【正文】 180176。﹣70176。﹣70176。=40176。．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．　27．（2017春?藁城區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90176。，DE∥AB交BC于E、交AC于F，∠CDE=∠ACB=30176。，BC=DE．求證：△FCD是等腰三角形．【分析】由平行可求得∠EFC，由三角形的外角可求得∠FCD，則可證明FD=FC，可證得結(jié)論．【解答】證明：∵∠B=90176。，∠ACB=30176。，∴∠BAC=60176?！逜B∥DE，∴∠EFC=∠BAC=60176。，∵∠CDE=30176。，∴∠FCD=∠EFC﹣∠CDE=60176。﹣30176。=30176。，∴∠FCD=∠FDC，∴FD=FC，即△FCD為等腰三角形．【點評】本題主要考查等腰三角形的判定，利用條件求得∠FCD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵，注意三角形外角性質(zhì)的應用．　28．（2017春?崇仁縣校級月考）如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，且PD∥AB，PE∥AC，BC=5，求△PDE的周長．【分析】由BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且PD∥AB，PE∥AC，易證得△PBD與△PCE是等腰三角形，繼而可求得△PDE的周長．【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，又∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE∴BD=PD，CE=PE，∴△PDE的周長=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5．【點評】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．　29．（2016?菏澤）如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．（1）如圖1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50176。①求證：AD=BE；②求∠AEB的度數(shù)．（2）如圖2，若∠ACB=∠DCE=120176。，CM為△DCE中DE邊上的高，BN為△ABE中AE邊上的高，試證明：AE=2CM+BN．【分析】（1）①通過角的計算找出∠ACD=∠BCE，再結(jié)合△ACB和△DCE均為等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可證出△ACD≌△BCE，由此即可得出結(jié)論AD=BE；②結(jié)合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通過角的計算即可算出∠AEB的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合頂角的度數(shù)，即可得出底角的度數(shù)，利用（1）的結(jié)論，通過解直角三角形即可求出線段AD、DE的長度，二者相加即可證出結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50176。，∴∠ACB=∠DCE=180176。﹣250176。=80176。．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵點A，D，E在同一直線上，且∠CDE=50176。，∴∠ADC=180176。﹣∠CDE=130176。，∴∠BEC=130176。．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50176。，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130176。﹣50176。=80176。．（2）證明：∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120176。，∴∠CDM=∠CEM=（180176。﹣120176。）=30176。．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90176。，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90176。，∠CDM=30176。，∴DE=2DM=2=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180176。﹣30176。=150176。，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150176。﹣30176。=120176。，∴∠BEN=180176。﹣120176。=60176。．在Rt△BNE中，∠BNE=90176。，∠BEN=60176。，∴BE==BN．∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=BN+2CM．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形以及角的計算，解題的關(guān)鍵是：（1）通過角的計算結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證出△ACD≌△BCE；（2）找出線段AD、DE的長．本題屬于中檔題，難度不大，但稍顯繁瑣，解決該題型題目時，利用角的計算找出相等的角，再利用等腰三角形的性質(zhì)找出相等的邊或角，最后根據(jù)全等三角形的判定定理證出三角形全是關(guān)鍵．　30．（2016?寧夏）在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC、AC上，若CD=2，過點D作DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F，求EF的長．【分析】先證明△DEC是等邊三角形，再在RT△DEC中求出EF即可解決問題．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60176。，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60176。，∴△EDC是等邊三角形，∴DE=DC=2，在RT△DEF中，∵∠DEF=90176。，DE=2，∴DF=2DE=4，∴EF===2．【點評】不同考查等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用特殊三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．　31．（2016?黃岡模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC點的中線，E是AC的中點，連接AC，DF⊥AB于F．求證：∠BDF=∠ADE．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90176。，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到∠CAD=∠ADE．根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAD=∠BDF，等量代換即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵AB=AC，AD是△ABC點的中線，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90176。，∵E是AC的中點，∴DE=AE=EC，∴∠CAD=∠ADE．在Rt△ABD中，∠ADB=90176。，∴∠B+∠BAD=90176。．∵DF⊥AB，∴∠B+∠BDF=90176。，∴∠BAD=∠BDF，∴∠BDF=∠CAD，∴∠BDF=∠ADE．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．　32．（2016?天河區(qū)一模）在△ABC 中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E．求證：∠CBE=∠CAD．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠BEC=90176。，再根據(jù)∠C為公共角即可得∠CBE=∠CAD．【解答】證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90176。，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90176?！唷螩BE=∠CAD．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合是解題的關(guān)鍵．　33．（2016?門頭溝區(qū)一模）如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長BC到E，使得CE=CD．求證：BD=DE．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60176。，∠DBC=30176。，再根據(jù)角之間的關(guān)系求得∠DBC=∠CED，根據(jù)等角對等邊即可得到DB=DE．【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，∴∠ABC=∠ACB=60176。．∠DBC=30176。（等腰三角形三線合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30176。．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角對等邊）．【點評】此題主要考查學生對等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的理解及運用；利用三角形外角的性質(zhì)得到∠CDE=30176。是正確解答本題的關(guān)鍵．　34．（2016?吉林校級二模）如圖，等邊三角形ABC的邊長是2，D、E分別為AB、AC的中點，點F在BC延長線上，且CF=，求四邊形DEFB的面積．【分析】由三角形的中位線定理得到DE=CF，DE∥CF，證得四邊形DEFC是平行四邊形，即可證得S△ECF=S△DEC=S△ADE，即可證得S四邊形DEFB=S△ABC，求得△ABC的面積即可．【解答】解：∵點D、E分別是AB、AC的中點，∴DE=BC，DE∥BF，∵CF=，∴DE=CF，DE∥CF，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴S△ECF=S△DEC=S△ADE，∵△ABC是等邊三角形，D是AB的中點，∴CD⊥AB，AD=BD=1，BC=2，∴DC==∴S四邊形DEFB=S△ABC=2=．【點評】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應用，證得S△ECF=S△DEC=S△ADE是本題的關(guān)鍵．　35．（2016?豐臺區(qū)二模）如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC于點D，E為BC的中點，連接DE．求證：DE=DC．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=BC，CD=AC，∠BDC=90176。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE=BC，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∵BD⊥AC于點D，∴CD=AC，∠BDC=90176。，∵E為BC的中點，∴DE=BC，∴DE=DC．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．　36．（2016?門頭溝區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90176。，∠C=30176。，AE為BC邊上的中線．求證：△ABE是等邊三角形．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE=BE=CE=AB，即可得出答案．【解答】證明：∵∠BAC=90176。，∠C=30176。，∴AB=BC，∵AE為BC邊上的中線，∴AE=BE=CE，∴AB=AE=BE，∴△ABE是等邊三角形．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定：三邊都相等的三角形是等邊三角形．　37．（2016?蕭山區(qū)二模）如圖，等邊△ABC中，點D、E、F分別同時從點A、B、C出發(fā)，以相同的速度在AB、BC、CA上運動，連結(jié)DE、EF、DF．（1）證明：△DEF是等邊三角形；（2）在運動過程中，當△CEF是直角三角形時，試求的值．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C=60176。，AB=BC=CA，AD=BE=CF，進一步證得BD=EC=AF，即可證得△ADF≌△BED≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE=EF=FD，即可證得△DEF是等邊三角形；（2）由△ABC和△DEF是等邊三角形，得出△DEF∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60176。，AB=BC=CA，∵AD=BE=CF，∴BD=EC=AF，在△ADF、△BED和△CFE中∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DE=EF=FD，∴△DEF是等邊三角形；（2）解：∵△ABC和△DEF是等邊三角形，∴△DEF∽△ABC，∵DE⊥BC，∴∠BDE=30176。，∴BE=BD，即BE=BC，CE=BC，∵EF=EC?sin60176。=BC?=BC，∴=（）2=（）2=．【點評】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟知等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60176。是解答此題的關(guān)鍵．　38．（2016秋?農(nóng)安縣期末）如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N兩點，DM與EN相交于點F．（1）若△CMN的周長為15cm，求AB的長；（2）若∠MFN=70176。，求∠MCN的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周長=AB；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．【解答】解：（1）∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周長為15cm，∴AB=15cm；（2）∵∠MFN=70176。，∴∠MNF+∠NMF=180176。﹣70176。=110176。，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110176。，∴∠A+∠B=90176。﹣∠AMD+90176。﹣∠BNE=180176。﹣110176。=70176。，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180176。﹣2（∠A+∠B）=180176。﹣270176。=40176。．【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，（2）整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．　39．（2016秋?肇源縣期末）在△ABC中，MP，NO分別垂直平分AB，AC．（1）若BC=1Ocm，試求出△PAO的周長．（不用寫過程，直接寫出答案）（2）若AB=AC，∠BAC=110176。，試求∠PAO的度數(shù)．（不用寫過程，直接寫出答案）（3）在（2）中，若無AB=AC的條件，你運能求出∠PAO的度數(shù)嗎？若能，請求出來；若不能，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AP=BP，AO=CO，然后求出△PAO的周長=BC；（2）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠B、