【正文】 k k kNNNn nknXkxWxxWxx????????? ? ??????/4/1 / /23/40/4/4/1 /0[()(/)(/)]()/4)3][()(/2)()(42)NkNkNkNnn rnN rNnxxxWXr nnxjxjxr???? ?????/4 2/4/1 3/0/4)/]3[()(/2)()nrN rNn nNnXxjxjxW?? ??? 其中令： 01 22 33()(/4)(/)(/4)[ 2]///()()()()nNnnNnxjxxjxnj jW??????則有：第 3 章 煤粉火焰的信號(hào)處理與分析17/41 /410/4 /40/ /2 3/ /0()(),()(),NNrn rnNNn nr rXrxWXxW? ?? ????基 4 的 DIFFFT 的蝶形運(yùn)算單元如下圖所示：圖 33 基 4 的 DIFFFT 的蝶形運(yùn)算單元由上圖可知每個(gè)基 4 蝶形運(yùn)算單元包括 3 次復(fù)數(shù)乘法、8 次復(fù)數(shù)加法。N（N= ， M 為偶數(shù)）點(diǎn)序列的 FFT 運(yùn)算若采用基 4 算法則有 M/2 級(jí)蝶形，2每級(jí)由 N/4 個(gè)蝶形運(yùn)算構(gòu)成。采用基 4 算法計(jì)算 N 點(diǎn)序列的 FFT 共需要次復(fù)數(shù)乘法、 次復(fù)數(shù)加法。由于主要的運(yùn)算時(shí)間集中在乘2log832logN法上面，可見(jiàn)基 4 算法的運(yùn)算量比基 2 的 FFT 算法減少了 25%，但運(yùn)算量的減少是以硬件的復(fù)雜性及使用更多資源為代價(jià)的。 傅里葉分析方法在煤粉火焰分析的工程應(yīng)用實(shí)例我們使用火焰檢測(cè)裝置的硬件系統(tǒng)實(shí)際觀察和記錄了多個(gè)爐型的多種燃燒器的煤粉火焰燃燒情況，特別是在不同煤粉配風(fēng)工況下的燃燒情況。依照燃燒器控制策略的工況標(biāo)準(zhǔn)劃分原則，將燃燒器的工作狀態(tài)分為三類工作狀態(tài)，它們是：無(wú)火狀態(tài)、穩(wěn)定燃燒狀態(tài)和非穩(wěn)定燃燒狀態(tài)。無(wú)火狀態(tài)一般是指燃燒器處檢測(cè)不到煤粉火焰。穩(wěn)定燃燒狀態(tài)是指在燃燒器處檢測(cè)到煤粉火焰且煤粉火焰燃燒均勻，各設(shè)備參數(shù)在此狀態(tài)下可不做調(diào)整。非穩(wěn)定燃燒狀態(tài)一般是指在燃燒器處檢測(cè)到煤粉火焰，但煤粉火焰燃燒不均勻、較為密集地出現(xiàn)了局部微爆燃的現(xiàn)象，各工況參數(shù)在此狀態(tài)下需要做調(diào)整。通過(guò)大量的實(shí)際觀測(cè)和數(shù)據(jù)對(duì)比分析，我們分析出三種燃燒狀態(tài)信號(hào)的典型時(shí)、頻域特征。在無(wú)火狀態(tài)時(shí)，燃燒器處沒(méi)有火焰存在，此時(shí)火焰檢測(cè)裝置的紅外感光器件未受到激勵(lì)。此時(shí)紅外感光器件的輸出電壓幅值基本接近 0V，可以視為焰檢成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文18測(cè)裝置處于零輸入響應(yīng)狀態(tài)，這個(gè)時(shí)候采集到的信號(hào)很大程度上可以看成是火焰檢測(cè)裝置的系統(tǒng)本底噪聲信號(hào)。通過(guò)合理設(shè)計(jì)硬件系統(tǒng)，系統(tǒng)的本底噪聲會(huì)處于一個(gè)很低的狀態(tài)。圖 34 為典型無(wú)火狀態(tài)工況下火焰燃燒信號(hào)的時(shí)域分布和其傅里葉頻譜。從圖中可以看出無(wú)火狀態(tài)下信號(hào)頻譜的交流成分基本為零。 圖 3–4 典型無(wú)火狀態(tài)的時(shí)域波形和傅里葉頻譜圖 35 為典型穩(wěn)定燃燒狀態(tài)時(shí)火焰燃燒信號(hào)的時(shí)域分布和其傅里葉頻譜。從圖中可以看出：穩(wěn)定燃燒狀態(tài)的時(shí)域信號(hào)在沒(méi)有明顯的周期性，信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性呈現(xiàn)出是時(shí)間的函數(shù)的特性，同時(shí)信號(hào)變化的劇烈程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有語(yǔ)音信號(hào)那么復(fù)雜和迅速，呈現(xiàn)出一種相對(duì)平穩(wěn)的特性。穩(wěn)定燃燒狀態(tài)時(shí)的頻域信號(hào)的主要能量都集中在 200Hz 以下的頻率區(qū)域內(nèi)，特別是富集在 120Hz 以下的頻率區(qū)域內(nèi)。在 120Hz 以下的頻段區(qū)域中，會(huì)出現(xiàn)若干個(gè)間隔不一的顯著峰值點(diǎn)（一般峰值點(diǎn)數(shù)不少于 5 個(gè)，且其功率值較高） ?？梢?jiàn)信號(hào)的頻域特征是明顯的，而是容易識(shí)別的。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可以選擇 1090Hz 的頻段范圍作為主分析區(qū)域。第 3 章 煤粉火焰的信號(hào)處理與分析19 圖 3–5 穩(wěn)定燃燒狀態(tài)的時(shí)域波形和傅里葉頻譜圖 36 為兩個(gè)出現(xiàn)短時(shí)局部爆燃的火焰信號(hào)的時(shí)域分布和其傅里葉頻譜。當(dāng)發(fā)生短時(shí)局部爆燃的時(shí)候，火焰強(qiáng)度會(huì)在極短時(shí)間內(nèi)完成“突然劇烈增強(qiáng)，隨后變?yōu)檩^弱，然后恢復(fù)正常”的過(guò)程。在穩(wěn)定燃燒狀態(tài)下，也會(huì)非常偶爾出現(xiàn)短時(shí)局部爆燃現(xiàn)象，但兩次短時(shí)局部爆燃的時(shí)間間隔會(huì)較長(zhǎng)，此時(shí)僅需引起運(yùn)行操作人員的注意。如果短時(shí)間內(nèi)連續(xù)出現(xiàn)多次爆燃現(xiàn)象，特別是在 秒內(nèi)出現(xiàn)了兩次以上的短時(shí)局部爆燃現(xiàn)象，則應(yīng)引起運(yùn)行操作人員的特別警惕。圖 37 中的 (a) 圖框?yàn)橐粋€(gè)信號(hào)采集周期中出現(xiàn)了一次能量較大的爆燃現(xiàn)象，(b) 圖框?yàn)樵撔盘?hào)的傅里葉頻譜，頻譜圖中可以看到 100200Hz 的頻段范圍與穩(wěn)定燃燒時(shí)相比較出現(xiàn)明顯的隆起。圖 38 中的 (c) 圖框?yàn)橐粋€(gè)信號(hào)采集周期中出現(xiàn)了兩次能量較小的爆燃現(xiàn)象，(d) 圖框?yàn)樵撔盘?hào)的傅里葉頻譜，頻譜圖中可以看到 100200Hz 的頻段范圍與穩(wěn)定燃燒時(shí)相比較也出現(xiàn)明顯的隆起。這兩處隆起的面積基本相等，它們的包絡(luò)線也計(jì)較接近，如僅從頻譜形狀分析，則難以判讀出爆燃的次數(shù)，即無(wú)法為運(yùn)行操作人員提供準(zhǔn)確的告警級(jí)別。成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文20圖 3–6 短時(shí)爆燃狀態(tài)的時(shí)域波形和傅里葉頻譜綜上可知：使用傅里葉變換的方法可以準(zhǔn)確地識(shí)別出燃燒器處是否存在煤粉火焰，但在火焰非穩(wěn)定燃燒時(shí)（特別是在出現(xiàn)連續(xù)短時(shí)爆燃時(shí)）難以提供準(zhǔn)確的燃燒穩(wěn)定度判斷信息。 火焰信號(hào)的短時(shí)傅里葉分析 短時(shí)傅里葉變換的理論基礎(chǔ)雖然傅里葉變換及其快速變換形式 FFT 已經(jīng)成為廣泛使用的信號(hào)處理方法，它們已成為時(shí)頻域分析中最基礎(chǔ)性的分析工具之一，但是傅里葉變換的本質(zhì)決定了信號(hào)在時(shí)域和頻域上不能同時(shí)局部化。對(duì)于任一給定頻率的信號(hào)，根據(jù)傅里葉變換的結(jié)果無(wú)法看出該頻率出現(xiàn)的時(shí)刻點(diǎn)與信號(hào)的重復(fù)出現(xiàn)的周期（如果存在這樣的周期） ，這說(shuō)明了傅里葉變換在頻率上無(wú)法表征時(shí)域的局部化信息。傅里葉變換將待分析信號(hào)從時(shí)域變換到頻域時(shí)，實(shí)質(zhì)上是將信號(hào)在整個(gè)時(shí)間軸上進(jìn)行 的疊加（其中 能起到頻限的作用） [22]。由此可知傅里葉變?xfie)(??xie?換不能夠觀察信號(hào)在某一時(shí)刻點(diǎn)附近的頻域分布信息。在工程信號(hào)處理過(guò)程中，尤其是非平穩(wěn)信號(hào)處理過(guò)程中，如火焰燃燒信號(hào)、地震信號(hào)等，不但需要了解第 3 章 煤粉火焰的信號(hào)處理與分析21信號(hào)的局部頻率而且需要知道該頻率發(fā)生的時(shí)間段。信號(hào)分析和處理的一個(gè)重要目標(biāo)是：一方面是要精確地了解信號(hào)包含的頻譜信息，另一方面要準(zhǔn)確地知道各種頻率出現(xiàn)的時(shí)間。由于標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換只在頻域中具有局部分析能力，而在時(shí)域內(nèi)不具備局部分析能力，故 Dennis Gabor 于 1946 年引入短時(shí)傅里葉變換（STFT，ShortTime Fourier Transform）的概念 [23]。短時(shí)傅里葉變換的基本思想是：把信號(hào)劃分若干個(gè)時(shí)間間隔，然后使用傅里葉變換分析每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的信息，達(dá)到識(shí)別出該時(shí)間間隔內(nèi)所存在頻率的目標(biāo) [24]。對(duì)于給定的能量有限信號(hào) ，其 STFT 定義為)(2RLtx? （33）?????????? ??? jjtx etgxdegtSTF)(,)(),(*,    其中 ?jt tg)(),及 ，1|(|??1||,???t并且窗函數(shù) 應(yīng)取對(duì)稱函數(shù)。STFT 的含義可解釋如下：)g在時(shí)域中用窗函數(shù) 去截信號(hào)函數(shù) （注：將 ， 的時(shí)間變量(?)(?x)(txtg換成 ） ，對(duì)截取到的局部信號(hào)作傅立葉變換，即得在 時(shí)刻得該段信號(hào)得傅立?葉變換。不斷地移動(dòng) ，也即不斷地移動(dòng)窗函數(shù) 的中心位置，即可得到不t g同時(shí)刻的傅立葉變換，這些傅立葉變換的集合即是 ，如圖 3–7 所),(?tSTFx示。顯然， 是變量 的二維函數(shù) [25]。),(?tSTFx),(t成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文22圖 3–7 STFT 算法示意圖由于 是窗函數(shù)，因此它在時(shí)域應(yīng)是有限支撐的，又由于 在頻域是)(?g ??je線譜，所以 STFT 的基函數(shù) 在時(shí)域和頻域都應(yīng)是有限支撐的。這樣，???jetg)(式（33）中內(nèi)積的結(jié)果即可實(shí)現(xiàn)對(duì) 進(jìn)行時(shí)－頻定位的功能。當(dāng)然，我們自(x然要關(guān)心這一變換時(shí)域及頻域的分辨率。對(duì)式（33）兩邊作傅立葉變換，有： （34()() (),()) (jjjtjt jttGgtedegedGe?????? ?????????? ??????）式中 是和 等效的頻率變量。由于 （35）?????deGXgtxtj)(*21 ,21,()(????????????所以 （36）???????deGXetSTFtjtjx )()),(*21該式指出，對(duì) 在時(shí)域加窗 ，引導(dǎo)出在頻域?qū)?加窗?(tg?)(X。)(???G由圖 可以看出，基函數(shù) 的時(shí)間中心 （注意， 是移位變量） ，)(,?t t?0?t其時(shí)寬 （37）????????? dgdgtt 222,22 |)(||)(|)(即 的時(shí)間中心由 決定，但時(shí)寬和 無(wú)關(guān)。同理， 的頻率中)(,??tgtt )(,??tG心 ，而帶寬?0? （38）????????????? ddGt 2212,221 |)(||)(|)(也和中心頻率 無(wú)關(guān)。這樣，STFT 的基函數(shù) 具有時(shí)－頻平面上的,??tg第 3 章 煤粉火焰的信號(hào)處理與分析23一個(gè)如下的分辨“單元”：其中心在 處，其大小為 ，不管 取何),(?t ?????,t值（即移到何處） ，該“單元”的面積始終保持不變，該面積的大小即是 STFT的時(shí)－頻分辨率。如圖 3. 2 所示。圖 3–8 STFT 的時(shí)－頻分辨率對(duì)信號(hào)作時(shí)－頻分析時(shí)：對(duì)快變的信號(hào)，我們希望它有良好的時(shí)間分辨率以觀察其快變部分（如尖脈沖等） ，即觀察的時(shí)間寬度 要小，但受時(shí)寬－帶t?寬積的影響，此時(shí)對(duì)該信號(hào)頻域的分辨率必定要下降。由于快變信號(hào)對(duì)應(yīng)的是高頻信號(hào)，因此對(duì)這一類信號(hào)，我們希望有好的時(shí)間分辨率，但同時(shí)就要降低高頻的分辨率。反之，對(duì)慢變信號(hào)，由于它對(duì)應(yīng)的是低頻信號(hào)，所以我們希望在低頻處有好的頻率分辨率，但不可避免的要降低時(shí)域的分辨率。下面我們進(jìn)一步分析窗函數(shù)以及窗函數(shù)寬度對(duì)時(shí)間頻率分辨率的影響。假設(shè)對(duì)信號(hào) f (x)在時(shí)間 x=τ 附近內(nèi)的頻率感興趣，顯然一個(gè)最簡(jiǎn)潔的方法是僅取式（33）中定義的傅里葉變換在某個(gè)時(shí)間段 Iτ 內(nèi)的值，即定義 （39）??????Ixff de)(|1),(?i其中|I τ|表示區(qū)域 Iτ 的長(zhǎng)度。如果定義方波函數(shù) gτ(x)為 （310）1,()0xIg?????????其 他則式（39）又可以表示為:成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文24 （311）xgxffRde)(),(?i???????其中 R 表示整個(gè)實(shí)軸。從式（33） 、式（310）與式（ 311）很容易看到，為了分析信號(hào) f (x)在時(shí)刻 τ 的局部頻域信息，式（ 39）實(shí)質(zhì)上是對(duì)函數(shù) f(x)加上窗口函數(shù) gτ(x)。顯然，窗口的長(zhǎng)度|I τ|越小，則越能夠反映出信號(hào)的局部頻域信息。容易得到下面的簡(jiǎn)單性質(zhì)：① （312）??Rxg1d)(?② ， （313）I??0lim()gx???將函數(shù) gτ(x)與著名的“δ 函數(shù)”及其性質(zhì) （314）0,()x???????以及 （3()d1x???R15）比較不難發(fā)現(xiàn)， “δ 函數(shù)”δ( x)實(shí)際上可以視為函數(shù) gτ(x)的極限函數(shù)。從另外一個(gè)角度來(lái)看，窗口函數(shù)可以看作對(duì)于原信號(hào)在區(qū)域上的加權(quán)，而利用方波函數(shù) gτ(x)作為窗口函數(shù)時(shí)存在的一個(gè)明顯缺陷就是在區(qū)域 Iτ 上平均使用權(quán)值，不符合權(quán)值應(yīng)該重點(diǎn)位于時(shí)刻 τ 且距離該時(shí)刻越遠(yuǎn)和權(quán)值越小的特點(diǎn)。也就是權(quán)函數(shù)主值位于時(shí)刻 τ，在該時(shí)刻的兩端函數(shù)圖像迅速衰減的特點(diǎn)。在滿足上述特性并保持函數(shù)的光滑性質(zhì)的前提下，Dennis Gabor 于 1946 年提出了利用具有無(wú)窮次可微的高斯函數(shù) （316）0,eπ21)(42???axgxa作為窗口函數(shù)。Gabor 取高斯函數(shù)做為窗戶函數(shù)的原因：高斯函數(shù)的傅立葉變換仍然是高斯函數(shù)，高斯函數(shù)是最優(yōu)時(shí)間局部化的窗函數(shù) [26]。時(shí)間分辨率 Δt和頻率分辨率 Δf 不可能同時(shí)任意小，根據(jù) Heisenberg 不確定性原理，時(shí)間和頻率分辨率的乘積受到以下限制： ΔtΔf ≥ 1/(4π) （3第 3 章 煤粉火焰的信號(hào)處理與分析2517）當(dāng)且僅當(dāng)采用了高斯窗函數(shù)，等式成立。由于受不 Heisenberg 不確定性原理的制約，我們對(duì)時(shí)間分辨率和頻率分辨率只能取一個(gè)折中，一個(gè)提高了，另一個(gè)就必然要降低，反之亦然 [27]。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，工作的重點(diǎn)在于需要根據(jù)被分析信號(hào)的特性選取合適的窗口函數(shù)寬度。合適的窗函數(shù)寬度才能獲得較佳的時(shí)間－頻率分辨率。 離散信號(hào)的短時(shí)傅立葉變換及其實(shí)現(xiàn) [28]當(dāng)我們要在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)一個(gè)信號(hào)的短時(shí)傅立葉變換時(shí)，該信號(hào)必須是離散的，且為有限長(zhǎng)。設(shè)給定的信號(hào)為 ，有1,.0),(??Lnx （318）*(,)()(),)j j jnxnSTFmexgmNegmNe????????式中 是在時(shí)間軸上窗函數(shù)移動(dòng)的步長(zhǎng)， 是圓周頻率， ， 為N sT??由 得到