位矩陣 I→B ， 0? k 求最佳步長(zhǎng)因子 t，使 P? ?)(*t 11 XgX =min X1 t*g(X1 )→X 1 ，計(jì)算 |P（ X2 ） |， g（ X2 ） || g（ X2 ） ||＜ ? ，則輸出 X2 ，否則做 6 若 k=n，則 X2 ? X1 ,g(X2 )? g（ X1 ）轉(zhuǎn) 2 否則 7 計(jì)算 g（ X2 ） g（ X1 ） ? Y， X2 X1 =S 計(jì)算 X2 ? X1 ， k+1? k 轉(zhuǎn) 3 用 MATLAB 編程利用該算法求解，程序如下： function [A, para] =IIR_dirFreq (Hd,k) u=0. 001: N=5000: E=zeros (1, N+1): M=length (Hd)： =O： pi/(MI)： pi。 zl=exp (j* )； z2=z1*zl fai=zeros（ 1,4*k）； diff_fai=zeros(1,4k)。 E(2)=。n=3。 While (abs(E(n1)E(n2))＞ ) ＆ （ n＜ =N） P=abs（ IIR（ fai， M））； A0=abs((P*Hd?)/(P*P))。 E(n)=sum((A0*Pabs(Hd)) ? 2)。 For n1=1:k m1=4*(n11)。 c=2*A0*Pabs(Hd))。 diff_fai(m1+1)=c*(P*real(z1/(1+fai(m1+2)*z2+fai(m1+1)*z1)))?。 diff_fai(m1+2)=c*(P*real(z2/(1+fai(m1+2)*z2+fai(m1+1)*z1)))?。 diff_fai(m1+3)=c*(P*real(z1/(1+fai(m1+3)*z1+fai(m1+4)*z2))) diff_fai(m1+4)=c*(P*real(z2/(1+fai(m1+3)*z1+fai(m1+4)*z2))) end fai=faiu*diff_fai。 n=n+1。 end para=fai。A=A0 設(shè)函數(shù)輸入為希望設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)和實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器中所含二階網(wǎng)絡(luò)的個(gè)數(shù)，輸出為實(shí)際濾波器的 4k+l 個(gè)參數(shù)。參數(shù) u 是控制算法穩(wěn)定性和收斂性的一個(gè)參量，試驗(yàn)表明，取 較好。 低通數(shù)字濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)的幅頻特性圖 Chebyshev I 型數(shù)字濾波器的幅頻特性圖 由圖 和圖 結(jié)果可知分析如下： (1)采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，其通帶波紋較小； (2)采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，過渡帶較平滑； (3)采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，阻帶的旁瓣較小。 第 5 章 總結(jié) 人類正在進(jìn)行信息化時(shí)代，而 數(shù)字化又是信息技術(shù)發(fā)展的方向，因此包括數(shù)字濾波器在內(nèi)的數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)已成為電子信息學(xué)科中的工程技術(shù)人員必須研究的知識(shí)。 由于數(shù)字濾波器的概念比較抽象，加上其數(shù)字計(jì)算有比較繁瑣，所以借助好的計(jì)算機(jī)軟件來進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)，是數(shù)字濾波器研究領(lǐng)域的一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)。這樣的軟件有很多種，其中最具代表性的就是 MATLAB。 MATLAB 語言及其工具將一個(gè)優(yōu)秀軟件包的易用性與可靠性，通用性和專業(yè)性，以及一般目的的應(yīng)用和高深的專業(yè)應(yīng)用近乎完美的集成在一起，并憑借其功能強(qiáng)大，技術(shù)先進(jìn)和應(yīng)用之深廣，使其逐漸成為國(guó)際性的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，為世界 各地超過 20 萬名科學(xué)家和工程師所采用。利用 MATLAB 軟件來進(jìn)行應(yīng)用研究。 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有很多種，如 FIR 濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法、 FIR 濾波器的最大誤差最小化準(zhǔn)則、 IIR 濾波器的 sz 變換法、 IIR 濾波器的振幅平方函數(shù)近似法設(shè)計(jì)等等，將各種方法進(jìn)行比較，來找出數(shù)字濾波器的比較優(yōu)化的設(shè)計(jì)。并用 MATLAB 來加以驗(yàn)證。 致謝 隨本次畢業(yè)論文的定稿，為三年的大學(xué)生活畫上句號(hào)。回首三年前，初入校園之情景仍歷歷在目，到如今只恍如隔日，不免感慨光陰易逝、韶華難追。然而這三年，帶給我的美好記憶，以及在三年里給予我 無數(shù)幫助和關(guān)懷的師長(zhǎng)和同學(xué)，是我永遠(yuǎn)不會(huì)遺忘的。在此，我向你們致以最為真摯的謝意！ 經(jīng)過半年的忙碌和工作，本次畢業(yè)設(shè)計(jì)已經(jīng)接近尾聲，作為一個(gè)大學(xué)生的畢業(yè)設(shè)計(jì)，由于經(jīng)驗(yàn)的匱乏，難免有許多考慮不周全的地方，如果沒有的老師的督促和指導(dǎo)以及同學(xué)們的支持，想要完成這個(gè)設(shè)計(jì)是難以想象的。 在這里首先要感謝我的導(dǎo)師 —老師。老師平日里工作繁多，但在我做畢業(yè)設(shè)計(jì)的每個(gè)階段，從外出實(shí)習(xí)到查閱資料、設(shè)計(jì)草案的確定和修改，中期檢查，后期詳細(xì)設(shè)計(jì)等整個(gè)過程中都給予了我悉心的指導(dǎo)。在本文的撰寫過程中，老師作為我的指導(dǎo)老師， 她 治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)， 學(xué)識(shí)淵博，視野廣闊，為我營(yíng)造了一種良好的學(xué)術(shù)氛圍。置身其間，耳濡目染，潛移默化，使我不僅接受了全新的思想觀念，樹立了明確的學(xué)術(shù)目標(biāo)，領(lǐng)會(huì)了基本的思考方式，掌握了通用的研究方法，而且還明白了許多待人接物與為人處世的道理。其嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實(shí)無華、平易近人的人格魅力，與無微不至、感人至深的人文關(guān)懷