有限元的弱形式-資料下載頁
2025-06-25 07:41本頁面
【正文】 不能將所有的弱項(xiàng)全部在同一個(gè)弱域內(nèi)輸入。為了保證數(shù)值穩(wěn)定型，必須依靠混階有限元(mixed finite element)?；祀A有限元并不是COMSOL Multiphysics特別制定，而是數(shù)值算法所需要的。有限元方法本章說明弱形式如何利用有限元方法來進(jìn)行離散。假設(shè)我們需要離散以下擴(kuò)散問題：這是一個(gè)對流－擴(kuò)散問題的特殊情況，其中。有限元的基本實(shí)現(xiàn)是將整個(gè)計(jì)算域Ω離散為多個(gè)特別簡單的形狀的小單元，比如2D中的三角形，3D中的四面體等等。相應(yīng)的網(wǎng)格，例如三角形，由邊和節(jié)點(diǎn)組成。下一步就是要選擇一個(gè)比較容易實(shí)現(xiàn)的一些近似方法，其中一種比較簡單的方法就是將解表示為采用線性多項(xiàng)式插值的所謂基函數(shù)的和?；瘮?shù)的構(gòu)造方法是指定某個(gè)節(jié)點(diǎn)為1，而相鄰的節(jié)點(diǎn)為0，二者之間的值就是從0到1線性變化。這里說的相鄰指的是中間有一條邊將其連接起來。遍歷三角形網(wǎng)格的所有節(jié)點(diǎn)（從1到N）。定義節(jié)點(diǎn)i的基函數(shù)為，也就是在節(jié)點(diǎn)i處其值為1，其他點(diǎn)處值為0。注意只是在節(jié)點(diǎn)i及其相鄰的三角形內(nèi)不為零?，F(xiàn)在假設(shè)真實(shí)值u可以用基函數(shù)的求和來近似描述：參數(shù)是在節(jié)點(diǎn)i的值。同樣，我們可以對試函數(shù)進(jìn)行類似處理：下標(biāo)h表示離散函數(shù)屬于由所有三角形邊中最長邊表示的具有確定的網(wǎng)格尺寸h的網(wǎng)格。由于我們可以任意選擇試函數(shù)，因此可以將除了j點(diǎn)以外的所有的設(shè)置為零，接下來我們將所有的試函數(shù)（j＝1,...,N）輸入到弱形式中去，每個(gè)試函數(shù)都可以得到一個(gè)方程。這樣可以生成一個(gè)線性代數(shù)系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣就是我們所說的剛度矩陣。為什么我們可以自由選擇試函數(shù)，不妨回想一下前面提到的弱形式需要對所有可取的試函數(shù)成立。選擇試函數(shù)是有限元方法的重要環(huán)節(jié)，因?yàn)樗诤艽蟪潭壬嫌绊懼鴦偠染仃嚒Ｓ捎趧偠染仃囍泻芏囗?xiàng)為零，所以一般是稀疏矩陣。當(dāng)我們使用試函數(shù)的時(shí)候，生成的有限元?jiǎng)偠染仃噾?yīng)該是一個(gè)方陣。如果弱形式本身定義良好的話，剛度矩陣應(yīng)該是非奇異的，也就是說系統(tǒng)有一個(gè)唯一解。 現(xiàn)在考慮擴(kuò)散方程的弱形式：將表達(dá)式寫成離散形式：方程重新排列：采用矩陣標(biāo)注可得：或者：在這里剛度矩陣K是：解矢量U的單元為，載荷矢量L的單元為，現(xiàn)在我們明白為什么選擇基函數(shù)和試函數(shù)很關(guān)鍵了。如果我們關(guān)注剛度矩陣，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中很多元素為零，因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)提到每個(gè)都是大部分為零，同樣的梯度也是大部分為零的。有很多有效的算法去求解這類稀疏矩陣，COMSOL Multiphysics提供一套稀疏線性系統(tǒng)求解器。有限元方法同樣適用于非線性問題。非線性方法一般來說采用迭代的算法，每一次迭代就是求解一個(gè)與上面類似的線性弱形式方法。抽象和幾何解釋為什么有限元可以解決問題，它是如何解決問題的？前面的討論中可以找到一些答案。為了有一個(gè)更清晰的答案，我們需要了解一些更多的泛函的概念。我們將發(fā)現(xiàn)有限元方法通過一種優(yōu)化方法將解投影到一個(gè)有限維函數(shù)空間來求解。標(biāo)量積為了得到有限元方法的幾何解釋，或腦海中的意象，我們需要熟悉標(biāo)量積的概念。在線性代數(shù)中，我們知道兩個(gè)矢量f和g的標(biāo)量積為這里的矢量f和g屬于3維矢量空間。標(biāo)量積可以推廣到任意維N，標(biāo)量積有時(shí)也稱做內(nèi)積。如果兩個(gè)矢量正交，一個(gè)矢量f可以通過標(biāo)量積投影到另一個(gè)矢量g其中fp是與g平等的投影矢量：矢量差與g正交：投影矢量的唯一性特征是原始和投影矢量之間的差與它所投影的矢量正交。如果需要找到在方向g上與f最近的矢量，fp就是我們的答案。矢量e可以看作是關(guān)于f到fp之間的近似誤差。換句話說，誤差矢量e與矢量g正交。后面在對有限元進(jìn)行幾何解釋時(shí)將用到這個(gè)結(jié)論。但首先我們得介紹一些泛函分析的概念。與矢量不同，泛函分析講的是函數(shù)，它們必須屬于無限維的矢量空間。我們可以積分形式定義一個(gè)無限維矢量空間（函數(shù)空間）中的標(biāo)量積：如果兩個(gè)函數(shù)正交，則有進(jìn)一步將標(biāo)量積的概念推廣，并且考慮包含函數(shù)梯度的被積函數(shù)，下標(biāo)1和2用來說明上面是兩種不同的標(biāo)量積。Hilbert空間如果對于一個(gè)標(biāo)量積，我們只考慮那些與自身進(jìn)行的標(biāo)量積（積分）有一個(gè)有限值的函數(shù)u，我們說這些函數(shù)屬于一個(gè)確定的函數(shù)類，或函數(shù)空間。由標(biāo)量積和定義域Ω組成的函數(shù)空間就被稱為Hilbert空間。對應(yīng)于上面的標(biāo)量積1的Hilbert空間通常標(biāo)記為L2，與標(biāo)量積2對應(yīng)的Hilbert空間常稱為H1。通?？臻gL2中的函數(shù)比H1中的多，因?yàn)镠1中的函數(shù)自動(dòng)地存在于L2中，反之則不一定。我們也可以將這種現(xiàn)象稱為H1是L2的一個(gè)子空間，或有限元方法的抽象形式現(xiàn)在讓我們考慮PDE問題[3]：在域Ω中，邊界條件為。這是對流－擴(kuò)散方程的一種特例，其中。通過分部積分，表明當(dāng)試函數(shù)選擇成在邊界上具有相同的邊界條件時(shí)，弱形式中的邊界項(xiàng)為0。得到弱形式為：其中包含前面提到的兩種標(biāo)量積，可改寫為：找到，使得對于所有屬于相配的Hilbert空間中的，有：這里的相配的空間是H1，且在邊界上。解函數(shù)u也必須屬于這個(gè)空間。注意，對于前面提到的弱形式，我們可以很自由地添加不同的標(biāo)量積，因?yàn)槊總€(gè)積的結(jié)果是實(shí)數(shù)或虛數(shù)。現(xiàn)在我們選擇前面討論的基函數(shù)的和（線性組合）來近似u和，近似解被稱作和。這些函數(shù)屬于Hilbert空間，可稱為，由線性基函數(shù)擴(kuò)展而來。的空間維數(shù)為N（基函數(shù)的數(shù)目）。此外，是H1的子空間，換句話說，如果函數(shù)屬于，則它自動(dòng)地屬于H1?？臻gH1是一個(gè)大得多的空間，因?yàn)樗菬o限維的。有限的基函數(shù)不可能擴(kuò)散成屬于H1的所有函數(shù)。弱形式的有限元現(xiàn)在變成了：對于中的所有，在中找到，使得現(xiàn)在我們對有限元方法在函數(shù)空間的作為一個(gè)確定的投影的幾何解釋有了更深入的了解。最后，在原始的弱形式中：用代替。這是合理的，因?yàn)樵贖1中，而在中，由于是H1的子空間，因此也是在H1中，現(xiàn)在從弱形式中減去有限元解，得到：或即離散誤差：與所有的中的正交。也就是說，有限元解是真實(shí)解在屬于H1的有限維子空間的投影。最終，我們得到了關(guān)于有限元方法的幾何解釋，對于給定的網(wǎng)格，有限元解是在函數(shù)空間中關(guān)于標(biāo)量積最接近真實(shí)解的解。
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