【正文】 落至L處，小球克服準彈性力所作的功等于準彈性力對小球作的負功，所以（2）小球克服準彈性力所作的功就是重力對小球所作的功，等于小球位能的減少，所以 則 實驗測出：L及m、V、p0、A，即可求得 ，與上題測之法相比，此法的優(yōu)點是，測L比測T更精密，且測L時 的誤差卻與L的一次方有關(guān)，而測T時 的誤差卻與T的二次方有關(guān)。5－，用絕熱壁作成一圓柱形的容器。在容器中間置放一無摩擦的、絕熱的可動活 塞?；钊麅蓚?cè)各有n 摩爾的理想氣體，開始狀態(tài)均為p0、V0、T0。設(shè)氣體定容摩爾熱容量Cv為常數(shù)， =將一通電線圈放到活塞左側(cè)氣體中，對氣體緩慢地加熱，左側(cè)氣體膨脹同時通過活塞壓縮右方氣體，最后使右方氣體壓強增為 p0。問：（1）對活塞右側(cè)氣體作了多少功？（2）右側(cè)氣體的終溫是多少？（3）左側(cè)氣體的終溫是多少？（4）左側(cè)氣體吸收了多少熱量？解：（1）設(shè)終態(tài)，左右兩側(cè)氣體和體積、溫度分別為V左、V右、T左、T右，兩側(cè)氣體的壓強均為 p0對右側(cè)氣體，由p0 =p右 得 則 外界（即左側(cè)氣體）對活塞右側(cè)氣體作的功為（2） （3） （4）由熱一左側(cè)氣體吸熱為5－，在這設(shè)備中有液體穩(wěn)定流動。在設(shè)備入口處取一小塊液體，其壓強為p1，體積為V1,流速為C1。離地面的高度為Z1。在出口時該流塊的相應(yīng)各量為P2。、VC2和Z2 （1）根據(jù)（）式寫出這小流塊熱力學(xué)第一定律的表達式. (2)以小流塊入口處為初態(tài),出口處終為態(tài),證明小流塊在從流進到流出這一有限過程中熱力學(xué)第一定律的表達式為 (3)證明上式又可寫為 以上是對單位質(zhì)量流體寫出的公式,q是單位質(zhì)量流塊從外界吸收的熱量,h是單位質(zhì)量流塊的焓, a39。輸出表示就單位質(zhì)量流體而言機器對外部所作的功(注意若機器輸出的功為正,則a39。輸出0). 證:(1)對于穩(wěn)定流動的流體,雖然整個系統(tǒng)處于非平衡態(tài),但任一微小流塊可近似為處于平衡態(tài),其內(nèi)能為U,設(shè)其質(zhì)量為m,則動能K= 對于小流塊的微元過程,其熱力學(xué)第一定律的表達式由()式給出:由于不流塊處在重力場中,外部對小流塊作的功 中還應(yīng)包括重力對小流塊作的功mgdz,即 其中dA是除重力外外部對小流塊的微功.小流塊在微元過程中熱力學(xué)第一定律的表達式為: (1)(2)(1)式或為 注意到 ,由初態(tài)到終態(tài)積分上式,即得小流塊從流進到流出的過程中熱力學(xué)第一定律的表達式, (2) (3)(2)式中的A包括兩部分:周圍液體對小流塊作的功 ,其中 是流入時外界對小流塊作的正功, 是流出時外界對小流塊作的負功.由于小流塊對外作功 ,則A`中包括 綜之, 代入(2)式,有: 注意到H=U+Pv=mh, = ,Q=mq,以m除上式,即得: 527 圖527所示為一摩爾單原子理想氣體所經(jīng)歷的循環(huán)過程, 解:AB,CA為吸引過程,BC為放熱過程. 又 且 故 %528 圖528(TV圖)所示為一理想氣體( 已知)(T, )和B點的狀態(tài)參量(T, )均為已知. (1)氣體在A B,B C兩過程中各和外界交換熱量嗎?是放熱還是吸熱? (2)求C點的狀態(tài)參量 (3)這個循環(huán)是不是卡諾循環(huán)? (4)求這個循環(huán)的效率.解:(1)A B是等溫膨脹過程,氣體從外界吸熱,B C是等容降溫過程,氣體向外界放熱. 從 又得 (3)不是卡諾循環(huán) (4) = = 529 設(shè)燃氣渦輪機內(nèi)工質(zhì)進行如圖529的循環(huán)過程,其中12,34為絕熱過程。23, 為 又可寫為 其中 , 為常數(shù). 證:循環(huán)中,工質(zhì)僅在23過程中吸熱, 循環(huán)中,工質(zhì)僅在41過程中放熱 循環(huán)效率為 從兩個絕熱過程,有 或 或 由等比定理 又可寫為 530 圖530所示為理想氣體經(jīng)在的循環(huán)過程,設(shè) 為已知試證明 證:如圖,由兩等溫過程可得 兩式相除有 即 若本題由兩個等容過程和兩個絕熱過程組成循環(huán),結(jié)論不變.531 圖531中ABCD為一摩爾理想氣體氦的循環(huán)過程, ,體積為 ,C點的壓強為 , 解:DA和AB兩過程吸熱, = = = BC和CD兩過程放熱 = = = %532 氣體可看作理想氣體. 解:529題已證出: 由此 燃燒50kg汽油,工質(zhì)吸收的熱量為= 50= 533 一制冷機工質(zhì)進行如圖533所示的循環(huán)過程,其中ab,cd分別是溫度為 , 的等溫過程。cb,證明這制冷機的制冷系數(shù)為 證:ab,cd兩過程放熱, 而 Cd,da兩過程吸熱, ,而 則循環(huán)中外界對系統(tǒng)作的功為 從低溫?zé)嵩?1,(被致冷物體)吸收的熱量為 制冷系數(shù)為 證明過程中可見,由于 ,在計算 時可不考慮bc及da兩過程.534 絕熱壓縮系數(shù) 的定義是 ,其中 表示物質(zhì)P,V的經(jīng)過絕熱過程的微量改變(變?yōu)?).設(shè)物質(zhì)為理想氣體,且服從絕熱過程方程 .略去二級無窮小量,證明該理想氣體的 證:設(shè)氣體由狀態(tài)(P,V)經(jīng)絕熱微過程變到狀態(tài)() ,由絕熱方程,有 兩邊同除以,上式可整理為 (1)由于 ,利于二項式公式 忽略二級無窮小量,則 代入(1)式: 整理之 535 理論上可以證明,在液體或氣體中傳播的聲速C= ,其中 為物質(zhì)密度,= ,并有C= .試討論由聲速測定的可能性及誤差的來源.證:由上題結(jié)果,理想氣體的 由 有 上式或為: 可見,只要測得聲速C,溫度T,對已u知的某種氣體,其 與C的二次方有關(guān),所以聲速的測量誤差是誤差的主要來源,另外,誤差還來源于:實際氣體并非理想氣體,實際過程并非準靜態(tài)絕熱過程,等.第六章 熱力學(xué)第二定律61 設(shè)每小時能造冰m克，則m克25℃的水變成 －18℃的水要放出的熱量為 25m+80m+18m=114m有熱平衡方程得 114m=36002922 ∴ m=104克=22千克 由圖 試證明：任意循環(huán)過程的效率，不可能大于工作于它所經(jīng)歷的最高熱源溫度與最低熱溫源溫度之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。（提示：先討論任一可逆循環(huán)過程，并以一連串微小的可逆卡諾循環(huán)過程。如以Tm和Tn分別代表這任一可循環(huán)所經(jīng)歷的最高熱源溫度和最低熱源溫度。試分析每一微小卡諾循環(huán)效率與 的關(guān)系）證：（1）d當(dāng)任意循環(huán)可逆時。用圖中封閉曲線R表示，而R可用圖中一連串微笑的可逆卡諾循環(huán)來代替，這是由于考慮到：任兩相鄰的微小可逆卡諾循環(huán)有一總，環(huán)段絕熱線是共同的，但進行方向相反從而效果互相抵消，因而這一連串微小可逆卡諾循環(huán)的總效果就和圖中鋸齒形路徑所表示的循環(huán)相同；當(dāng)每個微小可逆卡諾循環(huán)無限小而趨于數(shù)總無限多時，其極限就趨于可逆循環(huán)R?？紤]人一微小可逆卡諾循 （187完）環(huán)，如圖中陰影部分所示，系統(tǒng)從高溫?zé)嵩碩i吸熱Qi，向低溫?zé)嵩碩i放熱，對外做功，則效率 任意可逆循環(huán)R的效率為 A為循環(huán)R中對外作的總功 （1）又，Tm和Tn是任意循環(huán)所經(jīng)歷的最高溫?zé)嵩春妥畹蜏責(zé)嵩吹臏囟?∴對任一微小可逆卡諾循，必有： Ti≤Tm， Ti≥Tn或 或 令 表示熱源Tm和Tn之間的可逆卡諾循環(huán)的效率，上式為 將（2）式代入(1)式：或 或 （188完）即任意循環(huán)可逆時，其效率不大于它所機靈的最高溫?zé)嵩碩m和最低溫度熱源Tn之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。（2）任意循環(huán)不可逆時，可用一連串微小的不可逆卡諾循環(huán)來代替，由于諾定理知，任一微小的不可逆卡諾循環(huán)的效率必小于可逆時的效率，即 （3）對任一微小的不可逆卡諾循環(huán)，也有 (4)將(3)式代入(4)式可得： 即任意不可逆循環(huán)的效率必小于它所經(jīng)歷的最高溫?zé)嵩碩m和最低溫?zé)嵩碩n之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。綜之，必 即任意循環(huán)的效率不可能大于它所經(jīng)歷的最高溫?zé)嵩春妥畹蜏責(zé)嵩粗g的可逆卡諾循環(huán)的效率。*68 若準靜態(tài)卡循環(huán)中的工作物質(zhì)不是理想氣體而是服從狀態(tài)方程p(vb)=RT。式證明這可逆卡諾循環(huán)的效率公式任為 證：此物種的可逆卡諾循環(huán)如圖。等溫膨脹過程中，該物質(zhì)從高溫?zé)嵩碩1吸熱為等溫壓縮過程中，該物質(zhì)向低溫?zé)嵩捶艧釣?（189完）由第五章習(xí)題13知，該物質(zhì)的絕熱過程方程為 利用 可得其絕熱方程的另一表達式子 由絕熱線23及14得 兩式相比得 ∴ 該物質(zhì)卡諾循環(huán)的效率為 可見，工作于熱源T1和T2之間的可逆機的效率總為1－ ，與工作物質(zhì)無關(guān)，這正是卡諾定理所指出的。 69 (1)利用（）式證明，對一摩爾范德瓦耳斯氣體有 （2）由(1) 證明：160