【正文】 落至L處，小球克服準(zhǔn)彈性力所作的功等于準(zhǔn)彈性力對(duì)小球作的負(fù)功，所以（2）小球克服準(zhǔn)彈性力所作的功就是重力對(duì)小球所作的功，等于小球位能的減少，所以 則 實(shí)驗(yàn)測(cè)出：L及m、V、p0、A，即可求得 ，與上題測(cè)之法相比，此法的優(yōu)點(diǎn)是，測(cè)L比測(cè)T更精密，且測(cè)L時(shí) 的誤差卻與L的一次方有關(guān)，而測(cè)T時(shí) 的誤差卻與T的二次方有關(guān)。5－，用絕熱壁作成一圓柱形的容器。在容器中間置放一無(wú)摩擦的、絕熱的可動(dòng)活 塞?；钊麅蓚?cè)各有n 摩爾的理想氣體，開(kāi)始狀態(tài)均為p0、V0、T0。設(shè)氣體定容摩爾熱容量Cv為常數(shù)， =將一通電線圈放到活塞左側(cè)氣體中，對(duì)氣體緩慢地加熱，左側(cè)氣體膨脹同時(shí)通過(guò)活塞壓縮右方氣體，最后使右方氣體壓強(qiáng)增為 p0。問(wèn)：（1）對(duì)活塞右側(cè)氣體作了多少功？（2）右側(cè)氣體的終溫是多少？（3）左側(cè)氣體的終溫是多少？（4）左側(cè)氣體吸收了多少熱量？解：（1）設(shè)終態(tài)，左右兩側(cè)氣體和體積、溫度分別為V左、V右、T左、T右，兩側(cè)氣體的壓強(qiáng)均為 p0對(duì)右側(cè)氣體，由p0 =p右 得 則 外界（即左側(cè)氣體）對(duì)活塞右側(cè)氣體作的功為（2） （3） （4）由熱一左側(cè)氣體吸熱為5－，在這設(shè)備中有液體穩(wěn)定流動(dòng)。在設(shè)備入口處取一小塊液體，其壓強(qiáng)為p1，體積為V1,流速為C1。離地面的高度為Z1。在出口時(shí)該流塊的相應(yīng)各量為P2。、VC2和Z2 （1）根據(jù)（）式寫(xiě)出這小流塊熱力學(xué)第一定律的表達(dá)式. (2)以小流塊入口處為初態(tài),出口處終為態(tài),證明小流塊在從流進(jìn)到流出這一有限過(guò)程中熱力學(xué)第一定律的表達(dá)式為 (3)證明上式又可寫(xiě)為 以上是對(duì)單位質(zhì)量流體寫(xiě)出的公式,q是單位質(zhì)量流塊從外界吸收的熱量,h是單位質(zhì)量流塊的焓, a39。輸出表示就單位質(zhì)量流體而言機(jī)器對(duì)外部所作的功(注意若機(jī)器輸出的功為正,則a39。輸出0). 證:(1)對(duì)于穩(wěn)定流動(dòng)的流體,雖然整個(gè)系統(tǒng)處于非平衡態(tài),但任一微小流塊可近似為處于平衡態(tài),其內(nèi)能為U,設(shè)其質(zhì)量為m,則動(dòng)能K= 對(duì)于小流塊的微元過(guò)程,其熱力學(xué)第一定律的表達(dá)式由()式給出:由于不流塊處在重力場(chǎng)中,外部對(duì)小流塊作的功 中還應(yīng)包括重力對(duì)小流塊作的功mgdz,即 其中dA是除重力外外部對(duì)小流塊的微功.小流塊在微元過(guò)程中熱力學(xué)第一定律的表達(dá)式為: (1)(2)(1)式或?yàn)?注意到 ,由初態(tài)到終態(tài)積分上式,即得小流塊從流進(jìn)到流出的過(guò)程中熱力學(xué)第一定律的表達(dá)式, (2) (3)(2)式中的A包括兩部分:周圍液體對(duì)小流塊作的功 ,其中 是流入時(shí)外界對(duì)小流塊作的正功, 是流出時(shí)外界對(duì)小流塊作的負(fù)功.由于小流塊對(duì)外作功 ,則A`中包括 綜之, 代入(2)式,有: 注意到H=U+Pv=mh, = ,Q=mq,以m除上式,即得: 527 圖527所示為一摩爾單原子理想氣體所經(jīng)歷的循環(huán)過(guò)程, 解:AB,CA為吸引過(guò)程,BC為放熱過(guò)程. 又 且 故 %528 圖528(TV圖)所示為一理想氣體( 已知)(T, )和B點(diǎn)的狀態(tài)參量(T, )均為已知. (1)氣體在A B,B C兩過(guò)程中各和外界交換熱量嗎?是放熱還是吸熱? (2)求C點(diǎn)的狀態(tài)參量 (3)這個(gè)循環(huán)是不是卡諾循環(huán)? (4)求這個(gè)循環(huán)的效率.解:(1)A B是等溫膨脹過(guò)程,氣體從外界吸熱,B C是等容降溫過(guò)程,氣體向外界放熱. 從 又得 (3)不是卡諾循環(huán) (4) = = 529 設(shè)燃?xì)鉁u輪機(jī)內(nèi)工質(zhì)進(jìn)行如圖529的循環(huán)過(guò)程,其中12,34為絕熱過(guò)程。23, 為 又可寫(xiě)為 其中 , 為常數(shù). 證:循環(huán)中,工質(zhì)僅在23過(guò)程中吸熱, 循環(huán)中,工質(zhì)僅在41過(guò)程中放熱 循環(huán)效率為 從兩個(gè)絕熱過(guò)程,有 或 或 由等比定理 又可寫(xiě)為 530 圖530所示為理想氣體經(jīng)在的循環(huán)過(guò)程,設(shè) 為已知試證明 證:如圖,由兩等溫過(guò)程可得 兩式相除有 即 若本題由兩個(gè)等容過(guò)程和兩個(gè)絕熱過(guò)程組成循環(huán),結(jié)論不變.531 圖531中ABCD為一摩爾理想氣體氦的循環(huán)過(guò)程, ,體積為 ,C點(diǎn)的壓強(qiáng)為 , 解:DA和AB兩過(guò)程吸熱, = = = BC和CD兩過(guò)程放熱 = = = %532 氣體可看作理想氣體. 解:529題已證出: 由此 燃燒50kg汽油,工質(zhì)吸收的熱量為= 50= 533 一制冷機(jī)工質(zhì)進(jìn)行如圖533所示的循環(huán)過(guò)程,其中ab,cd分別是溫度為 , 的等溫過(guò)程。cb,證明這制冷機(jī)的制冷系數(shù)為 證:ab,cd兩過(guò)程放熱, 而 Cd,da兩過(guò)程吸熱, ,而 則循環(huán)中外界對(duì)系統(tǒng)作的功為 從低溫?zé)嵩?1,(被致冷物體)吸收的熱量為 制冷系數(shù)為 證明過(guò)程中可見(jiàn),由于 ,在計(jì)算 時(shí)可不考慮bc及da兩過(guò)程.534 絕熱壓縮系數(shù) 的定義是 ,其中 表示物質(zhì)P,V的經(jīng)過(guò)絕熱過(guò)程的微量改變(變?yōu)?).設(shè)物質(zhì)為理想氣體,且服從絕熱過(guò)程方程 .略去二級(jí)無(wú)窮小量,證明該理想氣體的 證:設(shè)氣體由狀態(tài)(P,V)經(jīng)絕熱微過(guò)程變到狀態(tài)() ,由絕熱方程,有 兩邊同除以,上式可整理為 (1)由于 ,利于二項(xiàng)式公式 忽略二級(jí)無(wú)窮小量,則 代入(1)式: 整理之 535 理論上可以證明,在液體或氣體中傳播的聲速C= ,其中 為物質(zhì)密度,= ,并有C= .試討論由聲速測(cè)定的可能性及誤差的來(lái)源.證:由上題結(jié)果,理想氣體的 由 有 上式或?yàn)? 可見(jiàn),只要測(cè)得聲速C,溫度T,對(duì)已u知的某種氣體,其 與C的二次方有關(guān),所以聲速的測(cè)量誤差是誤差的主要來(lái)源,另外,誤差還來(lái)源于:實(shí)際氣體并非理想氣體,實(shí)際過(guò)程并非準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程,等.第六章 熱力學(xué)第二定律61 設(shè)每小時(shí)能造冰m克，則m克25℃的水變成 －18℃的水要放出的熱量為 25m+80m+18m=114m有熱平衡方程得 114m=36002922 ∴ m=104克=22千克 由圖 試證明：任意循環(huán)過(guò)程的效率，不可能大于工作于它所經(jīng)歷的最高熱源溫度與最低熱溫源溫度之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。（提示：先討論任一可逆循環(huán)過(guò)程，并以一連串微小的可逆卡諾循環(huán)過(guò)程。如以Tm和Tn分別代表這任一可循環(huán)所經(jīng)歷的最高熱源溫度和最低熱源溫度。試分析每一微小卡諾循環(huán)效率與 的關(guān)系）證：（1）d當(dāng)任意循環(huán)可逆時(shí)。用圖中封閉曲線R表示，而R可用圖中一連串微笑的可逆卡諾循環(huán)來(lái)代替，這是由于考慮到：任兩相鄰的微小可逆卡諾循環(huán)有一總，環(huán)段絕熱線是共同的，但進(jìn)行方向相反從而效果互相抵消，因而這一連串微小可逆卡諾循環(huán)的總效果就和圖中鋸齒形路徑所表示的循環(huán)相同；當(dāng)每個(gè)微小可逆卡諾循環(huán)無(wú)限小而趨于數(shù)總無(wú)限多時(shí)，其極限就趨于可逆循環(huán)R?？紤]人一微小可逆卡諾循 （187完）環(huán)，如圖中陰影部分所示，系統(tǒng)從高溫?zé)嵩碩i吸熱Qi，向低溫?zé)嵩碩i放熱，對(duì)外做功，則效率 任意可逆循環(huán)R的效率為 A為循環(huán)R中對(duì)外作的總功 （1）又，Tm和Tn是任意循環(huán)所經(jīng)歷的最高溫?zé)嵩春妥畹蜏責(zé)嵩吹臏囟?∴對(duì)任一微小可逆卡諾循，必有： Ti≤Tm， Ti≥Tn或 或 令 表示熱源Tm和Tn之間的可逆卡諾循環(huán)的效率，上式為 將（2）式代入(1)式：或 或 （188完）即任意循環(huán)可逆時(shí)，其效率不大于它所機(jī)靈的最高溫?zé)嵩碩m和最低溫度熱源Tn之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。（2）任意循環(huán)不可逆時(shí)，可用一連串微小的不可逆卡諾循環(huán)來(lái)代替，由于諾定理知，任一微小的不可逆卡諾循環(huán)的效率必小于可逆時(shí)的效率，即 （3）對(duì)任一微小的不可逆卡諾循環(huán)，也有 (4)將(3)式代入(4)式可得： 即任意不可逆循環(huán)的效率必小于它所經(jīng)歷的最高溫?zé)嵩碩m和最低溫?zé)嵩碩n之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。綜之，必 即任意循環(huán)的效率不可能大于它所經(jīng)歷的最高溫?zé)嵩春妥畹蜏責(zé)嵩粗g的可逆卡諾循環(huán)的效率。*68 若準(zhǔn)靜態(tài)卡循環(huán)中的工作物質(zhì)不是理想氣體而是服從狀態(tài)方程p(vb)=RT。式證明這可逆卡諾循環(huán)的效率公式任為 證：此物種的可逆卡諾循環(huán)如圖。等溫膨脹過(guò)程中，該物質(zhì)從高溫?zé)嵩碩1吸熱為等溫壓縮過(guò)程中，該物質(zhì)向低溫?zé)嵩捶艧釣?（189完）由第五章習(xí)題13知，該物質(zhì)的絕熱過(guò)程方程為 利用 可得其絕熱方程的另一表達(dá)式子 由絕熱線23及14得 兩式相比得 ∴ 該物質(zhì)卡諾循環(huán)的效率為 可見(jiàn)，工作于熱源T1和T2之間的可逆機(jī)的效率總為1－ ，與工作物質(zhì)無(wú)關(guān)，這正是卡諾定理所指出的。 69 (1)利用（）式證明，對(duì)一摩爾范德瓦耳斯氣體有 （2）由(1) 證明：160