海文考研鉆石卡系列--容易混淆的概念之?dāng)?shù)學(xué)四-資料下載頁
2025-06-07 20:26本頁面
【正文】 若矩陣 與等價，則，于是，而向量組的等價是指這兩個向量組可以互相線性表出，當(dāng)矩陣與等價時雖有這兩個向量組的秩相等，但作為向量組不一定能互相表出，因而不一定等價。例如：，與，的秩相等，但不等價。但是矩陣 等價。反之，若向量組與向量組等價，則向量組秩，從而，故必有矩陣（2）相似矩陣：設(shè)是階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使，則稱與相似，記為：相似矩陣的性質(zhì)：如 從而有相同的特征值 (有相同的跡) 【注意】這些都是必要條件，可排除哪些矩陣不相似，亦可用來確定相似矩陣的一些參數(shù)。例10，已知若，則由跡相等知：，得由行列式相等知：得 并且，由于是對角矩陣，2與1就是的特征值，則根據(jù)特征值相等知，2與1也是的特征值。（3）合同矩陣：兩個階實對稱矩陣和，如存在可逆矩陣，使得，則稱矩陣和合同。 兩個矩陣合同的充要條件：二次型與有相同的正、負慣性指數(shù)； 兩個矩陣合同的充分條件：實對稱矩陣合同的充分條件是。例11，設(shè)則有和合同【證明】因為有可逆矩陣，使，或者，由二次型與有相同的正慣性指數(shù)及相同的負慣性指數(shù)，所以合同（注意：和不相似，因為相似的必要條件是特征值相同，顯然不滿足）1正交變化化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法正交變化化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型是歷年?？嫉囊粋€知識點，考生在這塊主要的錯誤就是有時候忘記單位化，再有這塊內(nèi)容的計算量比較大，所以一有疏忽就容易出錯誤，下面將介紹具體解題步驟，只要考生嚴格按照步驟進行，仔細計算，就不會在這塊考點上丟分。（1） 寫出二次型矩陣（2） 求矩陣的特征值（3） 求矩陣的特征向量（4） 改造特征向量（單位化、Schmidt正交化）（5） 構(gòu)造正交矩陣則經(jīng)坐標(biāo)變換，得 【注意】特征值的順序與正交矩陣P中對應(yīng)的特征向量的順序是一致的。1正定二次型正定二次型是常考點，考生主要掌握定義，因為定義在這塊中是最好的證明方法，也是最常用的證明方法，如果不能很好的掌握定義，有可能遇到這類型的題目無從下手。（1）階矩陣是正定矩陣的條件：它是實對稱矩陣，并且當(dāng)維實向量時，一定有（2）性質(zhì)和判別 實對稱矩陣是正定矩陣合同于E 存在可逆矩陣C，使得（從而） A的正慣性指數(shù) A的特征值全大于0（4） 判別實對稱矩陣（實二次型）是否正定的常用方法有三種：① 用定義例12，設(shè)為實矩陣，為階單位矩陣，已知矩陣，試證：當(dāng)時，矩陣為正定矩陣。【證明】（定義法） ⅰ、因為，所以是階實對稱矩陣。 ⅱ、構(gòu)造二次型，有 因為，所以，當(dāng)時，恒有 即二次型正定，故是正定矩陣.② 順序主子式法③ 特征值法例13，仍以例9為例說明【證明】（用特征值）的對稱性略，設(shè)是矩陣的任一特征值，是相應(yīng)的特征向量，即用左乘上式的兩端得， 由必有，故因為的特征值是，可見當(dāng)時必有，即的特征值全大于0，所以是正定矩陣.
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