【正文】 即為點 M ， N PM ＋ MN ＋PN ＝ P ′ P ″ ，兩點之間，線段最短． 問題 作法 圖形 原理 在直線 l1， l2上分別求點 M ， N ，使四邊形PMN Q 的周長最小 分別作點 P ， Q 關(guān)于直線 l1， l2的對稱點 P ′ ， Q ′ ，連接P ′ Q ′ ，與直線的交點即為點 M ， N PQ ＋ PM ＋MN ＋ NQ ＝ PQ ＋P ′ Q ′ ，兩點之間，線段最短． 問題 作法 圖形 原理 在直線 l 上求點 P ，使| AP － BP |最大 連接 BA 并延長，與直線 l 的交點即為點 P | AP － BP |＝AB ，三角形任意兩邊之差小于第三邊 問題 作法 圖形 原理 在直線 l 上求點 P ，使| AP － BP |最大 作點 B 關(guān)于直線l 的對稱點 B ′ ，作直線 AB ′ 與直線 l 的交點即為點 P | AP － BP |＝AB ，三角形任意兩邊之差小于第三邊 問題 作法 圖形 原理 在直線 l 上求點 P ，使| PA － PB |最小 . 連接 AB ，作 AB的中垂線，與 l的交點即為點 P | PA － PB |＝ 0 ，垂直平分線上的點與線段兩端點距離相等 問題 作法 圖形 原理 點 P 在銳角 ∠ AOB 的內(nèi)部，在 OB 邊上求作一點D ，在 OA 邊上求作一點C ，使 PD ＋ CD 最小 作點 P 關(guān)于直線OB 的對稱點 P ′ ，過點 P ′ 向直線OA 作垂線，與 OB的交點為所求點D ，垂足即為點 C PD ＋ CD 的最小值為P ′ C 的長度．點到直線的距離，垂線段最短 問題 作法 圖形 原理 在直線 l 上求兩點 M ，N ( 點 M 在點 N 左側(cè) ) ，使得 MN ＝ a ，并使 AM＋ MN ＋ NB 最小 將點 A 向右平移 a 個單位到點 A ′ ，作點 A ′ 關(guān)于直線 l 的對稱點 A ′ ，連接 A ″ B ， A ″ B 與直線 l交點即為點 N ，將點 N 向左平移 a 個單位即為點M AM ＋ MN＋ NB ＝ a＋ A ″ B ，兩點之間，線段最短 例 6 如圖 ， 直線 y＝－ x＋ 3分別與 x軸 、 y軸相交于 A， B兩點 ， 經(jīng)過 A， B兩點的拋物線 y＝－ x2＋ bx＋ c與 x軸的另一交點為 C． (1)求拋物線的解析式； 根據(jù)題意可得 B(0,3)， A(3,0)， 將 A(3,0)， B(0,3)代入 y＝－ x2＋ bx＋ c， 即可得到拋物線的解析式 ． 思路點撥 【解答】 根據(jù)題意可得 B ( 0,3) ， 令－ x ＋ 3 ＝ 0 ，解得 x ＝ 3 ，即 A ( 3, 0) ． 將 A ( 3,0) ， B ( 0,3) 代入 y ＝－ x2＋ bx ＋ c ， 得????? － 9 ＋ 3 b ＋ c ＝ 0 ，c ＝ 3 ，解得????? b ＝ 2 ，c ＝ 3 ， ∴ 拋物線的解析式為 y ＝－ x2＋ 2 x ＋ 3. (2)點 D為線段 AO上的一動點 ， 過點 D作 x軸的垂線 PD， PD分別與拋物線 y＝－ x2＋ bx＋ y＝－ x＋ 3相交于 P， E兩點 ， 設(shè) D的橫坐標(biāo)為 D的運動過程中 ，求線段 PE的最大值； 由點 D的橫坐標(biāo)為 m， 用系數(shù) m表示出點 P， E的縱坐標(biāo) ， 從而用系數(shù) m表示 PE的長度 ， 利用配方法求出 PE的最大值 ． 思路點撥 【解答】 ∵ 點 D 的橫坐標(biāo)為 m ， ∴ 點 P 的縱坐標(biāo)為－ m2＋ 2 m ＋ 3 ，點 E 的縱坐標(biāo)為－ m ＋ 3 ， ∴ PE ＝ ( － m2＋ 2 m ＋ 3) － ( － m ＋ 3) ＝－ m2＋ 3 m ＝－ ( m －32)2＋94， 當(dāng) m ＝32， PE 的最大值為94. (3)在 (2)的條件下 ， 當(dāng) PE＝ AE時 ， 求點 P的坐標(biāo)； 易得 OA＝ OB的值 ， 從而 tan∠ OAB＝ 1， 即 ∠ BAO＝ 45176。 ， 得到 PE＝ AE＝ (3－m)， 求出 m的值 ， 即可得點 P的坐標(biāo) ． 思路點撥 【解答】 易得 OA ＝ OB ＝ 3 ， AD ＝ 3 － m ， ∴ t an ∠ OA B ＝ 1 ，即 ∠ BAO ＝ 45176。 ， ∴ c os ∠ OAB ＝22，即ADAE＝22， ∴ PE ＝ AE ＝ 2 (3 － m ) ，即－ m2＋ 3 m ＝ 2 (3 － m ) ， 解得 m1＝ 2 ， m2＝ 3 ( 舍去 ) ， ∴ P ( 2 ， 2 ＋ 1) ． (4)在 (2)的條件下 ， 當(dāng)線段 PE最長時 ， Q為 PD上一點 ， 是否 存在 BQ＋ CQ的值最小的情況 ？ 若存在 ， 請求出點 Q的坐標(biāo)；若不存在 ， 請說明理由； 思路點撥 令－ x2＋ 2 x ＋ 3 ＝ 0 ，得到點 C 的坐標(biāo)，由 ( 2) 知 m ＝32時 PE 最長．作點 C 關(guān)于直線 x ＝32的對稱點 M ，連接 BM ， BM 與 PD 相交于點 Q ，此時， BQ ＋ CQ 的值最小，可得點 M 的坐標(biāo)，由 M ， B 兩點坐標(biāo)得直線 BM 的解析式，即可得點 Q 的坐標(biāo)． 【解答】 令－ x2＋ 2 x ＋ 3 ＝ 0 ， 解得 x1＝ 1 ， x2＝ 3 ，即點 C 的坐標(biāo)為 ( － 1,0) ． 由 ( 2) 知當(dāng) m ＝32時，線段 PE 最長． 如答圖，作點 C 關(guān)于直線 x ＝32的對稱點 M ， 連接 BM ， BM 與 PD 相交于點 Q ， 此時， BQ ＋ CQ 的值最小， 答圖 可得點 M 的坐標(biāo)為 ( 4,0 ) ， 由 M ( 4,0) ， B ( 0,3) 得直線 BM 的解析式為 y ＝－34x ＋ 3 ， 當(dāng) x ＝32時 ， y ＝－3432＋ 3 ＝1 58， 即點 Q 的坐標(biāo)為 (32，158) ． (5)若 M為拋物線對稱軸上一動點 ， 求 △ BCM周長的最小值及此時點 M的坐標(biāo)； 思路點撥 可得拋物線的對稱軸為直線 x＝ 1， 由拋物線的軸對稱可知 ， A， C兩點關(guān)于直線x＝ 1對稱；連接 AB， 則直線 AB與直線 x＝ 1的交點為 M；此時 ， △ BCM周長最小 ， 由(2)(3)可得 OC， OB， OA的值 ， 由勾股定理可得 BC， AB的值 ， 得到 △ BCM周長的最小值 ， 將 x＝ 1代入 y＝－ x＋ 3， 即可得到點 M的坐標(biāo) ． 【解答】 易得拋物線的對稱軸為直線 x ＝ 1 ， 由拋物線的軸對稱可知， A ， C 兩點關(guān)于直線 x ＝ 1 對稱， 連接 AB ，則直線 AB 與直線 x ＝ 1 的交點為 M ， 此時， △ BCM 周長最小，即 C △BCM＝ BC ＋ MC ＋ BM ＝ BC ＋ AB ， 由 (2) (3) 可得 OC ＝ 1 ， OB ＝ 3 ， OA ＝ 3 ， 由勾股定理可得 BC ＝ 10 ， AB ＝ 3 2 ， ∴△ BCM 周長的最小值為 10 ＋ 3 2 ， 將 x ＝ 1 代入 y ＝－ x ＋ 3 ， 得 y ＝－ 1 ＋ 3 ＝ 2 ，即點 M 的坐標(biāo)為 (1,2) ． (6)若 M， N為拋物線對稱軸上的兩點 (點 M在點 N的上方 )， 且 MN＝ 1， 當(dāng)四邊形BCNM的周長最小值時 ， 求點 M， N的坐標(biāo) ． 思路點撥 在 y 軸上取點 K ，使 BK ＝ MN ＝ 1 ，可得 K 的坐標(biāo)，連接 AK ，可求得直線 AK的解析式，將 x ＝ 1 代入 y ＝－23 x ＋ 2 ，得 y 的值，即可得到點 M ， N 的坐標(biāo)． 【解答】 在 y 軸上取點 K ，使 BK ＝ MN ＝ 1 ， 可得點 K 的坐標(biāo)為 ( 0,2) ， 連接 AK ，可求得直線 AK 的解析式為 y ＝－23x ＋ 2 ， 將 x ＝ 1 代入 y ＝－23x ＋ 2 ，得 y ＝－23x ＋ 2 ＝43， ∴ 點 N 的坐標(biāo)為 (1 ，43) ，點 M 的坐標(biāo)為 (1 ，73) ．