正十七邊形尺規(guī)作圖與詳解-資料下載頁
2025-06-28 04:29本頁面
【正文】 ，在圓上不斷截取，即可在此圓上截出正十七邊形的所有頂點(diǎn)。 歷史 最早的十七邊形畫法創(chuàng)造人為高斯。高斯(1777~1855年)，德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家。在童年時(shí)代就表現(xiàn)出非凡的數(shù)學(xué)天才。三歲學(xué)會(huì)算術(shù)，八歲因發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列求和公式而深得老師和同學(xué)的欽佩。1799年以代數(shù)基本定理的四個(gè)漂亮證明獲得博士學(xué)位。高斯的數(shù)學(xué)成就遍及各個(gè)領(lǐng)域，其中許多都有著劃時(shí)代的意義。同時(shí)，高斯在天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中也都有杰出的貢獻(xiàn)?！ ?801年，高斯證明：如果k是質(zhì)數(shù)的費(fèi)馬數(shù)，那么就可以用直尺和圓規(guī)將圓周k等分。高斯本人就是根據(jù)這個(gè)定理作出了正十七邊形，解決了兩千年來懸而未決的難題?！ 〉览怼 ‘?dāng)時(shí)，如果高斯的老師告訴了高斯這是道2000多年沒人解答出來的題目，高斯就不會(huì)畫出這個(gè)正十七邊形。這說明了你不怕困難，困難就會(huì)被攻克，當(dāng)你懼怕困難，你就不會(huì)勝利。 正十七邊形的證明方法 正十七邊形的尺規(guī)作圖存在之證明: 設(shè)正17邊形中心角為a,則17a=360度,即16a=360度a 故sin16a=sina,而 sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,兩邊除之有: 16cosacos2acos4acos8a=1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a)=1 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=1/2 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 經(jīng)計(jì)算知xy=1 又有 x=(1+根號(hào)17)/4,y=(1根號(hào)17)/4 其次再設(shè):x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=(1+根號(hào)17)/4 y1+y2=(1根號(hào)17)/4 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可求cosa之表達(dá)式,它是數(shù)的加減乘除平方根的組合, 故正17邊形可用尺規(guī)作
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