【導(dǎo)讀】譯、古文斷句等。兩篇現(xiàn)代文閱讀，一篇為“科學(xué)與人文”摘自。樓夢(mèng)》、《老子》、《大學(xué)》等諸多內(nèi)容。此外有一篇古代詩(shī)文閱讀《尋陸鴻漸不遇》。汰侈》部分段落譯為現(xiàn)代漢語(yǔ)。作文是材料作文，有五十分，題目為“網(wǎng)癮”?！吨袊?guó)青年報(bào)》：在過(guò)去三年里，已有近3000名網(wǎng)癮少年。在某網(wǎng)癮戒治中心接受過(guò)電擊治療。已到了革故鼎新的時(shí)刻。這些孩子開(kāi)展相應(yīng)的教育。要解決的時(shí)代課題，有效的治療手段，一定會(huì)帶來(lái)巨大的利潤(rùn)。棘手問(wèn)題都將成為科學(xué)實(shí)驗(yàn)室的目標(biāo)。際組織的英文縮寫(xiě)等。中國(guó)人是權(quán)利本位還是責(zé)任本位。農(nóng)村考生聯(lián)系密切的知識(shí)點(diǎn)。的自由權(quán)，個(gè)人的權(quán)利放在第一位，借此分庭對(duì)抗。機(jī)，引起世人關(guān)注。其中一道數(shù)學(xué)題是：根據(jù)給出的太湖水位、水面面積、平均水深等數(shù)據(jù)，在假定太湖水體是一個(gè)規(guī)則的球缺的前提下，用關(guān)鍵詞概括2020年中國(guó)的現(xiàn)狀。中國(guó)是否已步入高房?jī)r(jià)時(shí)代，你的觀點(diǎn)是什么？

　　

【正文】 __________． 8．函數(shù) 22secsec x tgxy x tgx?? ? 的值域?yàn)?______________． 9．若圓內(nèi)接四邊形 ABCD 的邊長(zhǎng) AB=4， BC=8， CD=9， DA=7，則 cosA=__________． 10．若 a,b 滿足關(guān)系： 221 1 1a b b a? ? ? ?，則 a2+b2=____________． 11． 291( 1 )2x x?? 的展開(kāi)式中 x9 的系數(shù)是 _____________． 12．當(dāng) 12a?? 時(shí)，方程 22 2 | |a x x? ? ?的相異實(shí)根個(gè)數(shù)共有_____________個(gè) ． 13．若不等式 20 5 4x ax? ? ? ?有唯一解，則 a=_______________． 14．設(shè) a,b,c 表示三角形三邊的長(zhǎng)，均為整數(shù)，且 abc??，若 b=n（正整數(shù)），則可組成這樣的三角形 ______個(gè) ． 15．有兩個(gè)二位數(shù)，它們的差是 56，它們的平方數(shù)的末兩位數(shù)字相同， 則這兩個(gè)數(shù)為 _______． 16．某市 環(huán)形 馬路上順次有第一小學(xué)至第五小學(xué)等 5 所小學(xué)，各小學(xué)分別有電腦 15， 7， 11， 3， 14 臺(tái)，現(xiàn)在為使各小學(xué)的電腦數(shù)相等，各向相鄰小學(xué)移交若干臺(tái)，且要使移交的電腦的總臺(tái)數(shù)最小，因此，從第一小學(xué)向第二小學(xué)移交了 ________臺(tái)，從第二小學(xué)向第三小學(xué)移交了 ______臺(tái)，從第五小學(xué)向第一小學(xué)移交了________臺(tái)，移動(dòng)總數(shù)是 _________臺(tái) ． 二、計(jì)算與證明題（本題共 86 分） 17．（本題 12 分）（ 1）設(shè) n 為大于 2 的整數(shù)，試用數(shù)學(xué)歸納法證明下列不等式： (1) 2 2 21 1 1 11223 nn? ? ? ? ? ?； (2)已知當(dāng) 2 s in0 1 , 1 16xxx x? ? ? ? ?時(shí) ， 試用此式與 (1)的不等式求 1 1 1 1l im ( si n 1 2 si n 3 si n si n )23n nnn?? ? ? ? ? 18．（本題 14 分）若存在實(shí)數(shù) x，使 f(x)=x，則稱 x 為 f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù) 2() xafx xb?? ? 有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn) (1) 求 a,b 須滿足的充要條件； (2) 試用 y=f(x)和 y=x 的圖形表示上述兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的位置（畫(huà)草圖） 19．（本題 14 分）欲建面積為 144m2 的長(zhǎng)方形圍欄，它的一邊靠墻（如圖），現(xiàn)有鐵絲網(wǎng) 50m，問(wèn)筑成這樣的圍欄最少要用鐵絲網(wǎng)多少米？并求此時(shí)圍欄的長(zhǎng)度 ． 20．（本題 14 分）設(shè)數(shù)列 {an}滿足關(guān)系 21 2 1 ( 1, 2 , )nna a n? ? ? ?， 若 N滿足 1( 2, 3, )NaN?? ， 試證明： (1) 1| | 1a? ； (2) 1 2cos 2Nka ??? （ k 為整數(shù)） x y 144m2 21 ．（ 本 題 16 分 ） 設(shè) ( ) | lg |, ,f x x a b? 為實(shí)數(shù)，且0 , , ( ) ( ) 2 ( )2aba b a b f a f b f ?? ? ? ?若 滿足 試寫(xiě)出 a 與 b 的關(guān)系，并證明在這一關(guān)系中存在 b 滿足 3b4 22．（本題 16 分） A 和 B 兩人擲骰子，擲出一點(diǎn)時(shí)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲，擲出不是一點(diǎn)時(shí)，由對(duì)方接著擲，第一次由 A 開(kāi)始擲，設(shè)第 n 次由 A 擲的概率是 Pn． 試求： (1) Pn+1 用 Pn表示的式子； (2) 極限 limnn P?? 2020 年上海交通大學(xué)冬令營(yíng)選拔測(cè)試數(shù)學(xué)試題 一、 填空題（本大題共 40 分，每題 4 分） 1．三次多項(xiàng)式 f(x)滿足 f(3)＝ 2f(1)，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 2，則第三個(gè)根為 ___________． 2．用長(zhǎng)度為 12 的籬笆圍成四邊形，一邊靠墻，則所圍成面積 S的最大值是 _______________． 3．已知 ,x y R?? ， x+2y＝ 1，則 22xy? 的最小值是 ______________． 4．有 4 個(gè)數(shù)，前 3 個(gè)成等比數(shù)列，后 3 個(gè)成等差數(shù)列，首末兩數(shù)和為 32，中間兩數(shù)和為 24，則 這四個(gè)數(shù)是 ___________________． 5 ． 已 知 f(x)?ax7+bx5+x2+2x?1 ， f(2)??8 ，則f(?2)?_______________． 6 ．投三個(gè)骰子，出現(xiàn)三個(gè)點(diǎn)數(shù)的乘積為偶數(shù)的概率是_______________． 7．正四面體的各個(gè)面無(wú)限延伸，把空間分為 ________________個(gè)部分． 8．有 n 個(gè)元素的集合分為兩部分，空集除外，可有 ___________種分法． 9．有一個(gè)整數(shù)的首位是 7，當(dāng) 7 換至末位時(shí)，得到的數(shù)是原數(shù)的三分之一，則原數(shù)的最小值是 ___________． 10． 100!末尾連續(xù)有 ______________個(gè)零． 二、解答題（本大題共 60 分，每題 10 分） 11．?dāng)?shù)列 {an}的 a1?1， a2?3， 3an+2?2an+1+an，求 an和 limnn a?? ． 12． 3 個(gè)自然數(shù)倒數(shù)和為 1．求所有的解． 13．已知 x1000+x999(x+1)+…+(x+1)1000 ，求 x50 的系數(shù)． 14．化簡(jiǎn)： (1) 1 1! 2 2 ! !nn? ? ? ? ? ?； (2) 1212 kn n n kC C C? ? ?? ? ?． 15．求證： 342231aa???為最簡(jiǎn)分式． 16．證明不等式 ( ) ! ( )23nnn?? ，當(dāng)自然數(shù) n≥6時(shí)成立． 復(fù)旦大學(xué) 2020 年暨保送生考試數(shù)學(xué)試題 一、填空題 (本大題共 80 分，每題 8 分 ) 1 ．函數(shù) 1 ()2y f t xx??，當(dāng) x=1 時(shí)， 2 52tyt? ? ? ，則 f(x) ＝________________． 2．方程 x2+(a?2)x+a+1?0 的兩 根 x1,x2 在圓 x2+y2?4 上，則a?_______________． 3．劃船時(shí)有 8 人，有 3 人只能劃右邊， 1 人只能劃左邊，共有________種分配方法． 4 ． A ＝ {x|log2(x2?4x?4)0} ， B ＝ {x||x+1|+|x?3|≥6} ，則AB? =_______________． 5．?dāng)?shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 ak=kpk(1?p),(p≠1)，則 Sk＝______________． 6．若 (x?1)2+(y?1)2?1，則 13yx?? 的范圍是 ___________________． 7．邊長(zhǎng)為 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60o 二面角，則 BC 中點(diǎn)與 A 的距離是 _________． 8．已知 |z1|?2， |z2|?3， |z1+z2|?4，則 12zz ?______________． 9．解方程 3log 2a x xx a? ， x＝ ________________． 10． (a0)， lim2 nnnn a a?? ? ＝ ______________． 二、解答題 (本大題共 120 分 ) 11．已知 |z|＝ 1，求 |z2+z+4|的最小值． 12 ． a1,a2,a3,…,an 是各不相同的自然數(shù)， a≥2，求證：1 2 31 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 2a a a ana a a a? ? ? ? ?． 13．已知 3sin cos 2????， cos si n 2????，求 tan cot??? 的值． 14．一矩形的一邊在 x 軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù) 21 xy x? ? (x0)的圖象上， 求此矩形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值． 15．一圓錐的底面半徑為 12，高為 16，球 O1 內(nèi)切于圓錐，球O2 內(nèi)切于圓錐側(cè)面，與球 O1 外切， ? ，以次類(lèi)推， (1) 求所有這些球的半徑 rn的通項(xiàng)公式； (2) 所 有 這 些 球 的 體 積 分 別 為 V1,V2,…,Vn,… ．求12lim ( )nn V V V?? ? ? ?． 16 ．已知數(shù)列 {an} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，1( 1 ) ( 1 1 ) ( 1 )na n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ?，求 S2020． 17．定義閉集合 S，若 ,ab S? ，則 a b S?? ， a b S?? ． (1) 舉一例，真包含于 R 的無(wú)限閉集合． (2) 求證對(duì)任意兩個(gè)閉集合 S1,S2? R，存在 cR? ，但 12c S S??． 同濟(jì)大學(xué) 2020 年暨保送生考 試數(shù)學(xué)試題 一、填空題 1． f(x)是周期為 2 的函數(shù)，在區(qū)間 [?1,1]上， f(x)?|x|，則3(2 )2fm? ?___(m為整數(shù) )． 2 ． 函 數(shù) y?cos2x?2cosx,x ∈ [0,2?] 的 單 調(diào) 區(qū) 間 是__________________． 3．函數(shù) 222y x x??的值域是 __________________． 4． 5．函數(shù) y＝ f(x)， f(x+1)?f(x)稱為 f(x)在 x 處的一階差分，記作 △y，對(duì)于 △y 在 x 處的一階差分，稱為 f(x)在 x 處的二階差分 △2y，則y＝ f(x)＝ 3xx 在 x 處的二階差分 △2y?____________． 6． 7．從 1～ 100 這 100 個(gè)自然數(shù)中取 2 個(gè)數(shù)，它們的和小于等于 50 的概率是 __________． 8．正四面體 ABCD，如圖建立直角坐標(biāo)系，O 為 A 在底面的投影，則 M 點(diǎn)坐標(biāo)是_________， CN 與 DM所成角是 _________． 9．雙曲線 x2?y2＝ 1 上一點(diǎn) P 與左右焦點(diǎn)所圍成三角形的面積___________． 10．橢圓 22143xy??在第一象限上一點(diǎn) P(x0,y0)，若過(guò) P 的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是 _________． A B C M D N O x y z 二、解答題 11．不等式 22 222lo g 03 6 4x k x kxx?? ???對(duì)于任意 x∈ R 都成立，求 k 的取值范圍． 12．不動(dòng)點(diǎn)， () bx cfx xa?? ? ． (1) 12 ,3 為不動(dòng)點(diǎn)，求 a,b,c 的關(guān)系； (2) 若 1(1) 2f ? ，求 f(x)的解析式； (3) 13．已知 s in c o s ( [ 0 , 2 ) )2 s in c o sy ?? ????????? ， (1) 求 y 的最小值； (2) 求取得最小值時(shí)的 ?． 14．正三棱柱 ABC－ A1B1C1， |AA1|?h， |BB1|?a，點(diǎn) E 從 A1 出發(fā)沿棱 A1A 運(yùn)動(dòng)，后沿 AD 運(yùn)動(dòng)，∠ A1D1E??，求過(guò) EB1C1 的平面截三棱柱所得的截面面積 S 與 ?的函數(shù)關(guān)系式． 15．已知數(shù)列 {an}滿足 11 2nnn aaa ?? ?? ． (1) 若 bn＝ an?an?1(n=2,3,…) ， 求 bn； (2) 求 1n ii b?? ； (3) 求 limnn a?? ． 16．拋物線 y2＝ 2px， (1) 過(guò)焦點(diǎn)的直線斜率為 k，交拋物線與A,B，求 |AB|． (2) 是否存在正方形 ABCD，使 C 在拋物線上， D在拋物線內(nèi)，若存在，求這樣的 k，正方形 ABCD 有什么特點(diǎn)？ B A C D A1 D1 C1 B1 上海交通大學(xué) 2020 年保送生考試數(shù)學(xué)試題 (90 分鐘 ) 一、填空題： 1． 已知 x,y,z 是非負(fù)整數(shù)，且 x+y+z=10， x+2y+3z=30， 則 x+5y+3z的范圍是 __________． 2． 長(zhǎng)為 l 的鋼絲折成三段與另一墻面合成封閉矩形，則它的面積的最大值是 _________． 3． 函數(shù) xxy co ssin ?? （ 20 ???x ）的值域是 _____________． 4． 已知 a,b,c 為三角形三邊的長(zhǎng)， b=n，且 a≤b≤c， 則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為 ________． 5． baxx ??2 和 cbxx ??2 的最大公約數(shù)為 1?x ， 最小 公 倍數(shù)為dxbxcx ????? )3()1( 23 ， 則a =______,b =_______,c =_______,d =__________． 6． 已知 21 ??a ,則方程 xxa ??? 222 的相異實(shí)根的個(gè)數(shù)是__________． 7． 8182020 )367( ? 的個(gè)