世界少奧林匹克數(shù)學競賽中國區(qū)選拔賽地方晉級賽-資料下載頁
2025-06-07 15:40本頁面
【正文】 ………………………………2分1解：第二步：；；。 ……………………………………3分第三步：延長FD到G，使GD=FD，連結(jié)AG、EF、EG?！逜D=BD，∠ADG=∠BDF，∴△ADG≌△BDF，∴AG=BF，∠DAG=∠ABC，…………………………………3分∴∠EAG=∠DAG +∠BAC=∠ABC +∠BAC=90186。，∴AE2+AG2=EG2。 ……………………………………………2分∵∠C=90186。，∴CE2+CF2=EF2?！逩D=FD，∠EDF=90186。，∴EG=EF。 ……………………………………………………3分∴AE2+AG2= CE2+CF2，∴AE2CE2=CF2BF2, 即(AE+CE)(AECE)=(CF+BF)(CFBF)，AC(AECE)=BC(CFBF)，∴?！?分所以，角尺的兩條直角邊分AC、BC所得的兩條線段的差，當分點是中點時，比值不存在；當分點不是中點時，比值是AC、BC的反比即。 …………1分九年級參考答案一、填空。（每題8分，共計64分） 2 4 2 0 2+3+3+3+3+3 22 3。 二、計算題。（每題10分，共計20分） 解：將x=y代入(x+2)2?(y+2)2 =16有(y+2)2?(y+2)2 =16。 解，得y=2。 ……………………………………………………………6分 ∴2x+3y=2(x+y)+y=y=2。 ………………………………………………4分 解：=(1)(1)…(1) =(1)(1)(1) (1)(1)(1)…(1)(1) (1) (1) ……………………………………………………………3分… ……………………………………………………………3分 ………………………………………………………2分……………………………………………………………2分三、解答題。（第11題12分，第12題12分，第13題14分，第14題14分，第15題14分，共計66分）1解：，，…………………………………3分 ∴，， ∴9，……………………………………………………………3分 ∵，∴，或，……………………………3分∴x2013+ y2z=12013+(3)2(4)=136=35或x2013+ y2z=(1)2013+324=1+36=35。 ………………………………………3分D1證明：過A作AD⊥BC于D．根據(jù)勾股定理，在△ABD中， AB2=AD2+BD2 ① 在△ACD中， AC2=AD2+CD2 ② …………………………………3分 ?、?②，得AB2+AC2=2AD2+BD2+ CD2=2AD2+(BM+MD)2+(CMMD)2=2AD2+BM2+2BMMD+DM2 +CM22CMMD+DM2 ………3分由于BM=CM，所以AB2+AC2=2AD2+2BM2+2DM2?！郃B2+AC22BM2=2(AD2+DM2)=2AM2， …………………………3分∴AM2(AB2+AC22BM2)(2AB2+2AC2BC2)，∴AM?！?分1解：設輸漏的數(shù)為k，則有 于是………………………………2分所以 ① ② …………………………………2分解①，得 n2111n+11000，即(n11)(n100)0∴11n100………………………………………3分解②，得 n2109n+10780，即(n11)(n98)0∴n98或n11。 ………………………………………………3分∴n=99?！?分輸漏的數(shù)k55。 ………………2分已知三個正實數(shù)a,b,c滿足x =a+= b+=c+，求a+b+c的值。1解：由a+= b+，得同樣有 …………………………………………3分 三式相乘得由a0,b0,c0知abc=1。于是x=a+ac=b+ab=c+bc∴3x=a+b+c+ab+ac+bc ① …………………3分又由x =a+= b+=c+得bx=ab+1,cx=bc+1,ax=ac+1 ……………………………2分所以(a+b+c)x=ab+bc+ac+3 ②由①、②兩式消去ab+bc+ac，得3x=a+b+c+(a+b+c)x3所以(a+b+c3)(x+1)=0. ………………………………………3分若x+1=0，則x=1，代入x =a+得a+=1，與a,b,c是正實數(shù)矛盾。故a+b+c3=0.所以a+b+c=3。 ………………………………………3分1解：假設存在這樣的勾股數(shù)a、b、c，其中a、b為直角三角形的直角邊且ab，c為斜邊。根據(jù)題意，得 a2+b2=c2 ①ab＝a+b+c ② ………………………………………2分由①得c=，將其代入②，得ab＝a+b+ ………………………………………2分移項平方得a2+b2a2b2+ a2+b2?a2b?ab2+2ab整理得ab?4a?4b+8=0 ………………………………………3分∴(a4)(b4)=8 由于a、b、c是正整數(shù)，所以a4=1，b4=8或a4=2，b4=4 ……………………………4分∴a=5,b=12或a=6,b=8，∴c=13或c=10。經(jīng)驗證，存在兩組這樣的勾股數(shù)：5，12，13和6，8，10。………3分
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