【導(dǎo)讀】間信號是否為數(shù)字信號？連續(xù)（量化）信號；1-2分別判斷下列各函數(shù)式屬于何種信號？數(shù)；若不存在，則該復(fù)合信號為非周期信號。其圖形如圖1-3所示，所以周期為2T。討論所得結(jié)果是否與原例之結(jié)果一致。形求得f的波形。兩種方法分別示于圖1-4和圖1-5中。1-5已知f，為求)(0attf?應(yīng)按下列那種運算求得正確結(jié)果（式中at,0都為正。因為)(atf右移0t，得到的是??1-8試將教材中描述圖1-15波形的表達式和改用階越信號表示。這是一個分段函數(shù)。若借助階越信號，則可將其表示為

　　

【正文】 ? ， 0?t 將初始狀態(tài) Ev ??)0(0 代入上式，可得 EC? 即 tRCozi Eetv 1)( ?? ， 0?t 從而 tRCSSo z s eRIRItv 1)( ??? ， 0?t 其中自由響應(yīng)分量： ? ? tRCS eRIE 1?? ， 0?t 強迫響應(yīng)分量 : SRI ， 0?t 27 如圖 26 所示電路， 0?t 時，開關(guān)位于 “ 1” 且已達到穩(wěn)態(tài)； 0?t 時，開關(guān)自 “ 1” 轉(zhuǎn)至 “ 2” 。 （ 1）試從物理概念判斷 )0(?i ， )0(39。 ?i 和 )0(?i ， )0(39。 ?i ； （ 2）寫出 ??0t 時間內(nèi)描述系統(tǒng)的微分方程表示，求 )(ti 的完全響應(yīng)； （ 3）寫出一個方程式，可在 ????? t 時間內(nèi)描述系統(tǒng)，根據(jù)此式利用沖激函數(shù)匹配原理判斷 ?0 時刻和 ?0 時刻狀態(tài)的變化，并與（ 1）的結(jié)果比較。 圖 2 6+1 0 V　1 ΩS12+2 0 V1 H 1 F )(ti 解 （ 1） 0?t 時，電路已達到穩(wěn)態(tài)，因此回路中電流為 0，即 0)0( ??i 由于此時電感兩端的電壓為 0，所以 0)0(39。 ??i 換 路后，由于電容兩端電壓不會發(fā)生突變，所以 )0()0( ?? ? CC vv 又因為 dttdvCti )()( ? 所以 0)0()0( ?? ?? ii 換路后，由于電感兩端的電壓 ?0 在時刻為 10V，所以 10)0(39。 ??i （ 2）換路后的系統(tǒng)微分方程為 )(20)()()(0 tutidt tdidit ???? ?? 即 )(20)()()(22 ttidt tdidt tid ???? 由于 ??0t 時， ， 0)( ?t? ， 所以 ??0t 時，描述系統(tǒng)的微分方程為 0)()()(22 ??? tidt tdidt tid 這是一個齊次方程，其特征根為 j23211 ???? ， j23212 ???? 齊次解為 tjtj BeAeti )2321()2321()( ???? ?? ， 0?t 利用初始條件 0)0( ??i ， 10)0(39。 ??i 可求得 jA 310?，jB 310?? 則完全響應(yīng)0,23s in3202320310310)(21232321)2321()2321(??????????????????????ttejeeeejejtittjtjttjtj （ 3） 0?t 時，回路中電阻、電感及電容的電壓之和為 10V； 0?t 時，回路中電阻電感及電容電壓之和為 20V。因此可在 ????? t 時間內(nèi)描述系統(tǒng)的微分方程為 dt tdetidt tdidt tid )()()()(22 ??? ① 其中 )(1010)( tute ?? 將 )(1010)( tute ?? 代入方程 ① ， 有 )(10)()(39。)( ttititi ???? ② 由 沖激函數(shù)平衡原理，應(yīng)有 ??? ?? ??? )()(39。 )()()( tuati tubtati ? ③ 將 ③ 式代入式 ② ，有平衡方程兩邊 )(t? 的系數(shù)，有 10?a 從而 0)0()0( 1010)0(39。)0(39。 ?? ??? ?? ?? ii ii 與（ 1）的結(jié)果一致 28 將下列微分方程描述的系統(tǒng)沖激響應(yīng) )(th 和解 階躍 響應(yīng) )(tg ： （ 1） )(2)()( tedtdtrtrdtd ?? （ 2） )()()()()(22 tetedtdtrtrdtdtrdtd ???? （ 3） )(3)(3)()(2)(22 tetedtdtedtdtrtrdtd ???? 解 （ 1）系統(tǒng)沖激響應(yīng) )(th 滿足方程 )(2)()( tedtdtrtrdtd ?? ① 齊次解形式 tAeth 3)( ?? , ??0t ② 利用沖激函數(shù)匹配法求 )0(?h 。由于方程 ① 右端的最高階導(dǎo)數(shù)為 )(39。t? , 所以設(shè) ??? ??? ???? )()()( )()()(39。)( tubtath tuctbtath ? ?? 代入方程 ① ，有 )(39。2)]()([3)]()()(39。[ ttubtatuctbta ???? ??????? 得 ??? ??? 62ba 從而 6)0()0( ???? ?? hbh 將上式 )0(?h 代入 )(th 式 ② 得 6??A 考慮到 2?a ，即 )(th 中有 )(2 t? ，因而所要求的 沖激 響應(yīng)為 )(6)(2)( 3 tuetth t??? ? 由于階躍響應(yīng) ???? t dhtg ??)()( 所以此系統(tǒng)的階躍響應(yīng) )(2)( 3 tuetg t?? （ 2）系統(tǒng)的階躍響應(yīng)滿足方程 )()()()()()()(22 tuttutudtdtgtgdtdtgdtd ?????? ? ③ 起始 狀態(tài) 0)0(39。)0( ?? ?? gg 其解的形式為 BeAAetg tjtj ??? ???????? ?????????? ?? 2321*2321)( , ??0t ( *A 為 的共軛復(fù)數(shù) ) ④ 求特解 B ，對 ??0t 代入方程，得 1?B 利用沖激函數(shù)匹配法求 )0(39。),0( ?? gg 。 設(shè) ??? ?? ??? )()(39。 )()()( tuatg tubtatg ? 代入原方程 ③ 可求得 1?a 因而 1)0(39。)0(39。 ??? ?? agg 由于 )(tg 中包含的均為連續(xù)函數(shù)項，所以 0)0()0( ?? ?? gg 。 將 0)0( ??g ， 1)0(39。 ??g 代入 )(tg 的解（式 ④ ），有 ?????????????? ?????????? ?????12321232101**AjAjAA 解得 jA32 121 ???， jA32 121 ??? 因而系統(tǒng)階躍響應(yīng) )(12 3s in312 3c o s)( 2121 tutetetg tt ???????? ???????????????????? ?? 由于沖激響應(yīng) dttdgth )()( ? ，所以此系統(tǒng)的沖激響應(yīng) )(2 3s in312 3c o s)( 2121 tuteteth tt ???????? ?????????????????? ?? （ 3）系統(tǒng)的沖激響應(yīng)應(yīng)滿足方程 )(3)(39。3)()(2)( tttthdt tdh ??? ???? ⑤ 起始狀態(tài) 0)0( ??h 其解 tAeth 2)( ?? ， ??0t ⑥ 用沖激函數(shù)匹配方求 )0(?h 。設(shè) ??? ???? ????? )()()(39。)( )()()(39。)()(39。 tuctbtath tudtctbtath ?? ??? 代入原方程 ⑤ ，有 ??????????32321cbbaa 得????????111cba 從而 1)0()0( ??? ?? hch 將 )0(?h 代入 )(th （式 ⑥ ）， 得 1?A 考慮到 1?a ， 1?b 即 )(th 中有 )(39。t? 和 )(t? ，因而所求沖激響應(yīng)為 )()()(39。)( 2 tuettth t???? ?? 階躍響應(yīng) )()2123()()()2121()()()()( 22 tuettuetutdhtg ttt ???? ???????? ? ???? 29 一個因果性的 LTI 系統(tǒng)，其輸入、輸出用下列微分 積分方程表示： )()()()(5)( tedtfetrtrdrd ???? ? ???? ??? 其中 )(3)()( ttuetf t ??? ? ，求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) )(th 。 解 因為 )(*)()()( tftedtfe???? ?? ??? 所以所給出的輸入、輸出方程可以寫作 )()(*)()(5)( ttftetrtrdrd ???? ① 其中 )(te 是系統(tǒng)的輸入， )(tr 是系統(tǒng)的輸出。 由于 )(t? 與 )(th 是輸入、輸出關(guān)系，因此它們滿足式 ① ，即 )()()()(*)()(5)( ttfttftththdrd ??? ????? 再將 )(3)()( ttuetf t ??? ? 代入上式，有 )(2)()(5)( ttueththdrd t ???? ? 引入微分算子 p ，并 考慮到 )(11)( tptue t ????，從而有 )(2)(11)()5( ttpthp ?? ???? 進而 )(52)(14/154/1)(52)(1151)( tptpptptppth ???? ?????????? ??????????? 所以 )(4147)( 5 tueeth tt ?????? ?? ?? 210 設(shè)系統(tǒng)的微分方程表示為 )()(6)(5)(22 tuetrtrdrdtrdrd t???? 求使完全響應(yīng)為 )()( tCeutr ? 時的系統(tǒng)起始狀態(tài) )0(?r 和 )0(39。 ?r 并確定常數(shù) C 值。 解 引入微分算子 p， 將所 給微分方程改寫為 )(11)()()65( 2 tptuetrpp t ?????? ? 則有 )(12/142/121)()1)(3)(2( 1)(tppptppptr zs????????????????????? ① 又由所給微分方程知，特征根為 2 和 3，均為單根，則 ttzi eAeAtr 3221)( ?? ?? ， 0?t 又 因為完全響應(yīng) )()()()( trtrtuCetr zszit ??? ? 所以 ? ?)(321)()(213221tp Ap Ap CtueAeACetr tttzs????????? ????????? ??? ② 比較式 ① ， ② ， 有21?C， 11?A ， 212 ???A 進而有 21)0()0(21 ???? ?? AArr zi 213)0(39。)0(39。 21 ?????? ?? AArr zi 綜上得 21)0( ??r， 21)0(39。 ???r， 21?C 211 有一系統(tǒng)對激勵為 )()(1 tute ? 時的完全響應(yīng)為 )(2)(1 tuetr t?? ，對激勵為 )()(2 tte ?? 使的完全響應(yīng)為 )()(2 ttr ?? 。 （ 1）求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) )(trzi （ 2）系統(tǒng)的起始狀態(tài)保持不變，求其對于激勵為 )()(3 tuete t?? 的完全響應(yīng) )(3tr 。 解 （ 1）由于 )()()()(12 tedtdtudtdtte ??? ? 所以 )()(12 trdtdtr zszs ? 由題意，于是有 ?????? ????②①)()()(39。)( )(2)()()( 21 11 ttrtrtr tuetrtrtr zszitzszi? 式 ② ① ，得 )(2)()()(39。 11 tuettrtr tzszs ???? ? 引入算子 p，有 )(121)()1( 1 tptrp zs ????????? ???? 即 )()(!1)(11!111)(1 tuetptppptr tzs ???????????? ?????? ?? 將