數(shù)值分析-全部-知識(shí)點(diǎn)-資料下載頁
2025-06-24 21:24本頁面
【正文】 三次Hermite插值函數(shù)的誤差估計(jì)為證明 只對結(jié)果2給出證明，結(jié)果1可類似證明。由兩點(diǎn)的Hermite插值余項(xiàng)可知，在區(qū)間上，分段三次Hermite插值函數(shù)與被插值函數(shù)的誤差關(guān)系式又因?yàn)楣蕦= 0，1，…，n有 注意到上式右端與x屬于哪個(gè)小區(qū)間無關(guān)，這就證明了結(jié)果2。，基本思想：根據(jù)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，選擇合適的擬合函數(shù)類M，再利用最小二乘法確定具體的擬合函數(shù)。法方程組為例7給定數(shù)據(jù)表xi31013yi2求二次擬合曲線。解 求二次擬合曲線就是求2次最小二乘多項(xiàng)式，由于沒給出權(quán)系數(shù)，可選。下面用兩種方法求解。取基函數(shù)，，則二次擬合曲線函數(shù)形式為本題有5對數(shù)據(jù)，故，計(jì)算得法方程組解之得 ，，故所求二次擬合曲線為例8為試驗(yàn)?zāi)撤N新藥的療效，醫(yī)生對某人用快速靜脈注射方式一次注入該藥300mg后，在一定的時(shí)期采取血樣，測得血藥濃度數(shù)據(jù)如下123468試確定血藥濃度C與時(shí)間t的關(guān)系。解 在平面坐標(biāo)上畫出散點(diǎn)圖并觀察此圖形狀，發(fā)現(xiàn)其呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)曲線特點(diǎn)，故選擇擬合模型為 兩邊取對數(shù)，得 令，則有線性模型本題沒有強(qiáng)調(diào)某次注射具有不同的重要程度，因此可以認(rèn)為權(quán)。于是有的法方程組為求解得，從而故血藥與時(shí)間的關(guān)系為。例 9 ，求在上關(guān)于權(quán)函數(shù)的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式。解 有題意知 ，即，設(shè)所求最佳平方逼近多項(xiàng)式為其對應(yīng)的法方程組分別計(jì)算系數(shù)解得故所求的最佳平方逼近多項(xiàng)式為。Chapter 6，例 的代數(shù)精度。解 故本題求積公式代數(shù)精度為1。例 的參數(shù)A，B，C，使它具有盡可能高的代數(shù)精度，并指出相應(yīng)的代數(shù)精度。解 本題要先求出具體的求積公式，然后再判斷所求公式的代數(shù)度。公式有3個(gè)待定參數(shù)，h不是求積公式的參數(shù)，故利用3個(gè)條件得到的3個(gè)等式關(guān)系就可以解決求出具體求積公式的問題。依次取代入求積公式并取等號(hào)，有1. 解之得故所求的求積公式為為確定其代數(shù)精度，再取代入求出的公式繼續(xù)計(jì)算，有，故所求的求積公式具有二階代數(shù)精度。插值型求積公式，基本思想：利用被積函數(shù)的插值函數(shù)代替做定積分的近似計(jì)算來構(gòu)造求積公式。復(fù)化求積公式，基本思想，將求積區(qū)間[a,b]分成若干個(gè)小區(qū)間，然后在每個(gè)小區(qū)間上采用數(shù)值穩(wěn)定的NewtonCotes公式求小區(qū)間上的定積分，最后把所有小區(qū)間上的計(jì)算結(jié)果相加起來作為原定積分的近似值。復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)記()故復(fù)化梯形公式的求積余項(xiàng) 由此可知,復(fù)化梯形公式的代數(shù)精度是1。若，對給定計(jì)算精度，令得出復(fù)化Simpson公式復(fù)化Simpson公式的余項(xiàng)記有復(fù)化Simpson公式的求積余項(xiàng)106，那么求積區(qū)間[0,1]應(yīng)分成多少個(gè)子區(qū)間。以此計(jì)算積分近似值。解 復(fù)化Simpson公式的求積余項(xiàng)為 式中。為估計(jì)誤差，要計(jì)算。注意到故由此得從而有解出，故要求出滿足計(jì)算精度要求的定積分值，只要將[0,1]分成4個(gè)子區(qū)間即可，此時(shí)算出Chapter7用數(shù)值微分的2點(diǎn)前差公式代替，得到近似離散化方程記，做，“”，得差分方程寫容易計(jì)算的形式 （Euler公式）為單步法（）在節(jié)點(diǎn)的整體截?cái)嗾`差，而稱）為在點(diǎn)的局部截?cái)嗾`差。？解 該單步公式的局部截?cái)嗾`差是故局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)是，方法是一階的。 設(shè)用某種數(shù)值方法求初值問題（）在任意節(jié)點(diǎn)的數(shù)值解時(shí)，滿足，則稱該數(shù)值方法是絕對穩(wěn)定的。試驗(yàn)方程將Euler公式用于試驗(yàn)方程，得到 （）設(shè)計(jì)算時(shí)有舍入誤差，則有得要想，只須，因此Euler方法在時(shí)是絕對穩(wěn)定的，其絕對穩(wěn)定域?yàn)閺?fù)平面上以1為中心的單位圓盤。
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