第一章-12類比推理-資料下載頁(yè)
2025-06-16 16:52本頁(yè)面
【正文】 ．若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：在六條棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，若M是△BCD的三邊中線的交點(diǎn)，O為四面體ABCD外接球的球心，則＝________.”答案 3解析 如圖，易知球心O在線段AM上，不妨設(shè)四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，外接球的半徑為R，則BM＝＝，AM＝＝，R＝，解得R＝.于是，＝＝3.11．觀察：①tan 10176。tan 20176。＋tan 20176。tan 60176。＋tan 60176。tan 10176。＝1，②tan 5176。tan 10176。＋tan 10176。tan 75176。＋tan 75176。tan 5176。＝1，由以上兩式成立能得到一個(gè)從特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推廣．解 觀察得到10176。＋20176。＋60176。＝90176。，10176。＋75176。＋5176。＝90176。，猜測(cè)推廣式子為：若α＋β＋γ＝90176。，且α，β，γ均不為kπ＋，(k∈Z)，則tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.證明 由α＋β＋γ＝，得α＋β＝－γ，∵tan(α＋β)＝tan＝，tan(α＋β)＝，∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝(1－tan αtan β)∴tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.12．(1)橢圓C：＋＝1(ab0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：為定值b2－a2.(2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線－＝1(a0，b0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證為定值，請(qǐng)寫出這個(gè)定值(不要求寫出解題過(guò)程)．解 (1)證明如下：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，(x0≠177。a)，依題意，得A(－a,0)，B(a,0)．所以直線PA的方程為y＝(x＋a)．令x＝0，得yM＝，同理得yN＝－，所以yMyN＝.又點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，所以＋＝1，因此y＝(a2－x)，所以yMyN＝＝b2.因?yàn)椋?a，yN)，＝(－a，yM)，所以＝－a2＋yMyN＝b2－a2.(2)－(a2＋b2)．三、探究與創(chuàng)新13.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α、β，則cos2α＋cos2β＝1，則在立體幾何中，給出類比猜想．解 在長(zhǎng)方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.于是類比到長(zhǎng)方體中，猜想其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為α、β、γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.證明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2＝＝＝1
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