【正文】 半負(fù)定的對稱矩陣。事實上，是函數(shù)在約束條件下的最小值。根據(jù)二階必要條件可知，拉格朗日函數(shù)在點處的海森矩陣是半正定的(對于極大值，二階條件是說拉格朗日函數(shù)的海森矩陣半負(fù)定) ，而的加邊海森矩陣正是，因此的加邊海森矩陣是半負(fù)定的。對稱性則來自于。由于半負(fù)定對稱矩陣的逆矩陣仍然是半負(fù)定的對稱矩陣，因此矩陣也是對稱的半負(fù)定矩陣，即是對稱半負(fù)定矩陣，這就又一次說明了條件要素需求的性質(zhì)2和3。二、要素需求與產(chǎn)品供給上面討論的條件要素需求，是生產(chǎn)者在產(chǎn)量既定情況下對生產(chǎn)要素的需求。盡管按照這種需求所確定的要素投入達(dá)到了最小，但沒有考慮生產(chǎn)者究竟應(yīng)該把產(chǎn)出和投入確定在什么水平之上才能實現(xiàn)利潤最大化的問題?，F(xiàn)在，我們就來討論這個問題。(一) 利潤最大化的意義廠商的目標(biāo)是實現(xiàn)利潤最大化。如以前所述，利潤是廠商的生產(chǎn)收入與生產(chǎn)成本之差。對于這個概念，關(guān)鍵在于如何理解。首先，在計算利潤的時候，所考慮的生產(chǎn)成本應(yīng)當(dāng)包括組織產(chǎn)生所需的一切成本。比如，企業(yè)家本人作為企業(yè)的雇員，他的工資收入應(yīng)當(dāng)作為企業(yè)生產(chǎn)成本的一部分。又如，企業(yè)貸款的利息支付必須作為生產(chǎn)成本得到計算。其次，廠商的收益和成本都依賴于廠商所開展的生產(chǎn)活動，比如生產(chǎn)資料的采購、產(chǎn)品的廣告宣傳、實際生產(chǎn)的組織安排等等，組織這些活動必然發(fā)生一定的費用，應(yīng)該算作成本要從總收入中扣除。因此，我們所談?wù)摰姆N生產(chǎn)要素應(yīng)當(dāng)包含發(fā)生成本費用的這些活動。這樣，廠商的總收入和總成本反映了廠商組織、開展生產(chǎn)活動的水平。廠商的行為，表現(xiàn)為選擇一種投入產(chǎn)出行動，使得利潤達(dá)到最大。第二，廠商的總收入是銷售產(chǎn)品所得到的收入總和。假定產(chǎn)品的銷售量等于產(chǎn)品的生產(chǎn)量(實際上，如果產(chǎn)量大于銷售量，就要出現(xiàn)存貨。在企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營過程中，存貨是被列在資本項目中加以考慮的，因而存貨被列入成本范圍。這樣一來，銷售量與產(chǎn)量相等的假定對于利潤分析不會產(chǎn)生什么問題)。于是，總收入是通過生產(chǎn)函數(shù)由廠商的投入所決定的，是要素投入的函數(shù)：。同樣，總成本是廠商支付給所有生產(chǎn)要素的總報酬，包括了組織生產(chǎn)活動所發(fā)生的一切費用。在要素價格既定的情況下，總成本就由投入的全部生產(chǎn)要素來決定，是要素投入的函數(shù)：。既然總收入和總成本都由要素投入所決定，因此利潤也就由要素投入決定，是要素投入的函數(shù)：。這便是從投入角度來理解的利潤函數(shù)。運用簡單微積分可知，利潤最大化投入行動必然滿足下面條件：即。這就說出了利潤最大化的基本特征：(要素的)邊際收益等于(要素的)邊際成本。其經(jīng)濟(jì)含義是：如果某項活動(生產(chǎn)要素)的邊際收益大于邊際成本，那么提高該項活動的水平(增加該要素的投入量)是有益的；如果某項活動(生產(chǎn)要素)的邊際收益小于邊際成本，那么降低該項活動的水平(減少該要素的投入量)是有益的。第三，還可以從產(chǎn)出的角度來理解利潤最大化的意義。廠商的總收入直接依賴于產(chǎn)量(即銷售量)。因而總收入是產(chǎn)量的函數(shù)：。另一方面，廠商組織一個產(chǎn)量的生產(chǎn)，當(dāng)然要以最小的成本來生產(chǎn)這個產(chǎn)量，正如前一節(jié)成本理論所討論的那樣，總成本也由產(chǎn)量水平?jīng)Q定，是產(chǎn)量的函數(shù)：。這樣，利潤也就由產(chǎn)量水平?jīng)Q定，是產(chǎn)量的函數(shù)：。利潤最大化，就是說廠商要選擇一個產(chǎn)量水平，在這個產(chǎn)量水平上的生產(chǎn)能夠使廠商的利潤達(dá)到最大。于是，利潤最大化的產(chǎn)量必然滿足條件：，即。這個條件則是說：(產(chǎn)品的)邊際收益等于(產(chǎn)品的)邊際成本。因此，如果增加產(chǎn)量能夠使增加的收入大于增加的成本，那么增加產(chǎn)量就能使廠商的利潤得到提高，因而應(yīng)該增加產(chǎn)量；反之，如果增加產(chǎn)量將導(dǎo)致增加的收入小于增加的成本，那么增加產(chǎn)量將使廠商的利潤水平下降，因而應(yīng)該減少產(chǎn)量。第四，對于利潤最大化，從投入角度的理解和從產(chǎn)出角度的理解，二者是一致的。也就是說，如果是利潤最大化的投入方案，那么就是利潤最大化的產(chǎn)量；反之，如果是利潤最大化的產(chǎn)量，那么這個產(chǎn)量下的成本最小化投入方案就是利潤最大化的投入。事實上，利潤最大化的投入方案必在生產(chǎn)擴(kuò)展線上，即必是產(chǎn)量下的成本最小化投入。這是因為，如果這個不是產(chǎn)量下得逞最小化投入方案，那么必有產(chǎn)量相同的另外一種投入方案，按照組織生產(chǎn)的成本小于按照組織生產(chǎn)的成本，即。既然和的產(chǎn)量相同，總收入和也就相同，結(jié)果投入的利潤就要小于投入的利潤，即，這與是利潤最大化投入方案相矛盾?？梢?，利潤最大化投入方案必是成本最小化投入方案。既然利潤最大化投入方案必然在生產(chǎn)擴(kuò)展線上，于是利潤最大化問題就等同于說：再生產(chǎn)擴(kuò)展線上選擇一點，使企業(yè)的利潤達(dá)到最大。顯然，這一點的選擇既可以是選擇投入方案，也可以是選擇產(chǎn)量，二者是相互等價的。因此，從投入角度理解的利潤最大化和從產(chǎn)出角度理解的最大化是一致的。正是由于這兩種理解的一致性，利潤最大化問題的答案將回答廠商如何決定要素投入水平和產(chǎn)量水平的問題，從而解決要素需求和產(chǎn)品供給的決定問題。第五，從長期來看，同一行業(yè)內(nèi)諸廠商的長期利潤相等。這便是利潤最大化的長期意義。之所以這樣，是因為長期內(nèi)同一行業(yè)的諸廠商之間可以相互模仿對方的行為，如果一個廠商得到了較高的利潤，那么其他廠商將會模仿該廠商的行動，使它們的利潤也達(dá)到這個水平。因此，就長期來說，同一行業(yè)中的褚廠商有著相同的總收入函數(shù)和總成本函數(shù)，有著相同的利潤函數(shù)。利潤最大化的這一特點雖然條件看上去簡單，但涵義卻常常出奇地有力。(二) 利潤最大化與要素需求從投入角度看利潤最大化，就可確定要素的最有雇傭量，即要素需求。比如廠商要決定到底應(yīng)該雇傭多少數(shù)量的勞動。按照利潤最大化基本特征，廠商雇傭的勞動量應(yīng)該是這樣的：如再多雇傭一個單位的勞動，那么多雇傭的勞動所增加的生產(chǎn)收益等于增加這一單位勞動所增加的成本，即這一額外單位的邊際收益等于它的邊際成本。按照邊際收益等于邊際成本的原則，要素的最有雇用量得以確定。為了以更加具體的方式來運用利潤最大化原則，我們把收益函數(shù)和成本函數(shù)具體化：廠商收益等于廠商出售的產(chǎn)品數(shù)量乘以產(chǎn)品價格，生產(chǎn)成本等于廠商雇傭的要素數(shù)量乘以要素價格。于是，利潤最大化問題變成為廠商希望雇用多少要素進(jìn)行生產(chǎn)，以獲得最大的利潤。1．要素需求顯然，廠商的利潤不但與要素的投入量有關(guān)，而且與產(chǎn)品的銷售價格和要素的使用價格有關(guān)。但是，目前我們的著眼點在個別廠商上面，還沒有涉及價格的決定問題。因此，我們假定個別廠商不能單方面決定產(chǎn)品的價格，個別廠商對要素的購買也不能影響要素的價格。廠商是產(chǎn)品價格和要素價格的接受者，聽從價格的召喚，依據(jù)價格行事。經(jīng)濟(jì)學(xué)中，這樣的廠商稱為競爭性廠商。廠商接受市場價格，這實際上是市場對廠商生產(chǎn)經(jīng)營活動的約束。當(dāng)然，市場約束不僅僅表現(xiàn)在這個方面。比如，購買廠商產(chǎn)品的消費者可能只愿意按某一價格支付某一數(shù)量的產(chǎn)品，生產(chǎn)要素供應(yīng)商可能只愿意按照某一價格向廠商提供生產(chǎn)要素等等。廠商決定它的最優(yōu)行動時，必須將這些因素考慮進(jìn)去。當(dāng)廠商受到的約束條件較多時，利潤最大化問題是很復(fù)雜的。如果把影響廠商決策的所有因素都考慮進(jìn)來，那么不但討論起來極為困難，而且往往會由于諸多次要因素的存在而掩蓋事物的本質(zhì)，不利于我們揭示廠商追求利潤最大化行為的規(guī)律。鑒于這個原因，我們暫且不考慮來自于市場方面對廠商經(jīng)營的錯綜復(fù)雜的影響，只假定廠商是競爭性廠商，是價格的接受者，價格是利潤最大化問題的外生變量。在這個假定下，利潤最大化問題簡化成為廠商如何組織投入以使利潤達(dá)到最大。設(shè)廠商的生產(chǎn)函數(shù)為，既定的要素價格體系為，既定的產(chǎn)品價格為，用表示產(chǎn)量。當(dāng)廠商的投入向量為時，廠商的利潤為。使達(dá)到最大的投入向量，稱為廠商在既定價格體系下的要素需求向量，也稱為均衡投入向量(方案)，記作。當(dāng)要素價格和產(chǎn)品價格發(fā)生變化時，給出了要素需求向量同市場價格體系之間的對應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系稱為廠商的要素需求映射，其中各個分量函數(shù)稱為廠商的要素需求函數(shù)。2. 要素需求的決定條件從本章第五節(jié)的討論知，利潤最大化的一階條件是：。這個方程就是利潤最大化邊際方程，是確定要素需求的方程，表達(dá)了要素需求的一階決定條件。其中，表示要素的邊際產(chǎn)品價值(value of marginal product)，即要素的邊際收益，記作。要素的價格實際上是要素的邊際成本，記作。一階條件告訴我們，廠商使用生產(chǎn)要素的原則是：要求要素的邊際產(chǎn)品價值(即要素的邊際收益)等于要素的邊際成本。當(dāng)一種要素的邊際產(chǎn)品價值大于這種要素的邊際成本時，增加這種要素的投入量是有益的；當(dāng)一種要素的邊際產(chǎn)品價值小于這種要素的邊際成本時，減少這種要素的投入量是有益的。因此，廠商對各種生產(chǎn)要素的需要量是按照邊際產(chǎn)品價值等于邊際成本的原則來確定的。即就是要素的需求決定條件。我們再來討論利潤最大化的二階條件，也即決定要素需求的二階條件。微積分告訴我們，對于二階連續(xù)可微的多元函數(shù)來說，如果它在一點處取得極大(極小)值，那么它在該點處的二階導(dǎo)數(shù)矩陣半負(fù)定(半正定)；反之，如果它在某點處的一階導(dǎo)數(shù)全為零，并且在該點處的二階導(dǎo)數(shù)矩陣負(fù)定(正定)，那么它必然在該點處取得極大(極小)值。由此可知，利潤最大化的二階必要條件和充分條件可分別表述如下：二階必要條件．如果投入向量是生產(chǎn)者在價格體系下的要素需求向量，那么生產(chǎn)函數(shù)在處的海森矩陣半負(fù)定。二階充分條件．如果在投入方案處，且海森矩陣負(fù)定，那么必是價格體系下的要素需求向量，即。 切線 圖68 海森矩陣的半負(fù)定性這是因為，利潤函數(shù)的的二階導(dǎo)數(shù)矩陣與生產(chǎn)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣只相差一個系數(shù)：，而且，因此矩陣與的負(fù)定性質(zhì)一致：(半)負(fù)定當(dāng)且僅當(dāng)(半)負(fù)定。這樣，在利潤最大化二階條件中便可用用生產(chǎn)函數(shù)的海森矩陣代替利潤的海森矩陣，從而得到如上所述的二階必要條件和二階充分條件。由于矩陣負(fù)定(正定)的充分必要條件是該矩陣是半負(fù)定(正定)的和非奇異的，因此如上的二階充分條件，實際上是在一階和二階必要條件的基礎(chǔ)上再加上海森矩陣的非奇異要求。從幾何上看，利潤最大化投入方案處生產(chǎn)函數(shù)的海森軍陣的半負(fù)定性是說生產(chǎn)函數(shù)曲線(曲面)在該點附近局部凹，即位于切線(切平面)的下方(如圖68所示)。3. 直接利潤函數(shù)利潤函數(shù)的概念還可以擴(kuò)大。實際上，是通過投入方案和產(chǎn)量來確定的，只不過由來確定。如果去掉這個限制，那么一個投入產(chǎn)出過程的利潤便為：?？梢?，利潤函數(shù)是通過把的自變量限制在集合(的圖像)上而得到的函數(shù)。鑒于這個原因，我們把定義在整個空間上的函數(shù)叫做直接利潤函數(shù)，空間叫做投入產(chǎn)出空間，其中的每一個向量都代表著一個投入產(chǎn)出過程。直接利潤函數(shù)正是投入產(chǎn)出過程的利潤函數(shù)。顯然，并非每一個投入產(chǎn)出過程都是可行的；即使可行，也不見得是有效的。當(dāng)時，投入產(chǎn)出過程是現(xiàn)有生產(chǎn)技術(shù)所不允許的或者所大不到的；當(dāng)時，投入產(chǎn)出過程雖然從生產(chǎn)技術(shù)上講是可行的，但卻是無效的(沒有達(dá)到應(yīng)有的產(chǎn)量)。只有當(dāng)時，投入產(chǎn)出過程才不但是技術(shù)允許的，而且是有效的。所以，生產(chǎn)函數(shù)曲線(曲面)代表著技術(shù)有效性，是技術(shù)有效投入產(chǎn)出過程的全體。 等利潤線 圖69 利潤最大化的幾何意義現(xiàn)在，我們可以解釋利潤最大化投入方案處生產(chǎn)函數(shù)曲線的切線的意義。為此，我們把投入產(chǎn)出空間中利潤相同的點所構(gòu)成的集合，稱為等利潤曲線。利潤最大化問題，就是直接利潤函數(shù)在約束條件下的極大值問題。因此，等利潤曲線與生產(chǎn)函數(shù)曲線的切點就是利潤最大化問題的解，其中就是利潤最大化投入方案，就是利潤最大化產(chǎn)量。可見，利潤最大化投入方案處生產(chǎn)函數(shù)曲線的切線就是等利潤曲線，它代表的利潤是技術(shù)允許的最大利潤，如圖69所示。這條等利潤曲線的方程是：。既然利潤最大化投入方案處生產(chǎn)函數(shù)曲線的切線的方程是，因而在軸方向上的切線斜率為，即為要素的價格與產(chǎn)品價格之比。4. 間接利潤函數(shù)按照利潤最大化原則組織生產(chǎn)，廠商將獲得最大利潤。這個最大利潤，是由既定的要素價格和產(chǎn)品價格所確定的：當(dāng)要素價格和產(chǎn)品價格發(fā)生變化時，最大利潤跟著發(fā)生變化。于是，給出了廠商的最大利潤同市場價格體系之間的一種對應(yīng)關(guān)系。我們把這種對應(yīng)關(guān)系稱為廠商的間接利潤函數(shù)。間接利潤函數(shù)反映了廠商的利潤水平隨價格體系變化的規(guī)律，或者說確定了價格體系決定的廠商利潤水平情況。它類似于消費者理論中的間接效用函數(shù)，在經(jīng)濟(jì)分析中相當(dāng)重要。(三) 利潤最大化與產(chǎn)品供給現(xiàn)在，我們從產(chǎn)出角度來看利潤最大化，從而引出產(chǎn)品供給。1．產(chǎn)品供給的原則從產(chǎn)出角度看利潤最大化，那么利潤最大化一階條件還可寫成：這表示：不論通過多投入哪一種生產(chǎn)要素來增加產(chǎn)品產(chǎn)量，增加一單位產(chǎn)品所需增加的收益都等于增加這一單位產(chǎn)品所增加的成本，即產(chǎn)品的邊際收益等于產(chǎn)品的邊際成本。如果產(chǎn)品的邊際收益大于產(chǎn)品的邊際成本，那么再增加產(chǎn)量是有益的；如果產(chǎn)品的邊際收益小于產(chǎn)品的邊際成本，那么減少產(chǎn)量是有益的。可見，競爭性廠商的產(chǎn)品供給原則是：產(chǎn)品的邊際收益等于產(chǎn)品的邊際成本。實際上，這條原則不但對競爭性廠商使用，而且對于非完全競爭性廠商也是使用的。這是應(yīng)為從產(chǎn)出角度看利潤，利潤函數(shù)可寫成：。利潤最大時，利潤對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)應(yīng)為零，即。所以，利潤最大化的條件也是：產(chǎn)品的邊際收益等于產(chǎn)品的邊際成本。即，廠商應(yīng)該選擇這樣的一個產(chǎn)出水平，在這個水平上再增加生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，所得到的收益增加量等于為了增加這一單位產(chǎn)品所需的增加的成本。2．產(chǎn)品供給函數(shù)在既定的價格體系下，廠商按照“邊際收益等于邊際成本”原則確定的產(chǎn)量水平，稱為廠商在價格體系下的產(chǎn)品供應(yīng)量，或者稱為均衡產(chǎn)量，或者稱為利潤最大化產(chǎn)量。當(dāng)價格體系發(fā)生變化時，產(chǎn)品供應(yīng)量跟著發(fā)生變化，于是確定了產(chǎn)品供應(yīng)量同價格體系之間的一種對應(yīng)關(guān)系，稱這種對應(yīng)關(guān)系為廠商的產(chǎn)品供給函數(shù)。顯然，產(chǎn)品供給同要素需求之間的關(guān)系為：間接利潤函數(shù)同產(chǎn)品供給和要素需求之間的關(guān)系為：在既定的價格體系下，點正是等利潤線和生產(chǎn)函數(shù)曲線的切點(如圖69所示)。稱這個點為廠商在價格體系下的均衡。3．從成本最小化角度看利潤最大化利用上一節(jié)中討論的成本函數(shù)，也能給出確定產(chǎn)品供給(利潤最大化)的一階