【正文】 k k kNNNn nknXkxWxxWxx????????? ? ??????/4/1 / /23/40/4/4/1 /0[()(/)(/)]()/4)3][()(/2)()(42)NkNkNkNnn rnN rNnxxxWXr nnxjxjxr???? ?????/4 2/4/1 3/0/4)/]3[()(/2)()nrN rNn nNnXxjxjxW?? ??? 其中令： 01 22 33()(/4)(/)(/4)[ 2]///()()()()nNnnNnxjxxjxnj jW??????則有：第 3 章 煤粉火焰的信號處理與分析17/41 /410/4 /40/ /2 3/ /0()(),()(),NNrn rnNNn nr rXrxWXxW? ?? ????基 4 的 DIFFFT 的蝶形運算單元如下圖所示：圖 33 基 4 的 DIFFFT 的蝶形運算單元由上圖可知每個基 4 蝶形運算單元包括 3 次復(fù)數(shù)乘法、8 次復(fù)數(shù)加法。N（N= ， M 為偶數(shù)）點序列的 FFT 運算若采用基 4 算法則有 M/2 級蝶形，2每級由 N/4 個蝶形運算構(gòu)成。采用基 4 算法計算 N 點序列的 FFT 共需要次復(fù)數(shù)乘法、 次復(fù)數(shù)加法。由于主要的運算時間集中在乘2log832logN法上面，可見基 4 算法的運算量比基 2 的 FFT 算法減少了 25%，但運算量的減少是以硬件的復(fù)雜性及使用更多資源為代價的。 傅里葉分析方法在煤粉火焰分析的工程應(yīng)用實例我們使用火焰檢測裝置的硬件系統(tǒng)實際觀察和記錄了多個爐型的多種燃燒器的煤粉火焰燃燒情況，特別是在不同煤粉配風(fēng)工況下的燃燒情況。依照燃燒器控制策略的工況標(biāo)準(zhǔn)劃分原則，將燃燒器的工作狀態(tài)分為三類工作狀態(tài)，它們是：無火狀態(tài)、穩(wěn)定燃燒狀態(tài)和非穩(wěn)定燃燒狀態(tài)。無火狀態(tài)一般是指燃燒器處檢測不到煤粉火焰。穩(wěn)定燃燒狀態(tài)是指在燃燒器處檢測到煤粉火焰且煤粉火焰燃燒均勻，各設(shè)備參數(shù)在此狀態(tài)下可不做調(diào)整。非穩(wěn)定燃燒狀態(tài)一般是指在燃燒器處檢測到煤粉火焰，但煤粉火焰燃燒不均勻、較為密集地出現(xiàn)了局部微爆燃的現(xiàn)象，各工況參數(shù)在此狀態(tài)下需要做調(diào)整。通過大量的實際觀測和數(shù)據(jù)對比分析，我們分析出三種燃燒狀態(tài)信號的典型時、頻域特征。在無火狀態(tài)時，燃燒器處沒有火焰存在，此時火焰檢測裝置的紅外感光器件未受到激勵。此時紅外感光器件的輸出電壓幅值基本接近 0V，可以視為焰檢成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文18測裝置處于零輸入響應(yīng)狀態(tài)，這個時候采集到的信號很大程度上可以看成是火焰檢測裝置的系統(tǒng)本底噪聲信號。通過合理設(shè)計硬件系統(tǒng)，系統(tǒng)的本底噪聲會處于一個很低的狀態(tài)。圖 34 為典型無火狀態(tài)工況下火焰燃燒信號的時域分布和其傅里葉頻譜。從圖中可以看出無火狀態(tài)下信號頻譜的交流成分基本為零。 圖 3–4 典型無火狀態(tài)的時域波形和傅里葉頻譜圖 35 為典型穩(wěn)定燃燒狀態(tài)時火焰燃燒信號的時域分布和其傅里葉頻譜。從圖中可以看出：穩(wěn)定燃燒狀態(tài)的時域信號在沒有明顯的周期性，信號統(tǒng)計特性呈現(xiàn)出是時間的函數(shù)的特性，同時信號變化的劇烈程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有語音信號那么復(fù)雜和迅速，呈現(xiàn)出一種相對平穩(wěn)的特性。穩(wěn)定燃燒狀態(tài)時的頻域信號的主要能量都集中在 200Hz 以下的頻率區(qū)域內(nèi)，特別是富集在 120Hz 以下的頻率區(qū)域內(nèi)。在 120Hz 以下的頻段區(qū)域中，會出現(xiàn)若干個間隔不一的顯著峰值點（一般峰值點數(shù)不少于 5 個，且其功率值較高） ?？梢娦盘柕念l域特征是明顯的，而是容易識別的。在實際應(yīng)用時可以選擇 1090Hz 的頻段范圍作為主分析區(qū)域。第 3 章 煤粉火焰的信號處理與分析19 圖 3–5 穩(wěn)定燃燒狀態(tài)的時域波形和傅里葉頻譜圖 36 為兩個出現(xiàn)短時局部爆燃的火焰信號的時域分布和其傅里葉頻譜。當(dāng)發(fā)生短時局部爆燃的時候，火焰強(qiáng)度會在極短時間內(nèi)完成“突然劇烈增強(qiáng)，隨后變?yōu)檩^弱，然后恢復(fù)正常”的過程。在穩(wěn)定燃燒狀態(tài)下，也會非常偶爾出現(xiàn)短時局部爆燃現(xiàn)象，但兩次短時局部爆燃的時間間隔會較長，此時僅需引起運行操作人員的注意。如果短時間內(nèi)連續(xù)出現(xiàn)多次爆燃現(xiàn)象，特別是在 秒內(nèi)出現(xiàn)了兩次以上的短時局部爆燃現(xiàn)象，則應(yīng)引起運行操作人員的特別警惕。圖 37 中的 (a) 圖框為一個信號采集周期中出現(xiàn)了一次能量較大的爆燃現(xiàn)象，(b) 圖框為該信號的傅里葉頻譜，頻譜圖中可以看到 100200Hz 的頻段范圍與穩(wěn)定燃燒時相比較出現(xiàn)明顯的隆起。圖 38 中的 (c) 圖框為一個信號采集周期中出現(xiàn)了兩次能量較小的爆燃現(xiàn)象，(d) 圖框為該信號的傅里葉頻譜，頻譜圖中可以看到 100200Hz 的頻段范圍與穩(wěn)定燃燒時相比較也出現(xiàn)明顯的隆起。這兩處隆起的面積基本相等，它們的包絡(luò)線也計較接近，如僅從頻譜形狀分析，則難以判讀出爆燃的次數(shù)，即無法為運行操作人員提供準(zhǔn)確的告警級別。成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文20圖 3–6 短時爆燃狀態(tài)的時域波形和傅里葉頻譜綜上可知：使用傅里葉變換的方法可以準(zhǔn)確地識別出燃燒器處是否存在煤粉火焰，但在火焰非穩(wěn)定燃燒時（特別是在出現(xiàn)連續(xù)短時爆燃時）難以提供準(zhǔn)確的燃燒穩(wěn)定度判斷信息。 火焰信號的短時傅里葉分析 短時傅里葉變換的理論基礎(chǔ)雖然傅里葉變換及其快速變換形式 FFT 已經(jīng)成為廣泛使用的信號處理方法，它們已成為時頻域分析中最基礎(chǔ)性的分析工具之一，但是傅里葉變換的本質(zhì)決定了信號在時域和頻域上不能同時局部化。對于任一給定頻率的信號，根據(jù)傅里葉變換的結(jié)果無法看出該頻率出現(xiàn)的時刻點與信號的重復(fù)出現(xiàn)的周期（如果存在這樣的周期） ，這說明了傅里葉變換在頻率上無法表征時域的局部化信息。傅里葉變換將待分析信號從時域變換到頻域時，實質(zhì)上是將信號在整個時間軸上進(jìn)行 的疊加（其中 能起到頻限的作用） [22]。由此可知傅里葉變?xfie)(??xie?換不能夠觀察信號在某一時刻點附近的頻域分布信息。在工程信號處理過程中，尤其是非平穩(wěn)信號處理過程中，如火焰燃燒信號、地震信號等，不但需要了解第 3 章 煤粉火焰的信號處理與分析21信號的局部頻率而且需要知道該頻率發(fā)生的時間段。信號分析和處理的一個重要目標(biāo)是：一方面是要精確地了解信號包含的頻譜信息，另一方面要準(zhǔn)確地知道各種頻率出現(xiàn)的時間。由于標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換只在頻域中具有局部分析能力，而在時域內(nèi)不具備局部分析能力，故 Dennis Gabor 于 1946 年引入短時傅里葉變換（STFT，ShortTime Fourier Transform）的概念 [23]。短時傅里葉變換的基本思想是：把信號劃分若干個時間間隔，然后使用傅里葉變換分析每個時間間隔內(nèi)的信息，達(dá)到識別出該時間間隔內(nèi)所存在頻率的目標(biāo) [24]。對于給定的能量有限信號 ，其 STFT 定義為)(2RLtx? （33）?????????? ??? jjtx etgxdegtSTF)(,)(),(*,    其中 ?jt tg)(),及 ，1|(|??1||,???t并且窗函數(shù) 應(yīng)取對稱函數(shù)。STFT 的含義可解釋如下：)g在時域中用窗函數(shù) 去截信號函數(shù) （注：將 ， 的時間變量(?)(?x)(txtg換成 ） ，對截取到的局部信號作傅立葉變換，即得在 時刻得該段信號得傅立?葉變換。不斷地移動 ，也即不斷地移動窗函數(shù) 的中心位置，即可得到不t g同時刻的傅立葉變換，這些傅立葉變換的集合即是 ，如圖 3–7 所),(?tSTFx示。顯然， 是變量 的二維函數(shù) [25]。),(?tSTFx),(t成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文22圖 3–7 STFT 算法示意圖由于 是窗函數(shù)，因此它在時域應(yīng)是有限支撐的，又由于 在頻域是)(?g ??je線譜，所以 STFT 的基函數(shù) 在時域和頻域都應(yīng)是有限支撐的。這樣，???jetg)(式（33）中內(nèi)積的結(jié)果即可實現(xiàn)對 進(jìn)行時－頻定位的功能。當(dāng)然，我們自(x然要關(guān)心這一變換時域及頻域的分辨率。對式（33）兩邊作傅立葉變換，有： （34()() (),()) (jjjtjt jttGgtedegedGe?????? ?????????? ??????）式中 是和 等效的頻率變量。由于 （35）?????deGXgtxtj)(*21 ,21,()(????????????所以 （36）???????deGXetSTFtjtjx )()),(*21該式指出，對 在時域加窗 ，引導(dǎo)出在頻域?qū)?加窗?(tg?)(X。)(???G由圖 可以看出，基函數(shù) 的時間中心 （注意， 是移位變量） ，)(,?t t?0?t其時寬 （37）????????? dgdgtt 222,22 |)(||)(|)(即 的時間中心由 決定，但時寬和 無關(guān)。同理， 的頻率中)(,??tgtt )(,??tG心 ，而帶寬?0? （38）????????????? ddGt 2212,221 |)(||)(|)(也和中心頻率 無關(guān)。這樣，STFT 的基函數(shù) 具有時－頻平面上的,??tg第 3 章 煤粉火焰的信號處理與分析23一個如下的分辨“單元”：其中心在 處，其大小為 ，不管 取何),(?t ?????,t值（即移到何處） ，該“單元”的面積始終保持不變，該面積的大小即是 STFT的時－頻分辨率。如圖 3. 2 所示。圖 3–8 STFT 的時－頻分辨率對信號作時－頻分析時：對快變的信號，我們希望它有良好的時間分辨率以觀察其快變部分（如尖脈沖等） ，即觀察的時間寬度 要小，但受時寬－帶t?寬積的影響，此時對該信號頻域的分辨率必定要下降。由于快變信號對應(yīng)的是高頻信號，因此對這一類信號，我們希望有好的時間分辨率，但同時就要降低高頻的分辨率。反之，對慢變信號，由于它對應(yīng)的是低頻信號，所以我們希望在低頻處有好的頻率分辨率，但不可避免的要降低時域的分辨率。下面我們進(jìn)一步分析窗函數(shù)以及窗函數(shù)寬度對時間頻率分辨率的影響。假設(shè)對信號 f (x)在時間 x=τ 附近內(nèi)的頻率感興趣，顯然一個最簡潔的方法是僅取式（33）中定義的傅里葉變換在某個時間段 Iτ 內(nèi)的值，即定義 （39）??????Ixff de)(|1),(?i其中|I τ|表示區(qū)域 Iτ 的長度。如果定義方波函數(shù) gτ(x)為 （310）1,()0xIg?????????其 他則式（39）又可以表示為:成都理工大學(xué)碩士學(xué)位論文24 （311）xgxffRde)(),(?i???????其中 R 表示整個實軸。從式（33） 、式（310）與式（ 311）很容易看到，為了分析信號 f (x)在時刻 τ 的局部頻域信息，式（ 39）實質(zhì)上是對函數(shù) f(x)加上窗口函數(shù) gτ(x)。顯然，窗口的長度|I τ|越小，則越能夠反映出信號的局部頻域信息。容易得到下面的簡單性質(zhì)：① （312）??Rxg1d)(?② ， （313）I??0lim()gx???將函數(shù) gτ(x)與著名的“δ 函數(shù)”及其性質(zhì) （314）0,()x???????以及 （3()d1x???R15）比較不難發(fā)現(xiàn)， “δ 函數(shù)”δ( x)實際上可以視為函數(shù) gτ(x)的極限函數(shù)。從另外一個角度來看，窗口函數(shù)可以看作對于原信號在區(qū)域上的加權(quán)，而利用方波函數(shù) gτ(x)作為窗口函數(shù)時存在的一個明顯缺陷就是在區(qū)域 Iτ 上平均使用權(quán)值，不符合權(quán)值應(yīng)該重點位于時刻 τ 且距離該時刻越遠(yuǎn)和權(quán)值越小的特點。也就是權(quán)函數(shù)主值位于時刻 τ，在該時刻的兩端函數(shù)圖像迅速衰減的特點。在滿足上述特性并保持函數(shù)的光滑性質(zhì)的前提下，Dennis Gabor 于 1946 年提出了利用具有無窮次可微的高斯函數(shù) （316）0,eπ21)(42???axgxa作為窗口函數(shù)。Gabor 取高斯函數(shù)做為窗戶函數(shù)的原因：高斯函數(shù)的傅立葉變換仍然是高斯函數(shù)，高斯函數(shù)是最優(yōu)時間局部化的窗函數(shù) [26]。時間分辨率 Δt和頻率分辨率 Δf 不可能同時任意小，根據(jù) Heisenberg 不確定性原理，時間和頻率分辨率的乘積受到以下限制： ΔtΔf ≥ 1/(4π) （3第 3 章 煤粉火焰的信號處理與分析2517）當(dāng)且僅當(dāng)采用了高斯窗函數(shù)，等式成立。由于受不 Heisenberg 不確定性原理的制約，我們對時間分辨率和頻率分辨率只能取一個折中，一個提高了，另一個就必然要降低，反之亦然 [27]。在實際應(yīng)用時，工作的重點在于需要根據(jù)被分析信號的特性選取合適的窗口函數(shù)寬度。合適的窗函數(shù)寬度才能獲得較佳的時間－頻率分辨率。 離散信號的短時傅立葉變換及其實現(xiàn) [28]當(dāng)我們要在計算機(jī)上實現(xiàn)一個信號的短時傅立葉變換時，該信號必須是離散的，且為有限長。設(shè)給定的信號為 ，有1,.0),(??Lnx （318）*(,)()(),)j j jnxnSTFmexgmNegmNe????????式中 是在時間軸上窗函數(shù)移動的步長， 是圓周頻率， ， 為N sT??由 得到