【正文】 落至L處，小球克服準彈性力所作的功等于準彈性力對小球作的負功，所以（2）小球克服準彈性力所作的功就是重力對小球所作的功，等于小球位能的減少，所以 則 實驗測出：L及m、V、p0、A，即可求得 ，與上題測之法相比，此法的優(yōu)點是，測L比測T更精密，且測L時 的誤差卻與L的一次方有關，而測T時 的誤差卻與T的二次方有關。5－，用絕熱壁作成一圓柱形的容器。在容器中間置放一無摩擦的、絕熱的可動活 塞?；钊麅蓚雀饔衝 摩爾的理想氣體，開始狀態(tài)均為p0、V0、T0。設氣體定容摩爾熱容量Cv為常數(shù)， =將一通電線圈放到活塞左側氣體中，對氣體緩慢地加熱，左側氣體膨脹同時通過活塞壓縮右方氣體，最后使右方氣體壓強增為 p0。問：（1）對活塞右側氣體作了多少功？（2）右側氣體的終溫是多少？（3）左側氣體的終溫是多少？（4）左側氣體吸收了多少熱量？解：（1）設終態(tài)，左右兩側氣體和體積、溫度分別為V左、V右、T左、T右，兩側氣體的壓強均為 p0對右側氣體，由p0 =p右 得 則 外界（即左側氣體）對活塞右側氣體作的功為（2） （3） （4）由熱一左側氣體吸熱為5－，在這設備中有液體穩(wěn)定流動。在設備入口處取一小塊液體，其壓強為p1，體積為V1,流速為C1。離地面的高度為Z1。在出口時該流塊的相應各量為P2。、VC2和Z2 （1）根據(jù)（）式寫出這小流塊熱力學第一定律的表達式. (2)以小流塊入口處為初態(tài),出口處終為態(tài),證明小流塊在從流進到流出這一有限過程中熱力學第一定律的表達式為 (3)證明上式又可寫為 以上是對單位質量流體寫出的公式,q是單位質量流塊從外界吸收的熱量,h是單位質量流塊的焓, a39。輸出表示就單位質量流體而言機器對外部所作的功(注意若機器輸出的功為正,則a39。輸出0). 證:(1)對于穩(wěn)定流動的流體,雖然整個系統(tǒng)處于非平衡態(tài),但任一微小流塊可近似為處于平衡態(tài),其內能為U,設其質量為m,則動能K= 對于小流塊的微元過程,其熱力學第一定律的表達式由()式給出:由于不流塊處在重力場中,外部對小流塊作的功 中還應包括重力對小流塊作的功mgdz,即 其中dA是除重力外外部對小流塊的微功.小流塊在微元過程中熱力學第一定律的表達式為: (1)(2)(1)式或為 注意到 ,由初態(tài)到終態(tài)積分上式,即得小流塊從流進到流出的過程中熱力學第一定律的表達式, (2) (3)(2)式中的A包括兩部分:周圍液體對小流塊作的功 ,其中 是流入時外界對小流塊作的正功, 是流出時外界對小流塊作的負功.由于小流塊對外作功 ,則A`中包括 綜之, 代入(2)式,有: 注意到H=U+Pv=mh, = ,Q=mq,以m除上式,即得: 527 圖527所示為一摩爾單原子理想氣體所經歷的循環(huán)過程, 解:AB,CA為吸引過程,BC為放熱過程. 又 且 故 %528 圖528(TV圖)所示為一理想氣體( 已知)(T, )和B點的狀態(tài)參量(T, )均為已知. (1)氣體在A B,B C兩過程中各和外界交換熱量嗎?是放熱還是吸熱? (2)求C點的狀態(tài)參量 (3)這個循環(huán)是不是卡諾循環(huán)? (4)求這個循環(huán)的效率.解:(1)A B是等溫膨脹過程,氣體從外界吸熱,B C是等容降溫過程,氣體向外界放熱. 從 又得 (3)不是卡諾循環(huán) (4) = = 529 設燃氣渦輪機內工質進行如圖529的循環(huán)過程,其中12,34為絕熱過程。23, 為 又可寫為 其中 , 為常數(shù). 證:循環(huán)中,工質僅在23過程中吸熱, 循環(huán)中,工質僅在41過程中放熱 循環(huán)效率為 從兩個絕熱過程,有 或 或 由等比定理 又可寫為 530 圖530所示為理想氣體經在的循環(huán)過程,設 為已知試證明 證:如圖,由兩等溫過程可得 兩式相除有 即 若本題由兩個等容過程和兩個絕熱過程組成循環(huán),結論不變.531 圖531中ABCD為一摩爾理想氣體氦的循環(huán)過程, ,體積為 ,C點的壓強為 , 解:DA和AB兩過程吸熱, = = = BC和CD兩過程放熱 = = = %532 氣體可看作理想氣體. 解:529題已證出: 由此 燃燒50kg汽油,工質吸收的熱量為= 50= 533 一制冷機工質進行如圖533所示的循環(huán)過程,其中ab,cd分別是溫度為 , 的等溫過程。cb,證明這制冷機的制冷系數(shù)為 證:ab,cd兩過程放熱, 而 Cd,da兩過程吸熱, ,而 則循環(huán)中外界對系統(tǒng)作的功為 從低溫熱源 1,(被致冷物體)吸收的熱量為 制冷系數(shù)為 證明過程中可見,由于 ,在計算 時可不考慮bc及da兩過程.534 絕熱壓縮系數(shù) 的定義是 ,其中 表示物質P,V的經過絕熱過程的微量改變(變?yōu)?).設物質為理想氣體,且服從絕熱過程方程 .略去二級無窮小量,證明該理想氣體的 證:設氣體由狀態(tài)(P,V)經絕熱微過程變到狀態(tài)() ,由絕熱方程,有 兩邊同除以,上式可整理為 (1)由于 ,利于二項式公式 忽略二級無窮小量,則 代入(1)式: 整理之 535 理論上可以證明,在液體或氣體中傳播的聲速C= ,其中 為物質密度,= ,并有C= .試討論由聲速測定的可能性及誤差的來源.證:由上題結果,理想氣體的 由 有 上式或為: 可見,只要測得聲速C,溫度T,對已u知的某種氣體,其 與C的二次方有關,所以聲速的測量誤差是誤差的主要來源,另外,誤差還來源于:實際氣體并非理想氣體,實際過程并非準靜態(tài)絕熱過程,等.第六章 熱力學第二定律61 設每小時能造冰m克，則m克25℃的水變成 －18℃的水要放出的熱量為 25m+80m+18m=114m有熱平衡方程得 114m=36002922 ∴ m=104克=22千克 由圖 試證明：任意循環(huán)過程的效率，不可能大于工作于它所經歷的最高熱源溫度與最低熱溫源溫度之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。（提示：先討論任一可逆循環(huán)過程，并以一連串微小的可逆卡諾循環(huán)過程。如以Tm和Tn分別代表這任一可循環(huán)所經歷的最高熱源溫度和最低熱源溫度。試分析每一微小卡諾循環(huán)效率與 的關系）證：（1）d當任意循環(huán)可逆時。用圖中封閉曲線R表示，而R可用圖中一連串微笑的可逆卡諾循環(huán)來代替，這是由于考慮到：任兩相鄰的微小可逆卡諾循環(huán)有一總，環(huán)段絕熱線是共同的，但進行方向相反從而效果互相抵消，因而這一連串微小可逆卡諾循環(huán)的總效果就和圖中鋸齒形路徑所表示的循環(huán)相同；當每個微小可逆卡諾循環(huán)無限小而趨于數(shù)總無限多時，其極限就趨于可逆循環(huán)R?？紤]人一微小可逆卡諾循 （187完）環(huán)，如圖中陰影部分所示，系統(tǒng)從高溫熱源Ti吸熱Qi，向低溫熱源Ti放熱，對外做功，則效率 任意可逆循環(huán)R的效率為 A為循環(huán)R中對外作的總功 （1）又，Tm和Tn是任意循環(huán)所經歷的最高溫熱源和最低溫熱源的溫度 ∴對任一微小可逆卡諾循，必有： Ti≤Tm， Ti≥Tn或 或 令 表示熱源Tm和Tn之間的可逆卡諾循環(huán)的效率，上式為 將（2）式代入(1)式：或 或 （188完）即任意循環(huán)可逆時，其效率不大于它所機靈的最高溫熱源Tm和最低溫度熱源Tn之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。（2）任意循環(huán)不可逆時，可用一連串微小的不可逆卡諾循環(huán)來代替，由于諾定理知，任一微小的不可逆卡諾循環(huán)的效率必小于可逆時的效率，即 （3）對任一微小的不可逆卡諾循環(huán)，也有 (4)將(3)式代入(4)式可得： 即任意不可逆循環(huán)的效率必小于它所經歷的最高溫熱源Tm和最低溫熱源Tn之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。綜之，必 即任意循環(huán)的效率不可能大于它所經歷的最高溫熱源和最低溫熱源之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。*68 若準靜態(tài)卡循環(huán)中的工作物質不是理想氣體而是服從狀態(tài)方程p(vb)=RT。式證明這可逆卡諾循環(huán)的效率公式任為 證：此物種的可逆卡諾循環(huán)如圖。等溫膨脹過程中，該物質從高溫熱源T1吸熱為等溫壓縮過程中，該物質向低溫熱源放熱為 （189完）由第五章習題13知，該物質的絕熱過程方程為 利用 可得其絕熱方程的另一表達式子 由絕熱線23及14得 兩式相比得 ∴ 該物質卡諾循環(huán)的效率為 可見，工作于熱源T1和T2之間的可逆機的效率總為1－ ，與工作物質無關，這正是卡諾定理所指出的。 69 (1)利用（）式證明，對一摩爾范德瓦耳斯氣體有 （2）由(1) 證明：160